Презентация по геометрии на тему Правильная пирамида

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математикипервой категорииГавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь)- считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды. Определение. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой. Аn A1 A2 A3 P Определение.Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды. SАВСD – правильная пирамида.АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).SО – высота. С О В А D S Для начала надо определить, какую именно правильную пирамиду надо построить: треугольную, четырехугольную, шестиугольную и т.д.Построить на плоскости правильный многоугольник , но т.к. у нас пространственное изображение, то он будет немного искажен.Из центра этого правильного многоугольника(центром правильного многоугольника является центр вписанной в него (и описанной около него) окружности) восстановить перпендикуляр и отметить на нем произвольную точку, которая будет являться вершиной нашей будущей пирамиды.Соединить отрезками вершину пирамиды с вершинами нашего правильного многоугольника. Построение правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. А В С Н S SH- апофема АВС- правильный, т.е. АС=ВС=АВ Определение. Свойства правильной пирамиды.Все боковые ребра правильной пирамиды равны.Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.Двугранные углы при основании равны.Двугранные углы при боковых ребрах равны.Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней. Рассмотрим примеры доказательств некоторых свойств правильной пирамиды. С О В А D S А В С D О S Дано: SABCD – правильная пирамида, SO – высота пирамиды, ABCD – квадрат: АВ=ВС=CD=AD Доказать: AS=SB=SC=SD Доказательство свойства 1. В ∆SOA, ∆SOB, ∆SOC, ∆SOD (где SOA=SOB=SOC=SOD=90°):а) SO – общаяв) AO=BO=CO=DO (по свойству квадрата) => => ∆SOA=∆SOB=∆SOC=∆SOD (по двум катетам) => =>SA=SB=SC=SD, т.е. все боковые ребра правильной пирамиды SABCD равны. ● ◦ Дано: PABC – правильная пирамида, ∆АВС – равносторонний: АВ=ВС=АС Доказать: ∆АРВ=∆АРС=∆ВРС 1) В ∆АРВ: АР=РВ (по свойству правильной пирамиды) => ∆АРВ – равнобедренный (по определению)2) В ∆АРС: АР=РС (по свойству правильной пирамиды) => ∆АРС – равнобедренный (по определению)3) В ∆СРВ: СР=РВ (по свойству правильной пирамиды) => ∆СРВ – равнобедренный (по определению)4) В ∆АРВ и ∆АРС:а) АР – общая б) ВР=СР (по свойству правильной пирамиды)в) АВ=АС (по условию) => ∆АРВ=∆АРС (по трем сторонам) ◦ Доказательство свойства 2. P B A C P B A C 6) В ∆АРС и ∆ВРС:а) СР – общаяб) АР=РВ (по свойству правильной пирамиды)в) АС=ВС (по условию) => ∆АРС=∆ВРС (по трем сторонам) ● => ∆АРВ=∆ВРС (по трем сторонам) 5) В ∆АРВ и ∆ВРС:а) ВР – общаяб) АР=РС (по свойству правильной пирамиды)в) АВ=ВС (по условию) = => ∆APB=∆APC=∆BPC 7) Получили:∆АРВ=∆АРС∆АРВ=∆ВРС∆АРС=∆ВРС Доказательство свойства 3. Дано: SABC – правильная пирамида; SH – высота пирамиды; SK, SP, SM – апофемы, т.е. SKАВ, SPВС, SMАС Доказать: SK=SP=SM ● SH(ABC) – по определению SK, SP, SM – наклонные к (АВС) НК, НР, НМ – соответственно их проекции на (АВС) = (по теореме о трех перпендикулярах) НКАВ, НРВС, НМАСЗначит, т.Н равноудалена от сторон ∆АВС = => НК=НР=НМ 2) В ∆SHK, ∆SHP, ∆SHM ( где  SHK = SHP= SHM=90°):а) НК=НР=НМ (доказали)б) SH – общая = ∆SHK=∆SHP=∆SHM (по двум катетам) = SК=SР=SМ ◦ Н S A B C M P K « Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему». Sбок = Ѕ ∙ Росн ∙d Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды. Дано: ABCD – правильная пирамида, AH, AK, AM – апофемы, т.е. AHBC, AKCD, AMBD Доказать: Sбок. = Ѕ·PBCD∙d, где d – апофема. 1) Т.к. (по усл.) ABCD – правильная пирамида, => (по свойству правильной пирамиды) AH=AK=AM2) (По определению) Sбок. = SABC+SACD+SABD ,Sбок.=Ѕ∙AH∙BC+Ѕ∙AK∙CD+Ѕ∙AM∙BD=Ѕ∙(AH∙BC+AK∙CD+AM∙BD)Но AH=AK=AM (доказали)=> Sбок. = Ѕ∙AH∙(BC + CD + BD) = Ѕ∙d∙PBCD => ◦ ● A B C D M H K Теоремы, отражающие особые свойства правильной пирамиды. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.Плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.Если правильная пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части. Рассмотрим доказательства особых свойств правильной пирамиды. С О В А D S Доказательство свойства 1. Дано: РАВС – правильная пирамида; ∆АВС: АВ=ВС=АС=а; РО – высота пирамиды: РО=h, РС и АВ – скрещивающиеся. Доказать: φ=90°, где φ – угол между скрещивающимися прямыми РС и АВ.1) Введем прямоугольную систему координат так, чтобы начало отсчета совпало с т.М(серединой АС), медиана ВМ лежала бы на положительном направлении оси Оу, МА - на положительном направлении оси Ох. ◦ С М А х z у В Р О Е h 4) В правильном ∆АВС по теореме: 5) Но т.М (0;0;0) и т.О лежит на оси Оу = т.О (0;уо;0) 3) С М А х z у В Р О Е h 2) В ∆АМВ (где М=90°) по теореме Пифагора: 6) 7) ● С М А х z у В Р О Е h SO(ABC) – т.к. SO – высота пирамиды SK – наклонная к (АВС) ОК – ее проекция на (АВС) SКВС (по условию) = ОКВС (по теореме о трех перпендикулярах) 2) ВСОК ВСSК SК  ОК = К SК с (SКМ), ОК с (SКМ) = ВС (SКМ) – по признакуНо ВС с (SВС) = (SВС)  (SКМ) – по признаку. ● ◦ Дано: SАВСD – правильная пирамида; SО – высота пирамиды; SК – высота боковой грани; SО с (SКМ); SК с (SКМ) Доказать: (SКО)(SКМ) Доказательство свойства 2. S В А С D О К М Доказательство свойства 3. В А С D D1 S А1 С1 В1 О О1 Дано: SАВСD – правильная пирамида, SО -высота пирамиды: SO(АВС); (А1В1С1) – секущая, (А1В1С1)||(АВС)Доказать: ◦ В ∆AOS и ∆A1O1S(где AOS=A1O1S=90°):а)S – общийб) SАО = SА1О1 (как соответственные при АО||А1О1 и секущей АА1) = = ∆АОS ~ ∆А1О1S (по двум углам) = (по определению) 2) В ∆ВOS и ∆В1O1S(где ВOS=В1O1S=90°):а)S – общийб) SВО = SВ1О1 (как соответственные при ВО||В1О1 и секущей ВВ1) =∆ВОS ~ ∆В1О1S (по двум углам)=(по определению) 3) В ∆СOS и ∆С1O1S (где СOS=С1O1S =90°):а)S – общийб) SСО = SС1О1 (как соответственные при СО||С1О1 и секущей СС1) = = ∆СОS ~ ∆С1О1S (по двум углам) = (по определению) 4) В ∆DOS и ∆D1O1S(где DOS=D1O1S=90°):а)S – общийб) SDО = SD1О1 (как соответственные при DО||D1О1 и секущей DD1) = = ∆DОS ~ ∆D1О1S (по двум углам) = (по определению) В А С D D1 S А1 С1 В1 О О1 5) Таким образом, = ● и Симметрия правильной пирамиды. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания:1)плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра (рис.1); 2)плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней(рис.2). Рис.2 Рис.1 Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания. Правильные пирамиды до сих пор считаются первым чудом света, ключ к тайнам которых раскрыть до конца никому не удалось. Однако уже доказано, что правильная геометрическая форма пирамид со строго определенной пропорцией сторон и углов (принцип “золотого сечения”) оказывает сильное энергетическое воздействие на все живые существа и даже на неодушевленные предметы. Пирамиды можно считать уникальными регенераторами жизненной силы, от которой "заряжается" человеческий организм. В результате воздействия пирамид на человека уменьшаются головные, позвоночные и ревматические боли, улучшается его психоэмоциональное состояние, повышается жизненный тонус, нормализуется сон, увеличивается работоспособность. Для воздействия на тело человека лечебные пирамидки изготавливаются из различных целебных минералов: горного хрусталя, аметиста, обсидиана, флюорита, нефрита, сердолика, агата, яшмы, родонита, кахолонга, малахита, лазурита. Размеры таких пирамидок варьируют от 4х4 до 16х16 см. Лечебные и магические камни в форме правильных пирамид. Пирамидки из целебных минералов являются надежным щитом против вредных геопатогенных и техногенных излучений. Они положительно действуют на сердечно-сосудистую систему, половые органы, опорно-двигательный аппарат и на кору головного мозга. К тому же лечебные пирамидки оказывают мощное воздействие на определенные энергетические центры организма человека (чакры). Каменные пирамидки можно держать в жилых и в производственных помещениях, медицинских учреждениях, санаториях, музеях, банках; они полезны в любых ситуациях. Надо помнить, что каждая лечебная пирамидка, выполненная из определенного минерала, оказывает индивидуальное воздействие на организм человека. Далее приводятся данные о целебных свойствах десяти основных лечебных пирамид, которые вы можете использовать в домашних условиях и на работе для улучшения самочувствия и борьбы с различными негативными воздействиями окружающей среды. Цеолит - нормализация психологического состояния .Шунгит - защита от вредных излучений .Горный хрусталь - устранение депрессии .Аметист и флюорит - помощь при неврозах .Розовый кварц и родонит - стимуляция сердца .Янтарь - гармонизация физического состояния .Сердолик - увеличение ауры человека .Кахолонг - гармонизация функций организма. Обсидиан - подъем энергии в верхние чакры. Магические свойства правильных пирамид. О магических свойствах правильных пирамид, конечно, наслышаны все. Кто считает их очень полезными для здоровья, кто – ужасно вредными (вспомним хотя бы легенды о проклятии фараонов). Что же говорят по этому поводу знатоки эзотерики?В древности эти сооружения строили обязательно по принципу «золотого сечения». Только такие пирамиды способны оказывать защитное и целебное воздействие. Они дают энергетический заряд, снимают усталость, повышают тонус и гармонизируют общее состояние организма. Наибольшим защитным эффектом обладают пирамидки из шунгита. Они предохраняют от патогенных излучений, исходящих от техногенных устройств или предметов, с которыми соприкасались больные люди, нейтрализуют любые негативные зоны, оказывают благотворное воздействие на нервную систему, снимают головную боль. Шунгитовую пирамидку рекомендуется поместить там, где вы проводите много времени – например, возле кровати или на письменный стол. Она может также служить «защитным экраном», если вы поставите ее между собой и компьютером, телевизором или микроволновой печью. Но ни в коем случае нельзя ставить ее на «голову» или направлять вершину на больное место.Если вы – поклонник Фэн-Шуй, то вы можете гармонизировать пространство вокруг себя, поставив рядом с шунгитовой еще и нефритовую пирамидку. Шунгит является проводником женской энергии – инь, нефрит – мужской, янь. Шунгитовая пирамидка должна находиться слева от вас, нефритовая – справа. Но пребывать в радиусе их действия можно ежедневно не более 15-30 минут. Иначе ваша нервная система может перевозбудиться! Пирамиды из сердолика называют «солнечными». Они стимулируют нижние чакры, воздействуя на область солнечного сплетения, желудок, печень, половые органы, создавая вокруг них мощное защитное поле. Кроме того, сердоликовая пирамида может в 2-3 раза увеличить ваше собственное биополе. Этой техникой нередко пользуются йоги. Пирамидка из родонита, который на востоке называют «камнем утренней зари», способствует улучшению работы желез внутренней секреции, укрепляет иммунитет, снимает стрессы, стимулирует сердечную и корневую чакры, усиливает биополе. Пирамидка из горного хрусталя избавляет от депрессий и неврозов, дарует силы. Пирамидки из аметиста и флюорита снимают головные боли, бессонницу и депрессию, ускоряют процесс заживления ран. Работать с ними нужно так же, как с сердоликовыми. Пирамидка из горного хрусталя. Пирамидка из сердолика. Цвет пирамидки тоже имеет значение. Так, изделия из розового кварца оказывают положительное воздействие на работу сердечной мышцы, снимают нервное напряжение, улучшают состояние эмоциональной сферы, выравнивают биоритмы. Пирамидки из зеленого малахита или голубовато-зеленого амазонита излечивают сердечно-сосудистые заболевания и расстройства нервной системы. Из желто-оранжевого сердолика – благотворно влияют на пищеварительную и половую функции. Из светло-зеленого нефрита – тонизируют, успокаивают нервы. Пирамидки из шунгита и зеленого малахита. Пирамидка из розового кварца. Возможности применения пирамид. Изучение эффекта формы правильных пирамид открывает большие возможности для его применения. Необходимо отметить следующие возможности применения эффекта формы Пирамид, которые подтверждены практикой: эффективное решение проблемы городов и территорий с разбалансированной экологией; помощь в решении проблемы эпидемиологических ситуаций (путем как проведения работ с территориями, так и решения проблем конкретных людей с имеющимися проблемами);проблемы наркомании и алкоголизма (весьма обнадеживающие данные были получены в случаях применения стандартных растворов внутривенно и наружно при алкоголизме и наркомании даже в очень запущенных формах);повышение качества различных видов продукции (в т.ч. продуктов питания, напитков, лекарственных препаратов);упрощение некоторых технологических процессов. Ряд косвенных результатов и наблюдений указывает на следующие важные возможности формового эффекта Пирамид: решение проблемы природных катаклизмов;решение проблемы захоронений ядерных, химических и бактериологических отходов и безопасность соответствующих производств;качественно новый подход к средствам телекоммуникации, к средствам хранения и передачи информации (радиолокационные установки фиксируют над Пирамидами «энергетический столб» высотой в несколько километров; с такой «антенной» можно подобраться к самым серьезным фундаментальным задачам).