Школьная олимпиада по математике

МБОУ «Молотицкая СОШ»
Рассмотрено на МО
Учителей
Протокол № _________
От __________2014г.
ШКОЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА
ПО МАТЕМАТИКЕ
2014-2015 УЧЕБНЫЙ ГОД
Составила Зайцева Н.Н.
учитель математики
2014 год
I (школьный) этап олимпиады школьников по математике
Порядок проведения олимпиады в школе
Школьная олимпиада по математике проходит одновременно во всех школах Муромского района 5 октября 2014 года.
Рекомендуемое время проведения олимпиады:
для 5-6 классов – 2 урока, для 7-8 классов – 3 урока,
Рекомендации по проведению школьной олимпиады
Во время решения олимпиады можно отвечать на вопросы школьников только по условиям предложенных задач и нельзя комментировать решения участников. Если вопрос, заданный школьником, существенно влияет на понимание задачи, то ответ на него необходимо дать всем участникам.
В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Баллы Правильность (ошибочность) решения
7 Полное верное решение
6-7 Верное решение. Имеются небольшие недочеты, вцелом не влияющие на решение.
5-6 Решение в целом верное. Однако решение содержит
существенные ошибки либо пропущены случаи, не
влияющие на логику рассуждений.
4 Верно рассмотрен один из двух (более сложный)
существенных случаев, или в задаче типа «оценка +
пример» верно получена оценка.
2-3 Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие
в решении задачи.
0-1 Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии
решения (или при ошибочном решении).
0 Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0 Решение отсутствует.
Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов. Технические ошибки, если они не влияют на ход решения, следует относить к недочетам. Не следует снимать баллы за нерациональность решения, нетиповые рассуждения, неряшливое оформление, исправления, грязь.
После проведения олимпиады и проверки работ рекомендуется проведение разбора задач, на котором школьники должны узнать, за какие решения (факты в решениях) сколько баллов начислено. После разбора проводится просмотр работ, во время которого каждый из участников олимпиады имеет право узнать претензии к своим решениям и увидеть распределение баллов в своей работе.
Участники школьного этапа олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов, признаются победителями школьного этапа олимпиады при условии, что количество набранных ими баллов
превышает половину максимально возможных баллов.
В случае, когда победители не определены, в школьном этапе олимпиады определяются только призеры. Призерами школьного этапа олимпиады в пределах установленной квоты признаются все участники школьного этапа
олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями. В случае, когда у участника, определяемого в пределах установленной квоты в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим равное с ним количество баллов, определяется следующим образом:
1. все участники признаются призерами, если набранные ими баллы больше половины максимально возможных;
2. все участники не признаются призерами, если набранные ими баллы не превышают половины максимально возможных.
5 класс
1. В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 46 раз. Определите, какое это было число и какую цифру зачеркнули?
2. Кот Матроскин принёс с базара несколько яблок и хвастается Шарику: «Я купил в четыре раза больше яблок, чем ты вчера, но заплатил за каждое яблоко вдвое меньше». Сколько денег заплатил Матроскин, если Шарик истратил на яблоки 75 рублей?
3. Сложить квадрат, используя четыре из пяти изображённых фигурок. Какая фигурка останется лишней?

4. В семье четверо детей. Им исполнилось 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Миша, Вера и Женя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Миши. Сумма возрастов Ани и Жени делится
на 3. Кто Женя: мальчик или девочка?
5. У пяти пиратов было по 16 монет. Потом первый отдал половину своих монет второму, второй – половину от имеющихся теперь монет третьему, третий половину четвертому, а четвертый – половину пятому. На сколько монет у пятого пирата стало больше, чем у первого?
6 класс
1. Замените звёздочки цифрами, чтобы получилось верное
равенство

2. Доктор Айболит раздал пяти заболевшим зверям 2011 чудодейственную таблетку. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Удаву досталось столько же таблеток, сколько и крокодилу. Сколько таблеток придётся съесть слону?
3. На новогодний праздник Тянитолкай получил подарок от доктора Айболита. Собака Авва считает, что ему подарили красный бант, попугай Карудо уверен, что это синий бант, а сова Бумба говорит, что подарен белый воздушный шар. Какой подарок получил Тянитолкай, если известно, что каждый из них угадал либо цвет подарка, либо его вид? Ответ обоснуйте.
4. Требуется разрезать по клеточкам, изображенную на рисунке фигуру на несколько равных частей. Сколько частей может получится ? Найдите все возможные ответы и для каждого из них укажите способ разрезания. (Части считаются равными, если ониСовпадают при наложении.) 5. Среди 101 монеты есть одна фальшивая, которая по весу отличается от настоящей. Но на этот раз неизвестно, в какую сторону. За два взвешивания определите, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета. (Саму монету определять не нужно.)_
7 класс
1. Решите числовой ребус: ААА − АА − А = СС.
2. Незнайка купил в магазине на 134 рубля килограмм конфет: шоколадных и карамелек, но забыл, сколько граммов каждого сорта. Он знает, что килограмм карамелек стоит 65 рублей, а килограмм шоколадных конфет – 180 рублей. Сколько граммов карамелек купил Незнайка?
3. Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена кольт за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов и 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обчистить?
4. Составьте из прямоугольников 1×1, 1×2, 1×3,…, 1×13
прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.
5. Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нём 20 человек ) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один – взяточник. Сколько в правительстве взяточников?
8 класс
1. Что больше или ?2. В классе учится менее 50 школьников. За контрольную
работу учеников получили пятерки, - четверки; -
тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?
3. Найти значение выражения ,если известно, что
4. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M
так, что ∠АМВ = ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB.
5. Одним ударом Шварценеггер может разбить любой кусок бетона на 3 части. Сколько ударов ему понадобится сделать, чтобы разбить бетонную плиту на 2005 частей?
Решение
5 класс
1. Ответ: Число 92
Решение: Зачёркнута цифра 9
2 Ответ: 150 рублей
Решение: Если бы Матроскин купил яблоки по той же цене, что Шарик, то заплатил бы за них 75∙4=300 рублей. Так как за каждое яблоко он заплатил вдвое меньше, то Матроскин истратил 300:2=150 рублей.
3. Сложить квадрат, используя четыре из пяти изображённых фигурок. Какая фигурка останется лишней?

Решение: сосчитаем, сколько всего клеточек в данных
фигурках. 4+5+6+7+8=30. Чтобы получился квадрат, нам надо
25 клеточек, а у нас их 30. Значит, лишней окажется фигурка
из 5 клеток.
4. Ответ: Женя — девочка
Решение: Так как в детский сад может ходить только пятилетний ребёнок, то самый младший ребёнок — девочка. Значит, Мише — не пять лет. Аня старше Миши, то есть Ане исполнилось либо 13, либо 15 лет. Так как сумма возрастов Ани и Жени делится на три, то Ане не может быть пятнадцать лет. Следовательно, Ане — тринадцать. Миша её младше, значит, Мише — восемь. Тогда Жене пять лет и она девочка.
5. Ответ: на 24 монеты.
Решение: После того, как первый пират отдал второму половину своих монет, то есть 8, у него осталось 8 монет, а у второго пирата стало 16 + 8 = 24 монеты. Теперь второй отдаёт третьему пирату 24:2 = 12 монет, и у него остается 12 монет, а у третьего 16 + 12 = 28 монет. Когда третий пират отдаст четвёртому 28:2 = 14 монет, то у него останется 14 монет, а у четвёртого станет 16 + 14 = 30 монет. Теперь четвёртый отдаст пятому пирату 30:2 = 15 монет, и у пятого пирата стало 16 + 15 = 31 монета . Итак, у пятого пирата монет стало больше, чем у первого на 31 – 8 = 24 монеты.
6 класс
1. Решение: Достаточно одного примера:

2. Ответ: 404 таблетки
Решение: Пусть х таблеток выдал Айболит крокодилу и столько же удаву. (х+1) таблеток получил носорог, (х+2) таблетки бегемот и (х+3) таблетки слон. х+х+х+1+х+2+х+3=2011, х=401. Значит, слон получил 404 таблетки.
3. Ответ: белый бант
Решение: Предположим, что сова угадала вид подарка (шарик), тогда собака и попугай угадали его цвет. Поскольку они назвали разные цвета, то такого быть не может. Следовательно сова угадала цвет подарка (белый), а собака и попугай угадали его вид (бант).
4. Решение: Данная фигура содержит 24 клетки. Поскольку её требуется разрезать на равные части, то в каждой должно быть равное количество клеток. Значит количество частей должно быть делителем числа 24. Выпишем все делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. На одну часть разрезать фигуру нет смысла, поэтому покажем все остальные случаи.


5. Ответ: фальшивая тяжелее
Решение. Положим на каждую чашу по 50 монет. Если чаши будут весить одинаково, то оставшаяся монета фальшивая, а монеты, которые лежат на чашах, настоящие. Чтобы узнать, тяжелее или легче весит фальшивая настоящей, достаточно сравнить ее с любой настоящей монетой. Если же одна из чаш весит больше другой, то возьмем ее и разобьем на две кучки по 25 монет. Если они весят
одинаково, то фальшивая монета была на другой чаше, значит, фальшивая легче. Если же одна из чаш перевесит, то фальшивая монета была в этих 50, т. е. фальшивая тяжелее.
7 класс
1. Ответ: 11
Решение. AAA − AA = A00. При А ≠ 1 , A00 − A > 100 ≠ CC, поэтому
A = 1. 111 − 11 − 1 = 99.
2Ответ: 400 граммов карамели.
Решение . Пусть Незнайка купил х кг карамели, тогда шоколадных конфет (1х) кг. Таким образом, 65х + 180·(1х) = 134, откуда х = 0,4.
3. Решение: Сколько бы ни стоили спички, общая сумма, которую должен заплатить Билл, должна делиться на 3: цена кольта делится на 3, и цена шести коробков спичек тоже делится на 3, даже если цена одного коробка на 3 не делится. Бармен, однако, назвал общую сумму не кратную 3. Значит, сумма была подсчитана неверно.
4. Решение. Площадь искомого прямоугольника должна быть равна 1 + 2 + … +13 = 91. Так как 91 раскладывается только в произведение 7 × 13, то стороны прямоугольника должны быть равны 7 и 13. Замостить его исходными прямоугольниками можно, например, так:

5. Ответ: в правительстве 19 взяточников.
Решение: Заметим, что в правительстве Лимонии ровно один честный чиновник. Действительно, по условию один честный там есть; но двух честных там быть не может – тогда из них не было бы ни одного взяточника, что противоречит условию.
Значит, честный в правительстве ровно один, следовательно, взяточников – 19.
8 класс
1. Ответ:
Решение Сравним значит
Следовательно
2. Ответ: одна работа.
Решение. По условию задачи число учеников должно быть кратно 7, 3, 2, а такому условию удовлетворяет лишь число42, тогда неудовлетворительных работ было
42 – 6 – 14 – 21 = 1
3. Ответ: 2.

4.