Презентация по геометрии на тему Усеченная пирамида(10 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математикивысшей категорииГавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь)- считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды. Определения. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой. Аn A1 A2 A3 P Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды.Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. РН- высота (не лежит во внутренней области пирамиды). РН - высота Р Н А В С Е М Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды. SАВСD – правильная пирамида.АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).SО – высота. С О В А D S Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. А В С Н S SH- апофема Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β||α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B1,B2,…,Bn. Плоскость β разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого являются n–угольники A1A2…An и B1B2…Bn(нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn(боковые грани), называется усеченной пирамидой. А1 А В В1 С С1 D D1 Еще одно определение усеченной пирамиды. Тело, получающееся из пирамиды, если отсечь ее вершину плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой. Четырехугольники A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn – боковые грани, n –угольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания усеченной пирамиды.Отрезки А1В1, А2В2, А3В3 ,…, АnВn – боковые ребра усеченной пирамиды. Усеченную пирамиду с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают так: А1А2…АnВ1В2…Вn . Теорема (свойство усеченной пирамиды):«Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции». Дано: АВСА1В1С1 – усеченная пирамида, полученная сечением пирамиды SАВС плоскостью (А1В1С1) || (АВС).Доказать: четырехугольники АА1С1С, АА1В1В и ВВ1С1С – трапеции. S B B1 А А1 С1 С 2) АС || А1С1 (доказали)АА1  СС1 = S = четырехугольник АА1С1С – трапеция (по определению) 3) (АSВ)  (АВС) = АВ (АSВ)  (А1В1С1) = А1В1 (А1В1С1) || (АВС) = АВ || А1В1 (по свойству параллельных плоскостей) 4) АВ || А1В1 (доказали)АА1  ВВ1 = S = четырехугольник АА1В1В – трапеция (по определению) (АSС)  (АВС) = АС (АSС)  (А1В1С1) = А1С1 (А1В1С1) || (АВС) = = АС || А1С1 (по свойству параллельных плоскостей) ◦ S B B1 А А1 С1 С S B B1 А А1 С1 С 5) (ВSС)  (АВС) = ВС (ВSС)  (А1В1С1) = В1С1 (А1В1С1) || (АВС) = = ВС || В1С1 (по свойству параллельных плоскостей) 6) ВС || В1С1 (доказали) ВВ1  СС1 = S = четырехугольник ВВ1С1С – трапеция (по определению) ● Определения.Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. D1 А С В D С1 В1 А1 Sбок. = SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D  Р А В С М К Н Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. (МНК) || ;АСНМ,АМКВ,ВСНК – равнобедренные трапеции, т.е. АМ=КВ=НС Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами. АВСDА1В1С1D1 – правильная усеченная пирамида; АВСD и А1В1С1D1 – квадраты; А1Н, В1М, D1К – апофемы. А А1 В В1 С1 С D D1 Н М К Теорема:«Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему». Sбок. пр. пир. =Ѕ∙(Росн1+Росн2 ) ∙d = Sбок = Ѕ·d∙(AB+A1B1+BC+B1C1+CD+C1D1+AD+A1D1)= = Ѕ∙d∙((AB+BC+CD+AD)+(A1B1+B1C1+C1D1+A1D1))==Ѕ∙d∙(PABCD+PA1B1C1D1) ● Sбок = SABB1A1 + SBCC1B1 + SCDD1C1 + SADD1A1 = = Ѕ∙A1K∙(AB+A1B1) + Ѕ∙B1M∙(BC+B1C1) + Ѕ∙D1N∙(CD+C1D1) + + Ѕ∙A1H∙(AD+A1D1) Но (по свойству ) A1K=B1M=D1N=A1H=d = ◦ A A1 B K H D N C M B1 C1 D1 Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида; А1К, В1М, D1N, A1H – апофемы, т.е. А1КАВ, В1МВС, D1NDC, A1HAD Доказать:Sбок =Ѕ∙d∙(РABCD+PA1B1C1D1) Теорема. Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле S S1 h x Дано: усеченная пирамида, полученная из обычной пирамиды путем отсечения от нее меньшей пирамиды Доказать: Но (по теореме об отношении площадей подобных треугольников) => ◦ ● Задача №1. Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде усеченной пирамиды, если глубина ямы 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м, а верхнего – 1,2м? 1)SABCD = AB 2 SABCD = 0,8 2 = 0,64 (м2)2)SA1B1C1D1 = A1B12SA1B1C1D1 = 1,22 = 1,44 (м2) Дано: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида, h=1,5м, ABCD и A1B1C1D1 – квадраты, АВ=0,8м, А1В1=1,2м Найти: Vус. пир. А В С D О О1 А1 D1 C1 В1 4)1,52 мі= 1520 лОтвет: 1520 л , А В С D О О1 А1 D1 C1 В1 Задача №2. Гранитная подставка имеет вид усеченной пирамиды высотой в 3,6м и с квадратными основаниями. Стороны оснований: а=2,8м и b=2м. Найти вес подставки, если удельный вес гранита 2,5∙10ікг/мі. Дано: АВСDА1В1С1D1 – усеченная пирамида, АВСD и А1В1С1D1 – квадраты, АВ=2 м,А1В1=2,8 м, ОН – высота пирамиды, ОН=3,6м, =2,5 ∙10ікг/міНайти: Р А В С С1 В1 А1 О Н D1 D = P=ρ∙V ∙g Р=m∙g m=ρ∙V 1) Ответ: ≈513 кН