Как геометрия помогает арифметике

ВСЕРОССИЙСКИЙ ДЕТСКИЙ КОНКУРС
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ
«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»
Секция: Математика, информатика
Тема: Как геометрия помогает арифметике
Авторы: Герасимов Павел, ученик 6 А класса, школа №8
Тляшок Эдуард, ученик 6 А класса, школа №8
Руководитель: учитель математики и экономики Кучеренко Н. Н.
Ковров
2017
Оглавление
I ВведениеII Основная часть: Как геометрия помогает арифметике
Задача №1 Переливание воды
Задача №2 Дрова на складе
Вспомогательная теорема: свойство точки на диагонали прямоугольника
Задача №3 Работа выполнена досрочно
Задача №4 Обед втроем
Задача №5 Три сплава
Задача №6 Яблоки и груши
III Заключение
IV ЛитератураV Приложение
ке учат во всех классах средней школы, и часов математики больше, чем по другим предметам, потому что «математика ум в порядок приводит». Но уроков и домашних заданий недостаточно для тех, кто хочет стать инженером, строителем, астрономом, математиком. Необходимо заниматься и творческой работой, решать занимательные, олимпиадные задачи, искать пути решения различных трудных задач.
Мы изучаем математику, решаем задачи вычислительным способом, а если трудно, то применяем введение неизвестной величины, что реально облегчает решение многих задач. Наша учительница математики в нашем возрасте (60 – ые годы XX века) изучала арифметику. По ее рассказам, решение некоторых задач в начальной школе занимало 10 – 12 действий, и мало кто из учеников справлялся с задачами. Только в 7 - ом классе, когда началась алгебра, стало возможным решать эти же задачи с помощью уравнений. Но и тогда учащиеся искали приемы наглядных решений некоторых типов задач с помощью графиков и диаграмм.
В нашей учебной практической работе мы решили найти такие приемы решения трудных задач, восстановить забытые приемы графического решения арифметических задач и показать, как геометрия помогает арифметике.
Цель работы: рассмотреть некоторые типы арифметических задач, которые допускают наглядное графическое решение, и показать, как математика помогает арифметике.
Задачи, которые вытекают из цели и названия работы:
Изучить литературу и разобрать готовые решения задач, предлагаемые авторами сборников, приведенных в списке «Литература»;
Познакомиться с некоторыми понятиями по геометрии – прямая, график, диаграмма;
Перевести задачу на язык геометрии и изобразить условие графически;
Решить задачу наглядно.
В процессе работы над задачами, мы решали их и математически, то есть по действиям, или с помощью уравнения. Затем применяли возможности геометрии, хотя знаний у нас было недостаточно. Так, нам пришлось разобрать, как строить и получать равновеликие прямоугольники, так необходимые при решении задач с двумя переменными. Некоторые задачи решены 2 или даже 3 способами, так что есть возможность сравнить и решения и ответы, сделать выводы о практическом применении геометрических знаний.
Объектом исследования в работе являлись задачи, которые допускают простое геометрическое решение, доступное учащимся 5 – 6 – ого класса.
Работа интересна и может быть полезна для учащихся, которые хотят знать больше, уметь решать задачи, которые вызывают затруднения даже у старшеклассников. Надо видеть, какой тип задач можно решать предложенным способом, и научиться разобранные приёмы решения распространить на эти классы задач. Задачи, в соответствии с приемами решения, собраны вместе и приведены в Приложении.
Основная часть: Как геометрия помогает арифметике
К концу 6 класса мы обладаем следующими геометрическими познаниями:
Точка, луч, отрезок, прямая;
Координаты точки на прямой и на плоскости;
Координатные оси;
Через 2 точки можно провести прямую и притом только одну;
Параллельные и перпендикулярные прямые;
Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются;
Прямоугольник, квадрат и треугольник;
Периметр и площадь.
Этих первоначальных понятий было достаточно для решения некоторых типов задач, а именно тех, которые можно изобразить прямой линией, то есть решать с помощью графика.
Но если в задаче идет речь о произведении двух величин, то проще решать задачу через прямоугольники. К таким задачам относятся задачи на стоимость, на пройденный путь, на вес груза.
Применение графиков, диаграмм в одних случаях облегчает решение задачи, а в других случаях полностью заменяет вычислительные приемы.
Основное достоинство геометрического приема - это наглядность, что помогает глубже проникнуть в условие задачи и ответить не на один вопрос к задаче, а на несколько вопросов.
Вспомогательная теорема для построения двумерных прямоугольников: если через произвольную точку диагонали прямоугольника провести прямые, параллельные сторонам прямоугольника, то образовавшиеся прямоугольники – равновелики.
A
B
C
D
E
F
G
H
J
Дан прямоугольник ABCD, где через точку Е на диагонали АС проведены прямые АВ II FG и HJ II AD. 1) Образовавшиеся прямоугольники HBGE (желтый) и FEJD (желтый) равновелики. 2) прямоугольники ABGF (синий) и AHJD (зеленый) также равновелики.
Рис. 1
Доказательство 1) Диагональ АС делит каждый прямоугольник ABCD, AHEF и EGCJ на равные треугольники: ABC = ADC, AHE = AFE, EGC = EJC.
Если из первого равенства вычтем второе и третье, то есть уберем равные части из равных больших треугольников, то останутся равные части. Значит, площадь HBGE равна площади FEJD (желтые).
2) Дополним каждый из двух полученных в 1). равновеликих прямоугольников HBGE,
A
C
D
E
F
G
H
J
FEJD прямоугольником AHEF. Тогда два прямоугольника ABGF и AHJD будут равновелики, их площади - равны.
Рис. 2
Задача №1. Переливание воды
В двух сосудах вместе имеется L литров воды. Из первого сосуда переливают половину находящегося в нем воды во второй сосуд, затем из второго сосуда переливают половину получившегося в нем объема воды обратно в первый сосуд. Далее, из первого сосуда переливают во второй половину находящейся в нем воды и так « до бесконечности». Как, в конце концов распределится вода между обоими сосудами?
Решение
Задача предлагалась нескольким учащимся старших классов, но, не подумав, некоторые отвечали, что вода распределится поровну, другие, что зависит от первоначального количества воды в каждом сосуде.
Наглядное решение с помощью диаграммы покажет, кто прав или оба ответа неверны.
По условию известно лишь общее начальное количество воды в обоих сосудах (L)литров, но не сказано, сколько воды в каждом.
Начертим отрезок АB произвольной длины, изображающей количество воды. Так как при всех переливаниях общее количество воды неизменно, то любая точка C на отрезке показывает некоторое распределение воды между сосудами. Пусть AC левая часть отрезка (синий цвет) – это вода в первом сосуде, а правая часть отрезка CB (желтый цвет) – объем воды во втором сосуде.
Построим диаграмму переливаний: начертим несколько отрезков такой же длины, что и отрезок AB, на произвольном, но равном расстоянии друг от друга. Точка C0 на отрезке A0B0 - некоторое начальное распределение воды, где A0C0 – вода в первом сосуде, C0B0 – во втором.

Точки C1, C2, C3,…на отрезках A1B1, A2B2, A3B3 …указывают распределение воды по сосудам после первого, второго, третьего…переливаний. Эти точки получаем построением. Соединив точки C0 и A2 отрезком, получим точку C1, что соответствует половине воды, оставшейся в первом сосуде после первого переливания из первого сосуда во второй. A1C1 = 0,5* A0C0. Соединив точки C1 и B2, получим пересечение с отрезком A2B2 - точку С2, где C2B2 = 0,5* C1B1 – количество воды, оставшейся во втором сосуде после второго переливания.
Если проследить за положением точки С, причем через одно переливание (по диаграмме), то получим две последовательности длин желтых и две последовательности длин синих отрезков.
B0C0, B2C2, B4C4….. И B1C1, B3C3, B5C5 ….. ЖЕЛТЫЕ ОТРЕЗКИ,
A0C0, A2C2, A4C4….. И A1C1, A3C3, A5C5 ….. СИНИЕ ОТРЕЗКИ
Первая последовательность желтых отрезков приближается к правой красной вертикальной прямой, которая показывает третью часть длины нашего отрезка AB, то есть к 1/3 L, а вторая последовательность желтых отрезков приближается к левой красной вертикальной прямой, которая показывает 1/3 длины первоначального отрезка AB. Длины желтых отрезков занимают 2/3 длины L – первоначального объема воды. Аналогично, обе последовательности синих отрезков приближаются слева к красным вертикальным прямым, которые поделили отрезок AB на три равные части. Первая синяя последовательность к 2/3 длины AB, а вторая последовательность к 1/3 длины.
В математике эти приближения называют стремлением последовательности к пределу, а числа 1/3 и 2/3 пределами последовательности. Процесс стремления можно увидеть на диаграмме, если точки C0, C2, C4,…соединить одной плавной кривой, а точки C1, C3, C5,…соединить другой плавной линией. Каждая из них приближается к одной из вертикальных линий, делящих отрезок на 3 равные части.
Многократное повторение таких переливаний приближает распределение воды по сосудам к некоторому предельному состоянию: попеременно в каждом сосуде оказывается то 1/3 всего количества воды, то 2/3 количества воды.
Задача №2. Работа выполнена досрочно
Для выполнения работ поставили 57 рабочих, которые могли окончить работу за 45 дней. Но через 15 дней добавили им в помощь еще несколько рабочих, и работа была выполнена досрочно, на 12 дней раньше срока. Сколько рабочих добавили?
Решим задачу арифметически
1) Каков объём работы ?45*57=2565 (ед.)
2) Какой объём работы выполнили за 15 дней ?57*15=855 (ед.)
3) Какой объём работы остаётся ?2565-855=1710 (ед.)
4) Сколько дней рабочие работали совместно ?45-15-12=18 (дн.)
5) Сколько рабочих выполняли остаток работы ?1710:18=95 (раб.)
6) Сколько добавили рабочих ?95-57=38 (раб.) Ответ: помогали в работе 38 рабочих.
Решим задачу графически.
Так как работа зависит от числа рабочих и количества дней, отработанных ими, то всю работу можно изобразить в виде прямоугольника ОАВС со сторонами, равными 57 рабочих и 45 дней. Через 15 дней, когда была выполнена работа, изображаемая прямоугольником ОАDЕ, где отрезок ОЕ обозначает 15 дней, добавили Х рабочих – отрезок DН. Прямоугольник ЕDВС показывает оставшуюся часть работы, а отрезок ЕС = 45-15=30. После того, как Х рабочих пришли на подмогу, работу закончили на 12 дней раньше срока, через 30-12 = 18 дней, что на рисунке показано отрезком ЕF.
E
H
O
CA
JB
FF
GG
DH
B
A
x
15
18
12
Число рабочих
Число дней
45B
Работа, которую они выполнили вместе, показана прямоугольником EHGF, где EH равен 57 + Х рабочим. Прямоугольники EHGF и EDBC – равновеликие.
Тогда, 57*12 = Х*18 и Х = 38. Значит, помогали выполнить работу досрочно 38 рабочих.
Задача решена графико – вычислительным способом.
Задача № 3. Дрова на складе
На складе было 135 м3 березовых и 114 м3 сосновых дров. Ежедневно со склада вывозили по 7,5 м3 березовых и 6,5 м3 сосновых дров. Через сколько дней на складе останется поровну тех и других дров?
Решение
Арифметический способ:
На сколько больше березовых дров на складе, чем сосновых?
135 – 114 = 21(м3)
На сколько больше вывозили в день березовых дров, чем сосновых?
7,5 – 6,5 = 1 (м3)
Через сколько дней на складе останется дров поровну?
21:1 = 21(день)
Алгебраический способ:
Пусть Х – количество дней, через которое на складе останется равное количество дров двух разных видов.
7,5 Х (м3) – столько вывезли березовых дров за это время, осталось 135 - 7,5 Х (м3) дров на складе;
6,5 Х (м3) – столько вывезли сосновых дров и осталось 114 - 6,5 Х (м3) дров.
Так как осталось равное количество, то составим уравнение:
135 - 7,5 Х = 114 - 6,5 Х;
135 – 114 = 7,5 Х – 6,5 Х;
Х = 21. Значит, через 21 день на складе останется одинаковое количество тех и других дров.
Но, полученный двумя способами ответ, - неверный, так как проверка показывает, что если ежедневно вывозить со склада по 6, 5 м3 дров, будет вывезено 6,5*21 = 136,5м3 дров, а на складе всего 114,5м3 дров. Без проверки мы бы не увидели бессмысленного ответа.
При графическом решении несоответствие между ответом и действительностью становится наглядным и можно объяснить, что произошло.

Построим на плоскости 2 прямые, проходящие через точки (0;135) и (10;60) для березовых дров и через (0;114) и (10;50) для сосновых дров. На горизонтальной оси отложим количество дней, а на вертикальной оси кубические метры дров. Получим графики вывоза дров со склада. Прямые пересекаются в точке, с абсциссой 21, но ордината точки пересечения – число отрицательное, что уже невозможно. На графике наглядно видно, что обе прямые пересекут ось дней в точках, левее 21 дня. Это означает, что запас дров мал и их вывезут раньше, чем наступит тот день, когда на складе могло бы остаться поровну.
Ответ: не может на складе остаться поровну дров.
Задача №4. Яблоки и груши
10 кг яблок и 5 кг груш стоят столько же, сколько 3 кг яблок и 11 кг груш. Покупатель уплатил в кассу за 14 кг яблок и 6 кг груш некоторую сумму денег.
Сколько на эту сумму он мог купить:
Только яблок?
Только груш?
Яблок, если груш купит 15кг?
Груш, если яблок купит 10,5 кг?
Яблок, если груш будет на 5 кг больше, чем яблок?
Груш, если яблок на 14, 5 кг больше, чем груш?
Груш, если их в 1,5 раза больше, чем яблок?
Решение
Решаем задачу графически, чтобы сразу ответить на ряд вопросов к задаче.

Пусть на оси ОХ отложим вес яблок, а по оси ОУ вес груш. Построим точки А(10;5) и В(3;11). Так как стоимость первого набора10кг яблок и 5кг груш и второго набора 3кг яблок и 11 кг груш равны, то прямая АВ является графиком сумм двух произведений – цена на количество. Отметим точку с координатами С (14;6), где 14 кг яблок и 6 кг груш купил покупатель. На эту сумму денег можно купить другие весовые комбинации яблок и груш. Через точку С проводим прямую, параллельную АВ. Прямая DE – тоже линия одинаковых сумм.
На вопрос задачи, сколько на эту уплаченную сумму можно купить -
только яблок, отвечает точка D;
только груш, отвечает точка Е;
сколько яблок, если покупаем 15 кг груш, отвечает точка F;
сколько груш, если покупаем 10,5 кг яблок, отвечает точка G;
сколько яблок, если покупаем груш на 5кг больше, отвечает точка H;
сколько груш, если покупаем яблок на 14,5 кг больше, чем груш, отвечает точка J;
сколько груш, если их в 1,5 раза больше, чем яблок, отвечает точка К.
Мы ответили на все 7 поставленных вопроса, не зная стоимости 1кг яблок и 1кг груш.
Задача №5. Обед втроем
Толя уплатил в кассу школьной столовой за три блюда, а Вова за два блюда, где все блюда одинаковой стоимости. К ним присоединился Юра, который забыл деньги в кармане пальто, и они втроем поровну разделили все 5 блюд и пообедали. При расчете между собой, выяснилось, что Юра должен мальчикам 5 рублей. Сколько из этих 5 рублей он должен Вове и сколько Толе?
Решение
1) Решим задачу графически. Так как всю стоимость обеда придется делить поровну между тремя приятелями, изобразим стоимость 1 блюда отрезком в 3 клетки.
Отрезок АС – стоимость 5 блюд, где отрезок АС – это стоимость 3 блюд, за которые заплатил Толя. Отрезок ВС показывает стоимость 2 блюд, оплаченных Вовой.
481965-4445Уплатили:Съели:Юра уплатил:ТоляВоваТоляЮраВоваТоля4р1рВова5рABC
Рис. 4
Поделим отрезок АС на три равные части по 5 клеток каждая. Каждая клеточка на диаграмме обозначает 1 рубль. Доля обеда, которую съел Юра, оценили в 5 рублей, поэтому пусть средний отрезок показывает стоимость доли обеда, которую съел Юра.
Через точку В на прямой АС проведем вертикальную прямую. Она разделит средний отрезок (долю Юры) на 2 части. Левая ,в 4 клетки, примыкает к доле Толи, а правая в 1 клетку примыкает к доле Вовы. Значит, Толя получит 4 рубля от Юры, а Вова - 1 рубль.
2) решим арифметически:
Юра заплатил за свою долю обеда 5 рублей, то есть весь обед им обошелся в 15 рублей.
15 : 5 = 3 руб. – стоимость одного блюда.
3 * 3 = 9 руб. – заплатил Толя.
3 * 2 = 6 руб. – заплатил Вова. Следовательно, 9-5 = 4 руб. получит Толя, и 1 руб. Юра отдаст Вове.
Задача №6. Задача о трех сплавах.
Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в соотношении 2:3, в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
Решим задачу алгебраически:
Пусть Х – количество кг первого сплава, тогда (8-Х) – количество второго сплава.
В первом сплаве золота содержится 2/5 * Х, во втором 3/10 * (8-Х) кг.
В требуемом новом сплаве должно быть 5/16 * 8 кг золота.
Составим и решим уравнение:
2/5 * Х + 3/10 * (8-Х) = 5/16 * 8
Умножим обе части уравнения на 10:
4Х+24-3Х=25
Х=1
Значит, нужно взять 1 кг первого сплава и, соответственно, 8-1=7 кг второго сплава.
Минус решения в том, что, если придется решать задачу с другим соотношением частей в искомом сплаве, то придется составлять и решать другое уравнение.
решим задачу графически:

Как и в арифметическом решении, будем решать задачу по долям серебра в сплаве. Серебро составляет 3/5 первого сплава, 7/10 второго и 11/16 искомого. Общий знаменатель этих дробей – 80. В первом сплаве из каждых восьмидесяти 48 частей серебра, во втором -56, а в искомом -55 частей.
Сделаем диаграмму. На горизонтальной оси AB будем откладывать вес сплава (в кг), а на вертикальной AC – число долей серебра в сплаве (чтобы уменьшить размер чертежа, начнем отсчет долей серебра на оси не с нуля, а с 48 т.к. это наименьшее количество долей серебра в сплавах).
Соединим отрезком точки C (56 долей серебра) и B(8 кг) и проведем через точку с отметкой 55 (число долей серебра в искомом сплаве) горизонтальную линию до пересечения с BC в точке D, а через D – вертикальную прямую до пересечения с AB в точке E.
Решение готово. Отрезки AE и EB указывают ответ: надо взять 1кг первого сплава и 7кг второго.
Пользуясь построенным треугольником ABC, легко узнать, сколько нужно кг каждого сплава взять, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором на каждые восемьдесят частей приходилось бы m серебра, при условии, что 48 < m < 56.
Заключение
При выполнении работы мы узнали много нового и получили большое удовольствие, разбирая готовые авторские решения задач. Теперь мы можем применять полученные знания к новым задачам. Используя новые геометрические приемы, нам уже удалось решить еще несколько задач, предложенных авторами для самостоятельного решения. Мы убедились, что поиск решения, размышления, обсуждение и сотрудничество в паре и с учителем повышают уровень математической подготовки и развивают сообразительность. Мы под руководством учителя математики узнали, что такое теорема, и выучили первую для нас теорему с доказательством о свойстве точки на диагонали прямоугольника. Знание теоремы дало нам возможность строить равновеликие прямоугольники, даже доказывать равенство площадей получившихся прямоугольников. Теперь задачи на произведения двух величин можем решать с помощью двумерных диаграмм, хотя привычнее уравнением. Таким образом, мы
Изучили дополнительную литературу по математике
Познакомились с графическими приёмами решения арифметических задач
Разобрали порядка 10 задач на применение геометрии при решении арифметических задач
Узнали об одномерных и двумерных диаграммах
Выучили теорему о свойстве точки на диагонали прямоугольника
Научились строить равновеликие прямоугольники
Научились работать в PowerPoint и Excel.
В процессе работы мы получили новые знания и по математике и по основам геометрии, убедились, что геометрия помогает арифметике наглядно увидеть задачу, выбрать рациональный путь решения.
Литература
Де6пман И.Я.,Виленкин Н.Я., За страницами учебника математики, «Просвещение», М, 1989
Кордемский Б.А., Математическая смекалка, «Знание», М, 1967
Нагибин Ф.Ф., Математическая шкатулка, «Просвещение», М, 1964
Островский А.И.,Кордемский Б.А., Геометрия помогает арифметике, изд. Физико – математической литературы, М, 1960
Романовский Б.В., С метром по векам, «Детская литература»,Л,1985.
Приложение
Задачи
В одном котловане было 720 воды, а в другом - 840 м3. В 6 часов утра начали откачку воды из первого котлована при помощи насоса производительностью 48 м3 /час., а в 8 часов – из второго котлована насосом, производительность которого 72 м3 /час. В котором часу в обоих котлованах останется воды поровну?
2)Теперь мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. Когда Вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам вместе будет 63 года. Сколько теперь лет каждому из нас?
На трех деревьях сидели 36 галок. Когда с первого дерева перелетели на второе 6 галок, а со второго перелетели на третье 4 галки, то на всех трех деревьях галок осталось поровну. Сколько галок первоначально сидело на каждом дереве?
Осел и мул шли рядом, нагруженные мешками. Осел говорит: «Возьми у меня один мешок, тогда у нас будет поровну». Мул отвечает: «Возьми у меня один мешок, тогда у меня будет вдвое меньше, чем у тебя». Сколько мешков тащил каждый из них?
Если скорость поезда возрастет на V1 км/час, то к месту назначения он прибудет на t1 час. раньше времени, чем по расписанию. Если скорость поезда уменьшить на V2 км/час, то он прибудет на станцию на t2 час позже срока. Найти скорость и время в пути по расписанию.
Имеются два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:2, а в другом в отношении 2:3. Сколько надо взять каждого сплава, чтобы получить 44 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 17:27?
На одном научном конгрессе математиков во время завтрака присутствующим была предложена задача. Представьте себе, что каждый день в полдень из Гавра (Франция) в Нью – Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью – Йорка в Гавр отходит пароход той же компании. Каждый из них находится в пути ровно 7 суток, и все они идут по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на всем пути пароход, идущий из Гавра в Нью – Йорк?
Три хозяйки, живущие в одном доме, сговорились совместно заготовить 6 м3 дров для печи. Первая заготовила 2,5 м3 дров, а вторая 3,5 м3 дров. А третья хозяйка вместо своей доли дров внесла 6 руб. Как две хозяйки должны разделить между собой эти деньги?
К 3 литрам воды при температуре 360 добавили 4 литра воды комнатной температуры – 150 . Какая температура воды установится в сосуде?