ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 30
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

Цель:
- сформировать навыки вычисления пределов в точке;
- развить умение раскрывать неопределённости вида
- закрепить знания о способах разложения многочлена на линейные множители;
Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;
Время выполнения: 2 академических часа;
Ход занятия:
Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.
Краткие теоретические сведения:
Предельное значение функции в заданной точке — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).
Определение 1: Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а. Число В называют пределом функции f(x) в точке а, если для любой последовательности значений аргументов х1, х2, х3, …, хn, стремящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x1), f(x2), …, f(xn), сходится к числу В.
Обозначение: f(x) = В, если хn → а при f(xn) →В.
Для предела функции в точке справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Если f(x) = А, g(x) = В, то предел суммы функций f(x) и g(x) при х→а равен сумме пределов этих функций, т.е.
(f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x).
Теорема 2. Если f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, то предел произведения функций при х→а равен произведению пределов этих функций, т.е. (f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).
Следствие 1. (С∙f(x)) = С ∙f(x).
Следствие 2. С = С.
Теорема 3. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы при х→а, причем предел функции g(x) ≠ 0, то имеет место равенство:
.
Рассмотрим вычисление пределов функций на конкретных примерах.
Пример 1. Найти значение предела в заданной точке.
Решение: Для вычисления значения предела в заданной точке подставим вместо х то значение, к которому он стремится:
Очевидно, предел данной функции в точке х=1 существует и равен 8.
Пример 2. Найти значение предела в заданной точке.
Решение: Для вычисления значения предела в заданной точке подставим вместо х то значение, к которому он стремится:
Очевидно, предел данной функции в точке х=4 не существует и равен ∞.
Пример 3. Найти значение предела в заданной точке.
Решение: При непосредственной подстановке х = 2 получим неопределенность вида [0/0]. Раскрыть эту неопределенность возможно, разложив числитель и знаменатель на линейные множители и сократив однородные члены:
(1), (2). Приравняем числитель к нулю и найдём корни х1.2 по формуле: х1.2=-b±b2-4ac2a=-2±22-4∙1∙(-8)2∙1=-4;2.
Подставим корни х1.2 в формулу (1): х2+2х-8=1х+4∙х-2.
Преобразуем знаменатель по формуле (2): х3-8=х-2∙х2+2х+4. Подставим полученные множители в предел, сократим дробь на х – 2 и найдём значение предела при х = 2:

Итак, предел существует и равен 12. Пример 4. Найти значение предела в заданной точке.
Решение: В данном случае пределы числителя и знаменателя при равны нулю, имеем неопределенность вида [0/0].
Умножаем числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и, затем сократив дробь на х – 6 , получим:

Итак, предел существует и равен 6. Задания для самостоятельного выполнения:
Найти пределы функций в заданных точках.
Вариант 1.
1. 2. 3.
Вариант 2.
1. 2. 3.
Вариант 3.
1. ; 2. 3.
Вариант 4.
1. ; 2. 3.
Вариант 5.
1. ; 2. 3.
Вариант 6.
1. 2. 3.
Вариант 7.
1. ; 2. 3.
Вариант 8.
1. 2. 3.
Вариант 9.
1. ; 2. 3.
Вариант 10.
1. 2. ; 3.
Вариант 11.
1. 2. 3.
Вариант 12.
1. ; 2. 3. Вариант 13.
1. ; 2. 3.
Вариант 14.
1. 2. ; 3.
Вариант 15.
1. ; 2. 3.
Вопросы для самоконтроля:
Назовите основные методы вычисления пределов в точке.
Сформулируйте теоремы о пределах.
Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена.
Запишите формулы разности квадратов и разности кубов.