Конспект урока по теме: «Статистические характеристики»

Урок: «Статистические характеристики»Краткая характеристика урока: урок «Статистические характеристики» – это второй урок в курсе статистики в 7 классе. Домашнее задание на уроке не проверялось, т. к. первый урок по статистике был вводный. На уроке рассматриваются такие дидактические единицы: выборка, варианта выборки, объем выборки, среднее арифметическое, упорядоченный ряд, частота и размах. Для усвоения этих дидактических единиц необходимо решение задач на нахождение среднего арифметического и размаха выборки, построения упорядоченного ряда и таблицы частот по выборке.
Тема урока: Статистические характеристики (7 класс).
Тип урока: урок изучения нового.
Учебные задачи:
Изучить совместно с учениками основные статистические характеристики;
Дать описание таких понятий как: варианта выборки, статистическая выборка, вариационный ряд, частота варианты, таблица частот;
Совместно открыть определения таких понятий как: среднее арифметическое и размах;
Отработать нахождение среднего арифметического и размаха выборки, построения таблицы частот по выборке на простейших примерах.
Диагностируемые цели:
ученик знает:
Определение среднего арифметического и размаха выборки;
Описание варианты выборки, статистической выборки, вариационного ряда, частоты варианты, таблицы частот;
ученик умеет:
Находить среднее арифметическое и размах выборки;
Строить таблицы частот по выборке.
Замечание: слова учеников заключены в скобки и выделены курсивом.
Ход урока:
Для изучения обработки и анализа количественных данных различных массовых социально-экономических процессов и явлений проводят статистические (от латинского status – состояние, положение вещей) исследования. Уже в древних государствах вели учет населения, способного платить налоги. С развитием общества потребовались научные методы обработки и анализа самых разнообразных сведений. Так, в XIX веке появилась биологическая статистика, названная биометрикой и изучающая численные характеристики отдельных биологических особей и их популяций. Можно назвать еще более десятка различных статистик: экономическая, финансовая, налоговая, демографическая, медицинская, метеорологическая и т. д.
Каждое статистическое исследование состоит из сбора и обработки информации. На основе полученных данных проводится выработка различных прогнозов, оценка их достоверности и т. д. Важной задачей, без которой статистические данные теряют всякий смысл, является обработка полученных данных.
Сегодня на уроке мы познакомимся с некоторыми статистическими характеристиками, будем учиться их вычислять и решать задачи на их применение.
Рассмотрим пример. Учащимся седьмых классов был предложен тест по математике, состоящий из 10 заданий. При проверке работ отмечали количество заданий, верно выполненных учащимися. Число заданий верно выполненных каждым учеником выписали в строчку. Получили два ряда чисел:
7 «А» класс: 8; 7; 2; 5; 10; 9; 8; 7; 7; 10; 9; 6; 5; 8; 8; 10; 9; 9; 10; 7; 9; 10; 7; 9; 6;
7 «Б» класс: 8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9; 10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9.
Ряд чисел полученных в результате статистического исследования, называется статистической выборкой или просто выборкой, а каждое число этого ряда – вариантой выборки.
Назовите три первых варианты выборки для 7 «А» класса.
(Три первых варианты выборки для 7 «А» класса: 8, 7, 2)
Назовите три последних варианты выборки для 7 «Б» класса.
(Три последних варианты выборки для 7 «Б» класса: 7, 9, 9)
Количество вариант выборки называется объемом выборки.
Что является объемом выборки в нашем примере?
(Объемом выборки является количество учащихся каждого класса, участвовавших в тестировании)
Чему равен объем каждой выборки?
(В каждом случае объем выборки равен 25)
Имея только две выборки, трудно сравнить, успешность выполнения заданий теста учащимися этих двух классов или получить какую либо другую информацию. А если рассматривать результаты всех семиклассников города или целого региона, то информация будет столь громоздкой, что окажется почти бесполезной. Потому для статистической обработки данных рассматривают числовые характеристики выборки, одной из них является среднее арифметическое.
Определение: Средним арифметическим выборки называется частное суммы всех вариант выборки и количества вариант.
Поскольку количество вариант – это объем выборки, то как можно сформулировать определение среднего арифметического другими словами?
(Среднее арифметическое выборки – есть частное суммы всех вариант и объема выборки)
Зная определение найдем, например, средний балл, который получили учащиеся 7 «А» класса при выполнении теста. Как это сделать?
(Нужно найти сумму всех вариант выборки и разделить на объем выборки равный 25)
Выполняем.

Такой подсчет среднего арифметического выборки очень не удобен. Можно поступать иначе.
Перепишем выборку 7 «А» класса, расположив ее варианты, так чтобы каждая следующая была не меньше предыдущей (т. е. по возрастанию). Что получим?
(2; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10)
Такую запись выборки называют упорядоченным рядом данных (или вариационным рядом). Теперь легко увидеть, что 2 балла получил один ученик, 5 баллов – два ученика, 6 баллов – два ученика, 7 балов – пять учеников. Сколько учеников получили 8, 9, 10 баллов?
(8 баллов получили 4 ученика, 9 – 6 учеников, 10 – 5 учеников)
Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты. Так, например, частота варианты 7 равна 5, частота варианты 10 равна 5.
Какова частота варианты 2, 5, 6, 8, 9?
(частота варианты 2 равна 1, 5 – 2, 6 – 2, 8 – 4, 9 – 6)
Составим таблицу частот вариант для учащихся 7 «А» класса. В первой строке запишем все возможные количества баллов, которые могли получить учащиеся при выполнении теста, т. е. числа от 0 до 10. Во второй строке запишем соответствующие частоты, т. е. число учащихся, получивших указанное количество баллов.
Какое количество учащихся получило 0 баллов?
(0 учащихся получило 0 баллов)
Какое количество учащихся получило 1 балл?
(0 учащихся получило 1 балл)
продолжайте заполнение таблицы самостоятельно.
Баллы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число учащихся 0 0 1 0 0 2 2 5 4 6 5
Проверим, не ошиблись ли мы в подсчете частот: сумма частот должна быть равна объему выборки. Подсчитайте.
(0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 2 + 5 + 4 + 6 + 5 = 25)
Условимся, что нули можно не писать. Теперь можно вычислить среднее арифметическое выборки проще:

Заметим, что среднее арифметическое упорядоченного ряда данных и среднее арифметическое выборки – одно и тоже число. Объясните почему?
(Потому что мы использовали одну и ту же выборку)
Составим таблицу частот выборки для 7 «Б» класса. Что для этого в начале нужно сделать?
(Нужно составить упорядоченный ряд данных: 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10)
Теперь заполните таблицу.
Баллы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число учащихся 0 0 0 0 0 1 2 6 5 8 3
Чему равен объем выборки?
(1 + 2 + 6 + 5 + 8 + 3 = 25)
Теперь найдите среднее арифметическое.

Заметим, что обычно в таблицу частот не включают варианты, частоты которых равны нулю. Как будет выглядеть этом случае таблица частот для 7 «Б» класса?
Варианта (балл) 5 6 7 8 9 10
Частота (число учащихся) 1 2 6 5 8 3
Как будет выглядеть таблица частот для 7 «А» класса, если не включать варианты частоты, которых равны нулю?
Баллы 2 5 6 7 8 9 10
Число учащихся 1 2 2 5 4 6 5
Теперь, зная средние баллы учащихся 7 «А» и 7 «Б» классов, можно сделать вывод, что учащиеся 7 «Б» в целом написали тест лучше, поскольку 8,04 > 7,8.
Приведенные таблицы позволяют сделать еще несколько выводов о проведенном тестировании.
Чему равен наименьший полученный балл для первой выборки, т. е. результаты учащихся 7 «А» класса?
(наименьший полученный балл для первой выборки равен 2)
А наибольший?
(наибольший полученный балл для первой выборки равен 10)
Результаты всех учащихся класса располагаются между этими числами. Чему равна наименьшая варианта для второй выборки?
(наименьшая варианта для второй выборки равна 5)
А наибольшая?
(наибольшая варианта для второй выборки равна 10)
Это может означать, что в 7 «Б» собранны учащиеся знания, которых отличаются на небольшую величину, т. е. класс по знаниям «более ровный», чем 7 «А». Еще одной статистической характеристикой, которая используется при анализе статистических данных, является размах выборки.
Определение: Разность наибольшей и наименьшей вариант выборки называют размахом выборки.
Чему равен размах первой выборки (или упорядоченного ряда данных) в рассмотренном ранее примере?
(10 – 2 = 8)
Чему равен размах второй выборки?
(10 – 5 = 5)
Размах выборки находят в том случае, когда существенным для исследования является величина разброса данных в ряду. К примеру, в метеорологии важна не только среднесуточная температура, но и численная характеристика колебания температуры воздуха в течение суток, т. е. размах выборки.
Теперь, чтобы закрепить изученный материал необходимо решить несколько задач. К доске пойдет два человека: 1-ый под буквами а), б), второй – в), г).
Найдите объем, среднее арифметическое, и размах выборки.
а) 13; 12; 10; 12; 10; 14; 13; 10
б) 0; 1; 1; 1; –1; 0; 1; 0
в) – 5; – 7; 3; –1; 0; 2; 1; –3
г) 117; 121; 121; 121; 121.
1-ый ученик:
а) (Нужно найти объем, среднее арифметическое и размах выборки. Объем выборки – это количество вариант выборки)Чему тогда равен объем выборки?
(Объем выборки равен 8)
Как найти среднее арифметическое?
(Чтобы найти среднее арифметическое сначала нужно составить упорядоченный ряд: 10; 10; 10; 12; 12; 13; 13; 14. Затем нужно составить таблицу частот:
10 12 13 14
3 2 2 1
Теперь можно подсчитать среднее арифметическое:

Как найти размах выборки?
(Нужно найти разность наибольшей и наименьшей вариант выборки: 14 – 10 = 4)
б) (Объем выборки равен 8. Чтобы найти среднее арифметическое сначала составим упорядоченный ряд: – 1; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1. Затем нужно составить таблицу частот:
–1 0 1
1 3 4
Теперь можно подсчитать среднее арифметическое:

Размах выборки будет равен: 1 – ( – 1) = 2)
Проверим решение второго ученика.
в) (Объем выборки равен 8. Чтобы найти среднее арифметическое сначала составим упорядоченный ряд: – 5; – 3; – 1; 0; 1; 2; 3; 7. Затем нужно составить таблицу частот:
– 5 – 3 – 1 0 1 2 3 7
1 1 1 1 1 1 1 1
Теперь можно подсчитать среднее арифметическое:

Размах выборки равен: 7– ( – 5) = 12)
Заметьте, что если в выборке каждое значение встречается один раз, то таблицу частот можно не составлять, а сразу считать среднее арифметическое.
г) (Объем выборки равен 5. Чтобы найти среднее арифметическое сначала составим упорядоченный ряд: 117; 121; 121; 121; 121. Затем нужно составить таблицу частот:
117 121
1 4
Теперь можно подсчитать среднее арифметическое:

Размах выборки равен: 121 – 117 = 4)
У класса есть вопросы по заданию 1?
(Нет, все понятно)
Решим задачу: пшеницей засеяно три поля, площади которых равны 10 га, 12 га и 4 га. Средняя урожайность на первом поле составляет 18 ц с 1 га, на втором – 18,5 ц с 1 га, на третьем 23,5 ц с 1 га. Какова средняя урожайность пшеницы, собранной с трех полей?
Чему равен объем выборки?
(Объем выборки равен 3)
Если урожайность первого поля составляет 18 ц с га, то чему равна урожайность всего поля?
(Урожайность первого поля равна 10 га·18 ц/га = 180 ц)
Чему равна урожайность второго поля?
(Урожайность второго поля равна 12 га·18,5 ц/га = 222 ц)
Чему равна урожайность третьего поля?
(Урожайность третьего поля равна 4 га·23,5 ц/га = 94 ц)
Как теперь найти среднюю урожайность трех полей?
(Нужно сложить урожайность каждого поля и разделить на объем выборки)
Выполняем.

Что требовалось найти в задаче?
(Среднюю урожайность пшеницы, собранной с двух полей)
Записываем ответ.
(Ответ: средняя урожайность пшеницы, собранной с трех полей, равна 165, 333)
У класса есть вопросы по задаче?
(Нет, все понятно)
Теперь решим такую задачу: среднее арифметическое выборки из десяти элементов равно 22. К выборке приписали число 11. Чему равно среднее арифметическое новой выборки?
Что известно из задачи?
(Среднее арифметическое исходной выборки равно 22; выборка состоит из 10 элементов, т. е. объем выборки равен 10)
Итак известен объем выборки и среднее арифметическое. Зная эти величины можно найти сумму вариант выборки. Как ее найти?
(Нужно умножить среднее арифметическое на объем выборки: 22·10 = 220)
Что еще известно из условия задачи?
(Известно, что к исходной выборке прибавили число 11)
Чему будет равен объем новой выборки?
(Объем новой выборки будет на 1 больше, т. е. равен 11)
Как изменится сумма вариант выборки?
(Увеличится на 11, т. е. равна 231)
Теперь мы знаем сумму вариант и объем новой выборки, мы можем найти ее среднее арифметическое?
(Да. Среднее арифметическое новой выборки будет равно: 231/11 = 21)У класса есть вопросы по задаче?
(Нет, все понятно)
Решим еще задачу: среднее арифметическое выборки из 12 элементов равно 15. В эту выборку добавили еще одно число, после чего среднее арифметическое стало равно 14. Какое число добавили?
Что известно из задачи?
(Среднее арифметическое исходной выборки равно 15; выборка состоит из 12 элементов, т. е. объем выборки равен 12. Среднее арифметическое новой выборки равно 14; выборка состоит из 13 элементов, т. е. объем выборки равен 13.)Что можно найти, зная объем выборки и среднее арифметическое.
(Зная эти величины можно найти сумму вариант для каждой выборки)
Как ее найти?
(Нужно умножить среднее арифметическое на объем выборки. Для первой выборки получим: 12·15 = 180. Для второй: 13·14 = 182 )Что нужно найти в задаче?
(Нужно найти, какое число добавили в выборку)
Как найти это число?
(Нужно вычесть из суммы вариант новой выборки сумму вариант исходной выборки: 182 – 180 = 2, т. е. к выборке добавили число 2)
Запишите ответ.
(Ответ: к исходной выборке добавили число 2)
У класса есть вопросы по задаче?
(Нет, все понятно)
Урок подходит к концу, давайте подведем итоги. Какие статистические величины мы изучали на этом уроке?
(На этом уроке мы узнали, что такое выборка, варианта выборки, объем выборки, среднее арифметическое, упорядоченный ряд, частота и размах)
Дайте определение статистической выборки и варианты выборки.
(Ряд чисел полученных в результате статистического исследования, называется выборкой, а каждое число этого ряда – вариантой выборки)
Какая величина называется объемом выборки?
(Количество вариант выборки называется объемом выборки)
Как найти среднее арифметическое выборки?
(Сначала нужно составить из данной выборки упорядоченный ряд данных, потом составить таблицу частот и по этой таблице можно легко подсчитать среднее арифметическое выборки как частное суммы всех вариант и объема выборки)
Какую запись выборки называют упорядоченным рядом?
(Упорядоченным рядом называют запись выборки, в которой все ее варианты расположены по возрастанию)
Какая величина называется частотой варианты?
(Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты)
хорошо. На следующем уроке мы продолжим изучать статистические величины и решать задачи. А теперь записываем домашнее задание:
В выборке 12; 14; 15; 17; 17; 18 одна варианта пропущена. Найдите ее, если известно что:
а) среднее арифметическое выборки равно 15;
б) размах выборки равен 8;
в) размах выборки равен 7, а среднее арифметическое выражается целым числом.
Ученики провели 20 экспериментов по подбрасыванию игральной кости. Отмечая число выпавших очков, они получили следующие данные:
3; 4; 1; 6; 6; 2; 1; 2; 4; 5; 6; 2; 3; 6; 4; 4; 1; 2; 5; 3.
Составьте упорядоченный ряд данных и постройте таблицу частот. Найдите среднее арифметическое и размах упорядоченного ряда данных.
Результаты статистического исследования были записаны в виде таблицы частот, но одно из данных было утрачено.
Варианта 8 11 Частота 4 6 4
Восстановите пропущенное в таблице число, если известно, что среднее арифметическое выборки равно 10.
Проверка скорости чтения учеников (количество слов в минуту) дала результаты, занесенные в таблицу частот (скорость чтения учеников округлялась до десятков).
Скорость чтения 100 110 120 130 140
Число учащихся 3 6 7 5 4
По таблице найдите:
а) число учащихся в классе;
б) среднюю скорость чтения.
Среднее арифметическое выборки из 16 чисел равно 218. Из выборки вычеркнули варианту 338. Чему равно среднее арифметическое получившейся выборки?
Спасибо за урок.
После урока у учеников в тетрадях остаются записи: основные определения, изученные на уроке, нахождение основных статистических характеристик.