Интегрированный учебный модуль «Применение математики к решению задач физического содержания при подготовке к ЕГЭ»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Газимуро-Заводская средняя общеобразовательная школа
Интегрированный учебный модуль
«Применение математики к решению задач физического содержания при подготовке к ЕГЭ»
Авторы: учитель математики МБОУ Газимуро-Заводская СОШ Макарова И.Ю.; учитель физики МБОУ Газимуро-Заводская СОШ Задорожина О.В.
2013 г
Аннотация:
В условиях современной школы невозможно предоставить качественное образование школьникам без учета межпредметных связей. Это связано с увеличением объема информации в школьном курсе и необходимостью подготовки всех учащихся к работе по самообразованию. Особенно важное значение приобретают межпредметные связи в активизации познавательной деятельности учащихся.
Межпредметные связи физики и математики не только помогают более наглядному формированию конкретных понятий каждого из предметов, но и способствуют наиболее полному представлению об окружающем мире (понятия о строении материи, различных процессах, видах энергии). Необходимость связи между учебными предметами диктуется дидактическими принципами обучения, воспитательными задачами школы, подготовкой учащихся к практической деятельности.
Взаимосвязь предметов играет большую роль в повышении уровня подготовки школьников к ГИА и ЕГЭ, делает более значимыми знания, раскрывает их практическое применение в жизни. Задания с прикладным содержанием, включенные в экзаменационные варианты по математике под номером В 12, В 13 представляют собой широкий круг (задачи на движение, тепловое расширение, давление, свободное падение и т. д.); по физике под номером А1, А2, А 3, В 1 и т.д.
Но как сделать эту подготовку наиболее эффективной? Как научить понимать и правильно применять полученные знания? Эти вопросы беспокоят многих учителей. Для этого и разработан интегрированный учебный модуль по теме «Применение математики к решению задач физического содержания при подготовки к ЕГЭ» для учащихся 11 класса.
Цель: создание условий для повышения у учащихся качества подготовки к ЕГЭ.
Задачи:
- сформировать у учащихся умение работать с информацией (поиск, отбор необходимых сведений, фактов, опорных знаний)
- повысить мотивацию к учению через решение личностно-значимой проблемы
- научить применять информацию при решение экзаменационных задач
Ожидаемые результаты: систематизация знаний в интеграции физики с математикой; повышение качества подготовки к ЕГЭ.Учебный модуль включает следующие блоки:
Блок 1 «Отбор содержания задач ЕГЭ по математике и по физике». Предполагает самостоятельную деятельность учащихся по анализу содержания материалов ЕГЭ и отбору необходимой информации.
Блок 2 «Опорные знания по математике и по физике». Предполагает выделение опорных знаний с помощью учителя на основе отобранных задач.
Блок 3 « Практикум по решению экзаменационных задач». Содержит примеры решения задач, на основе которых можно самостоятельно отработать выполнение задач ЕГЭ заданного блока.
Блок 1 «Отбор содержания задач ЕГЭ по математике и по физике»
Задача на ЕГЭ по математике Задача на ЕГЭ по физике Метапредметные знания
В12 . Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге. A 1  На рисунке представлен график зависимости пути от времени.
 
Определите по графику скорость движения велосипедиста в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения.
1) 2) 3) 4) 
Формула для нахождения скорости, расчетные навыки
В 12 Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону h(t) = 7 + 12t - 9t2 (t – время движения в секундах, h – расстояние от земли в метрах). Определите начальную скорость движения (в м/с).
В12 Высоту над землей подброшенного вверх мяча можно вычислять по формуле h (t) = 2 + 12t – 5t2 (h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более 6 метров? A 1 Тело разгоняется на прямолинейном участке пути, при этом зависимость пройденного телом пути S от времени t имеет вид: .
Чему равна скорость тела в момент времени  при таком движении?
1) 2) 3) 4)  Умение решать квадратные уравнения или неравенства, вид движения
В12 Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием  см. Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние  от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах. A 15 Если предмет расположен на расстоянии 10 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 7 см, то изображение находится приблизительно на расстоянии
1) 23,3 см перед линзой2) 23,3 см за линзой3) 15,2 см перед линзой4) 15,2 см за линзой
Вычислительные навыки, умение решать уравнения.
В12 При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. Единицы измерения величин, вычислительные навыки, зависимость изменения одной величины от другой (объема от температуры)
В 12 Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где  – температура нагревателя (в градусах Кельвина),  – температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя  КПД этого двигателя будет не меньше , если температура холодильника  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
A 23 Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно, совершая за один цикл работу 2 кДж. Количество теплоты 6 кДж рабочее тело двигателя получает за один цикл от нагревателя, температура которого 217 °С. Температура холодильника равна (ответ округлите до целых)
1) 17 °С 2) 54 °С 3) 288 °С 4) 327 °С
B 1 Температуру холодильника идеальной тепловой машины уменьшили, оставив температуру нагревателя прежней. Количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл, не изменилось. Как изменились при этом КПД тепловой машины, количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, и работа газа за цикл?
 Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
 1) увеличилась;
2) уменьшилась;
3) не изменилась.
 Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
 КПД тепловой машины   Количество теплоты, отданное газом
холодильнику за цикл работы   Работа газа за цикл 
? ? ?
Вычислительные навыки, прямая и обратная зависимость
В 12 Сила тока в цепи  (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: , где  – напряжение в вольтах,  – сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах. A 12 Идеальный амперметр и три резистора сопротивлением  Ом,  и  включены последовательно в электрическую цепь, содержащую источник с , равной  В, и внутренним сопротивлением  Ом. Показания амперметра равны
1) 100 A2) 4 A3)  0,56 A4) 0,25 A Вычислительные навыки, умение решать уравнение как пропорцию.
В 12 В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление  этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями  Ом и  Ом их общее сопротивление даeтся формулой  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах. A 12  На рисунке показан участок цепи постоянного тока.

Каково сопротивление этого участка, если ?
1) 7 Ом2) 2,5 Ом3) 2 Ом4) 3 Ом
Вычислительные навыки, умение решать уравнение как пропорцию.
В 12 Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной  метров и шириной  метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где  – масса экскаватора (в тоннах),  – длина балок в метрах,  – ширина балок в метрах,  – ускорение свободного падения (считайте м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление  не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах. Вычислительные навыки, умение решать уравнение как пропорцию.
В 12 К источнику с ЭДС  В и внутренним сопротивлением  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением  Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в Ома
B 2  К источнику тока присоединен резистор.

Как изменятся общее сопротивление цепи, сила тока в цепи и напряжение на клеммах источника тока, если параллельно к имеющемуся резистору подсоединить еще один такой же? ЭДС источника и внутреннее сопротивления считайте постоянными.
 Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
 1) увеличится;
2) уменьшится;
3) не изменится. Прямая и обратная зависимость, вычислительные навыки
A 2  На тело, находящееся на горизонтальной плоскости, действуют три горизонтальные силы (см. рисунок, вид сверху).

Каков модуль равнодействующей этих сил, если .
A 3 На рисунке представлены четыре вектора сил.

С исключением какого из четырех векторов равнодействующая оставшихся трех векторов равна нулю?
A 4 Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке.
 
Модуль импульса первого тела равен , а второго тела равен . Чему равен модуль импульса системы этих тел после их абсолютно неупругого удара? Построение вектора суммы неколлинеарных и коллинеарных векторов, теорема Пифагора, модуль вектора.
A 11  Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 2 раза, и один из зарядов уменьшили в 2 раза. Сила взаимодействия между зарядами
1) увеличилась в 2 раза2) увеличилась в 4 раза3) увеличилась в 8 раз4) не изменилась
A 8  При повышении абсолютной температуры идеального газа в 2 раза средняя квадратичная скорость теплового движения молекул
1) уменьшится в  раз 2) увеличится в  раз 3) уменьшится в 2 раза 4) увеличится в 2 раза
B 1 Груз массой m, подвешенный к пружине, совершает колебания с периодом T и амплитудой . Что произойдет с периодом колебаний, максимальной потенциальной энергией пружины и частотой колебаний, если при неизменной амплитуде уменьшить массу груза?
 Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
 1) увеличилась;
2) уменьшилась;
3) не изменилась.
 Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
  Период колебаний   Максимальная потенциальная 
энергия пружины  Частота колебаний 
? ? ?
B 3  Пучок света переходит из воды в воздух. Частота световой волны равна , скорость света в воздухе равна с, показатель преломления воды относительно воздуха равен n.
 Физические величины:
А) длина волны света в воздухе;
Б) длина волны света в воде.
  А     Б  
? ?
 Формулы:
1) ; 2) ; 3) ;4) .
Прямая и обратная зависимость
A 15 Предмет S отражается в плоском зеркале аb. Изображение предмета  верно показано на рисунке

12) 23) 3 Построение симметричных фигур
A 14 В колебательном контуре, ёмкость конденсатора которого равна 20 мкФ, происходят собственные электромагнитные колебания. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени для этого колебательного контура имеет вид  где все величины выражены в единицах СИ. Индуктивность катушки в этом колебательном контуре равна
1) 12,5 мГн2) 0,2 Гн3) 25 Гн4) 100 Гн
Умение решать тригонометрическое уравнение.
Блок 2 «Опорные знания по математике и по физике»
Вычислительные навыки, необходимые для решения задач ЕГЭ
Сложение чисел
Вычитание
Умножение
Деление
Приближенные вычислении, округление чисел
Стандартная запись числа
Свойства степени
2) Идеи теории симметрии, тесно связанной с математикой, в частности с геометрией, позволяют
в молекулярной физике рассмотреть строение молекул кристаллов
в оптике изучить построение изображений в плоских зеркалах
в физике элементарных частиц ознакомить учащихся со слабым взаимодействием кварков и лептонов
исследовать связь законов сохранения и т.д.
3) Язык математических формул позволяет в ряде физических ситуаций без эксперимента делать важные выводы. Например: законы для идеального газа: Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля. Три закона выведены в предположении, что одна из величин (объем, либо температура, либо давление), характеризующих состояние газа, постоянна. Определить связь, в которой находится объем, давление и температура, когда каждая из величин (V, p, t) изменяется, можно через математические преобразования.
Графический язык, основа которой – математика, широко используется в курсе физики при рассмотрении различных процессов.
Составление задач по заданному графику, формуле
Свойства некоторых функций, в основном линейной, квадратичной, обратной пропорциональности, синуса и т.д. Сравнивая уравнения должны делать выводы о свойствах величины.
Векторный язык. Используется в курсе физике для иллюстрации векторных величин, т.е. величин, имеющих направление.
Построение вектора суммы неколлинеарных и коллинеарных векторов. Тоже используются широко при решении задач на применение законов Ньютона, сложении сил, напряженности поля силы системы зарядов, векторов магнитной индукции, созданной различными токами в точке и т.д.
7) Геометрические сведения:
Координатный метод
Теорема Пифагора
Определение синуса, косинуса
Подобие треугольников
Метод пропорций (прямая и обратная пропорциональная зависимость) используется не только для вывода, чтения формул, но и так же для решения задач.
Таким образом, можно выявить основные метапредметные знания:
Распознавание вида функции по формуле
Вычисление значения функции по формуле
Расчет по формуле значения аргумента, при которой функция принимает заданное значение.
Выражение из формулы одной величины через другую
Нахождение области определения функции
Строить график
По абсциссе точки графика находить ординату
По ординате точки графика находить ее абсциссе
По нескольким графикам, вычерченной в одной общей системе координат, находить координаты точек пересечения графиков
Определять интервалы, где функция возрастает и убывает
Указывать области «знакопостоянства» функции
Находить наибольшее и наименьшее значения функции и абсциссы точек, в которых эти значения достигнуты
Определять по формуле, принадлежит ли точка с заданными координатами графику представленной функции.
Блок 3 « Примеры решения задач ЕГЭ»
МАТЕМАТИКА
Пример 1  После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время  падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где  – расстояние в метрах,  – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
Решение.
Пусть  – расстояние до воды до дождя,  – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным с. Уровень воды поднимется на  метров.
 
Ответ: 1.
Пример 2 Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где  – высота в метрах,  – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?
Решение.
Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение :
 
Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,2 секунды.
 Ответ: 1,2.
Пример 3 Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где  м,  – постоянные параметры,  – смещение камня по горизонтали,  – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
Решение.
Задача сводится к решению неравенства : при заданных значениях параметров a и b:
 м.
Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 метра, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 до 90 метров от этой стены. Наибольшее расстояние – 90 метров.
 Ответ: 90.
Пример 4 . Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где  (Па) – давление в газе,  – объeм газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
Решение.
Пусть  и  – начальные, а  и  – конечные значения объема и давления газа, соответственно. Задача сводится к решению неравенства , причем :
 .
Ответ: 2.
Пример 5 Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  – постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?
Решение.
Задача сводится к решению неравенства  при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе  кВ, сопротивления резистора  Ом и ёмкости конденсатора  Ф:
  кВ.Ответ: 2.
ФИЗИКА
Пример 1 При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид: .
Чему равна скорость тела в момент времени  при таком движении?
1) 2) 3) 4) 
Решение.
При равноускоренном движении зависимость координаты тела  от времени в общем виде следующая:
.
Сравнивая с выражением, данным в условии, получаем, что начальная скорость равна  а ускорение  Таким образом, скорость тела в момент времени  равна
.
Правильный ответ: 3.
Пример 2.
A 14 Через катушку течёт электрический ток, сила  которого зависит от времени  так, как показано на графике. Индуктивность катушки 10 . Какая энергия будет запасена в катушке в момент времени ?

1) 15 мДж2) 30 мДж3) 45 мДж4) 180 мДж
Решение.
Энергия магнитного поля в катушке связана с величиной силы тока в ней и с индуктивностью соотношением: . Из графика видно, что к моменты времени  сила тока была равна 6 А. Следовательно, энергия магнитного поля, запасенная в катушке была равна .
Правильный ответ: 4.
Пример 3.
A 3 На рисунке представлены три вектора сил, лежащих в одной плоскости и приложенных к одной точке.

Масштаб рисунка таков, что сторона одного квадрата сетки соответствует модулю силы 1 H. Определите модуль вектора равнодействующей трех векторов сил.
1) 0 H2) 5 H3) 10 H4) 12 H
Решение.
Из рисунка видно, что равнодействующая сил  и  совпадает с вектором силы  Следовательно, модуль равнодействующей всех трех сил равен
.
Используя масштаб рисунка, находим окончательный ответ
.

Правильный ответ: 3.
Пример 4.
B 1 Температуру холодильника идеальной тепловой машины уменьшили, оставив температуру нагревателя прежней. Количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл, не изменилось. Как изменились при этом КПД тепловой машины, количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, и работа газа за цикл?
 Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
 1) увеличилась;
2) уменьшилась;
3) не изменилась.
 Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
 КПД тепловой машины   Количество теплоты, отданное газом
холодильнику за цикл работы   Работа газа за цикл 
? ? ?
Решение.
Если понизить температуру холодильника при неизменной температуре нагревателя, КПД идеальной тепловой машины увеличится: . КПД связано с работой газа  и количеством теплоты , полученным газом за цикл, соотношением . Таким образом, поскольку при понижении температуры холодильника количество теплоты, получаемое газом от нагревателя за цикл, не изменяется, заключаем, что работа газа за цикл увеличится. Отданное холодильнику количество теплоты можно найти из закона сохранения энергии: . Так как после понижения температуры холодильника количество теплоты  останется неизменным, а работа возрастет, количество теплоты , отданное холодильнику за цикл работы, уменьшится.
Пример 5.
B 2 К источнику тока присоединены два одинаковых резистора, соединенных параллельно.

Как изменятся общее сопротивление цепи, сила тока в цепи и напряжение на клеммах источника тока, если удалить один из резисторов?
 Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
 1) увеличится;
2) уменьшится;
3) не изменится.
 Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
 
 Общее сопротивление цепи   Сила тока в цепи   Напряжение на источнике тока 
? ? ?
Решение.
При удалении одного из резисторов общее сопротивление цепи увеличивается. Действительно, в исходной схеме сопротивление нагрузки равнялось , а в конечной — R. Сопротивление нагрузки возрастает, тоже самое верное и для общего сопротивления цепи. По закону Ома, для силы тока в цепи имеем выражение , где  — сопротивление нагрузки. Так как сопротивление нагрузки увеличивается, сила тока в цепи уменьшается. Напряжение на источнике тока определяется выражением: . Легко видеть, что при удалении одного из резисторов напряжение увеличивается:
.
Пример 6.
A 24 На рисунке представлен участок электрической цепи.

Каково отношение количеств теплоты , выделившихся на резисторах  и  за одно и то же время?
1) 0,442) 0,673) 0,94) 1,5
Решение.
Найдем, как относятся силы тока через резисторы  и  Используя рисунок, получаем
.
Следовательно,
.
Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяющееся на проводнике при прохождении тока, пропорционально произведению квадрата силы тока, величины сопротивления проводника и времени прохождения тока: . Таким образом
.
Правильный ответ: 3.
Ресурсы для самоподготовки:
http://phys.reshuege.ru/http://ege.yandex.ru/http://4ege.ru/http://fipi.ru/30 вар. тип. зад. и 800 части 2(С)_Семенов, Ященко_2014 -216с.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Вступительные испытания / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. - М.: Издательство «Экзамен», 2013.
Подготовка к ЕГЭ-2014", "Физика. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ. … Издательство: Легион, 2013 г. Серия: Готовимся к ЕГЭ. Жанр: ЕГЭ по физике, ЕГЭ
ЕГЭ 2013. Физика. Типовые тестовые задания / О.Ф. Кабардин, СИ. Кабардина, В.А. Орлов. — М. : Издательство «Экзамен», 2013. — 143 с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания»)3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1. Под. ред. Семенова А.Л., Ященко И.В