Презентация к уроку математики Степенные функции, их свойства и графики. 11 класс
"СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ, их свойства и графики"МОУ «ЛИЦЕЙ № 12»Выполнили учащиеся 11 класса Руководитель: Каримова Елена Викторовнаг. Железногорск
Цели и задачи:Изучить свойства и особенностиграфиков степенных функций , где r – рациональное число.Рассмотреть примеры практического применения изученных свойств функций.Показать использование степенных функций в окружающей жизни.
Степенными функциями называют функции вида , где r – любое рациональное число
О происхождении терминов и обозначенийК умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Греции (выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа – при нахождении объема куба). Но современные обозначения (типа ) в XVII в. ввел Декарт.Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробным показателем встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (1323 -1382). Известно, что Шюке (ок. 1445 - ок. 1500) рассматривал степени с отрицательным и нулевым показателем. С.Стевин предложил подразумевать под корень . Немецкий математик М. Штифель (1487-1567) дал определение при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон (1643 -1727).
Рене Декарт (1596-1650) Симон Стевин(1548-1620)Николай Оре́м, или Николай Орезмский(1323-1382)
«Как алгебраисты вместо АА, ААА, … пишут А2, А3, …,так я вместо пишу а-1, а-2, а- 3, … » Ньютон И. (1643 -1727)
Степенная функция у=х , где - целое число mm
x1 0 1 yу = х
xу = х2 у = х6у = х4y 0 1 1
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
xу = х3 у = х7у = х5y 0 1 1
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
yxу = х-1у = х-3у = х-5 0 1 1
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
xу = х-4y 0 1 1
« Степенная функция где »
x -1 0 1 2у = х3,1у = х2,5у = х1,5у
Свойства функции ;не является ни четной, ни нечетной;возрастает на ;не ограничена сверху, ограничена снизу;не имеет наибольшего значения; ;непрерывна; ; выпукла вниз;
Докажем третье свойство:Тогда , т.е.Итак, изследует т.е. функция возрастает.Пусть
Выводы:Особенности графика функции , где : расположен в I координатной четверти, проходит через точки (0;0), (1;1), похож на «ветвь» параболы.
Степенные функцииих свойства и графики
Функцияyx -1 0 1 2у = х0,84у = х0,7у = х0,5
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Выводы:Особенности графика функции , где : расположен в I координатной четверти, проходит через точки (0;0), (1;1), похож на график функции , обладает такими же свойствами.
Степенные функцииих свойства и графики
Функцияx -1 0 1 2у = х-0,3yу = х-1,3у = х-3,8у = х-2,3
ppt_yppt_yppt_y
Выводы:Особенности графика функции : расположен в I координатной четверти, проходит через точки (0;0), (1;1), похож на «ветвь» гиперболы. График данной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.
2. Практическое применение1. Решите уравнение Решение. Нетрудно подобрать один корень этого уравнения: х = 1. 2) Т.к. степенная функция Ответ : х =1.возрастает, а линейнаяфункция убывает, то других корней у уравнения нет. – верное равенство.
2). Найдите наименьшее и наибольшее значение функции Решение:Воспользуемся тем, что функция возрастает и, следовательно, свои наименьшее и наибольшее значения достигает соответственно в левом и правом концах заданного промежутка, если концы промежутка принадлежат самому промежутку. на отрезке [1;2].
Задание. Построить график функцииxyу=(х-2)-13 0 1 1
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Примерx -1 0 1 2у = (х+2)–1,3 +1у = х-1,3
Примерx -1 0 1 2у = (х+2)–1,3 +1у = х-1,3
Задания для самостоятельного решенияРешите уравнение . Постройте и прочитайте график функции Решите неравенство .
Функции в пословицах
«Долго думал, да ничего не выдумал»Идеи, придумки, задумки yx, время (час)
«Как аукнется, так и откликнется»У - ответ на поступкиХ-поступки(добрые, злые)XY
«Поменьше говори, побольше услышишь»У, количество услышанногох, количество разговора
, где S - площадь поперечного сечения провода диаметра d F=Qm1m2r -2 , где F - сила притяжения между двумя телами с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r, Q-постоянная гравитационная величинаПрименение степенной функции в физикеТраектория движения тела, брошенного вверхHм
Применение степенной функции в экономикеФункция спросаГрафики издержек
3. Степенные функции в окружающейжизни. Гиперболоиды вращенияВращая гиперболу вокруг каждой из этих осей, получают два гиперболоида вращения -однополостной и двуполостной.
Однополостной гиперболоид вращения обладает замечательным свойством — через каждую точку этого гиперболоида проходят две прямые линии, целиком лежащие на нём. Поэтому однополостной гиперболоид как бы соткан из прямых линий.Однополостной гиперболоид
Свойства однополостного гиперболоида использовал русский инженер В.Г. Шухов при строительстве радиостанции в Москве (башни Шухова). Она состоит из нескольких поставленных друг на друга однополостных гиперболоидов. Также устроена и Эйфелева башня в Париже.Применение гиперболоидов
Пусть парабола начнет вращаться вокруг оси ординат. Получится что-то вроде чаши, только, чтобы она не была бесконечной, отрежем часть ее плоскостью, перпендикулярной оси ординат. Образуется фигура, которая называется параболоидом. При вращении тонкого прямоугольного сосуда с жидкостью вокруг его горизонтального центра поверхность жидкости в сосуде принимает форму параболыПараболоид вращения
Свойство параболы о фокусировании параллельного пучка прямых используется в конструкции прожекторов, фонарей, фар, а так же телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Если теперь сделать внутреннюю поверхность параболоида зеркальной и направить поток света по направлению оси ординат, то все лучи света соберутся в одной точке, которую, называют фокусом. А если в фокус поставить источник света, например, электрическую лампочку, то получится самая обыкновенная фара, или прожектор, или часть карманного фонарика.
Одно из очень важных применений параболы на практике связано с антенными устройствами.
Траектория движения - парабола
Парабола вокруг нас Перевал Нижняя Парабола
Парабола в архитектуре и строительстве
Выводы:Рассмотренные свойства функций можно применить на практике при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Степенные функции находят широкое применение в окружающей жизни, в смежных дисциплинах.