Презентация на тему Корень н-ой степени и его свойства
Корень n-й степени и его свойстваВыполнила учитель математики МБОУ «СОШ с. Малокурильское» Илларионова И.М.
Определение корня.Обсудим понятие квадратного корня из числа a: это такое число, квадрат которого равен a. Другими словами, х – квадратный корень из числа a, если выполняется равенство 𝒙𝟐= a.Введём по аналогии понятие корня n-й степени из числа a. Обобщение совершенно очевидно: корнем n-й степени из числа a называется такое число х, n-я степень которого равна а. Другими словами, х – решение уравнения 𝒙 𝒏 = a.
Пример 1а) Число 4 является корнем уравнения х3= 64, т.к. выполняется равенство 43 = 64.б) Числа 2 и -2 являются корнями уравнения х4 = 16, т.к. выполняются равенства: 24 = 16 и (-2) = 16.Вообще, при рассмотрении уравнения х𝑛 = а, как правило, получаем решения, которые являются иррациональными числами. Такое решение обозначают символом 𝑛а.Например, решением уравнения х3 = 2 является иррациональное число, которое обозначают символом 32 ≈ 1,25.
При решении уравнения 𝑥𝑛 = a (где а > 0, n ∈ N, n ≥ 2) получаем в случае чётного n два корня: х1 = - 𝑛а и х2 = 𝑛х, в случае нечётного n – один корень х = 𝑛х.Это проиллюстрировано рисунком, на котором приведён график функции y = 𝑥𝑛 и приведено решение уравнения 𝑥𝑛 = a.
𝑛𝑎 показатель корня подкоренное выражение
Зависимости 𝒏𝒂 = b и 𝒃𝒏 = a между неотрицательными числами a и b обозначают одну и ту же связь.Операцию нахождения корня называют извлечением корня.Такая операция является обратной по отношению к операции возведения в соответствующую степень.
Зависимость между 𝑛𝑎 = b и 𝑏𝑛 = a Возведение в степеньИзвлечение корня
{284E427A-3D55-4303-BF80-6455036E1DE7}Возведение в степеньИзвлечение корня43 = 64364 = 40,54 = 0,062540,0625 = 0,5(23)5 = 32243532 243 = 23(43)3 = 6427 = 21027321027 = 36427 = 43{284E427A-3D55-4303-BF80-6455036E1DE7}Возведение в степеньИзвлечение корня
Пример 2Используя определение, вычислим:а) 3125 = 5, т.к. 125 ≥ 0 и 53 = 125;б) 40,0081 = 0,3, т.к. 0,0081 ≥ 0 и 0,34 = 0,0081;в) 364125 = 45, т.к. 64125 ≥ 0 и (45)3 = 64125.
Операцию извлечения корня можно ввести и для отрицательного числа а, но только в случае нечётного показателя n корня.Например, равенство (−4)3 = - 64 можно записать в виде 3− 64 = - 4Пример 3Используя определение, вычислим:а) 5−32 = - 2, т.к. – 32 < 0, - 2 < 0 и (−2)5 = - 32;б) 3−125 = - 0,5, т.к. 0,125 < 0, - 0,5 < 0 и (−0,5)3 = - 0,125.
Пример 4Решим уравнение:а) 43х+7 = - 1.Корень чётной степени – число неотрицательное и не может равняться числу – 1. Поэтому данное уравнение решений не имеет.б) 45х −14 = 1.Обе части уравнения – неотрицательные выражения. Поэтому обе части возведём в четвёртую степень и получим линейное уравнение 5х – 14 = 1 или 5х = 15, корень которого х = 3Итак, данное иррациональное уравнение имеет единственное решение х = 3.
в) 33х+10 = - 2.Уравнение содержит корень нечётной степени. Возведём в куб обе части и получим линейное уравнение 3х + 10 = - 8 или 3х = - 18, корень которого х = -6. Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение х = - 6.
Пример 5Решим неравенство: а) 42х−34−х > - 2.Левая часть неравенства – неотрицательное выражение, правая часть – отрицательное число. Поэтому неравенство выполнено для всех значений х из ОДЗ неравенства.Решим неравенство 2х −34 −х ≥ 0, например методом интервалов.Получаем х Є [1,5; 4]. Этот промежуток является решением данного иррационального неравенства.
б) 𝑥2+3х ≥ 2.Левая часть неравенства – неотрицательное выражение, правая часть – положительное число. Поэтому возведём обе части неравенства в квадрат: 𝑥2 + 3х ≥ 4.При этом подкоренное выражение положительно.Решим полученное квадратное неравенство: 𝑥2 + 3х – 4 ≥ 0 и получим: х Є (-∞; - 4] U [1; + ∞).
Самостоятельная работа Решить уравнение (неравенство) І вариант ІІ вариант а) 3х+1 = х + 1 а) 8х+1 = 2х +1б) 𝑥2−2х+1 = 1 – х б) 𝑥2−4х+4 = 2-хв) 3х+1х−1 ≥ 2 в) 2х−1х+1 ≥ 2
Список литературыУчебник математики для 10-11 класса (Колмогоров А.Н.)Поурочные разработки по алгебре и началам анализа (Рурукин А.Н.)Книги для учителя для 10 и 11 классов (Потапов М.К.)