Решебник по теме Тела вращения 11 класс

 Задачи с решениями по теме « Тела вращения»
Задача 1.
Прямоугольный треугольник с острым углом А = 30° и противолежащим катетом 4 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найти объем полученного тела вращения.
Решение: Vт =Vц – Vк1 – Vк2
Конус1 имеет основание с диаметром АА1; Конус2 имеет основание с диаметром ВВ1.
Vц = Sосн*H; Vк = 1/3 Sосн*h
СВ=СВ1=4 см, тогда АВ=А1В1=8 см=H, АС=А1С=√82+42=√48см;
∆АА1С -равносторонний; АА1=√48см=4√3,
R1=R2=2√3см, О1С=√48 – 12=√36=6см=h1
h2=8-6=2см
Vц=П( 2√3)2•8=96П Vк1=1/3П(2√3)2•6=24П Vк2=1/3П(2√3)2•2=8П
Vт=96П - 24П - 8П = 64П
Ответ: 64Псм3
 Задача 2
Прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и проведенной к ней высотой равной 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Решение: АВ=25 см, СН=12 см
Sтела=Sбок.кон(1) + Sбок.кон(2)
h2=ac*bc (высота в прямоугольном треугольнике)
CH2=AH*HB. Пусть AH=x, тогда НВ=25-x.x(25-x)=122;x2-25x+144=0;АН=16 см, НВ=9 см Из ΔАНС по теореме Пифагора АС2=АН2+СН2
АС=20см-(образующая 1)
Sбок.кон(1)=πrl=π*12*20=240π (cм2 )
Из ΔВНС СВ2=СН2+НВ2
CB=15 (см).- (образующая 2).
Sбок.кон(2)=π*12*15=180π (см2).
Sтела=240π +180π=420π (см2)
Ответ: 420π см2
 Задача 3
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см вращается вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Решение:
АС=5 см, НК=10см, СК=13 см.
ОК=НК-АС=5 см; l=13 см
Из ΔСОК по теореме Пифагора СО2=СК2-ОК2;
СО=r =12 см;
Sбок.кон=πrl=π*12*13=156π (см2);
Sцил.=2πrh+πr2=2π*12*5+144π=264π (см2);
Sтела= Sбок.кон.+Sцил.= 156π +264π=
=420π (см2);
 Ответ: 420π см2Задача 4
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и
10см и большей боковой стороной равной 13 см вращается
Вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности
тела вращения. Прямоугольная трапеция с основаниями
5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см
вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь
Поверхности тела вращения.
Решение:
ВС=5 см, АD=10 см,АВ=13 см
Sтела= Sбок.кон.+Sцил(1основание)
Sтела= πrl+2πrh+πr2; АК=АD-ВС=5 (см);
Из ΔАКВ - прямоугольного по теореме Пифагора
КВ2=АВ2-АК2;
КВ=12см – r
AB=l – образующая
h=AD=10 см
Sтела=π*12*13 + 2π*12*10+144π=540π (см2).
Ответ: 540π см2Задача 5.
Равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 10 см и
высотой 4 см вращали вокруг большего основания. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
 
Решение:
 АВ=4см, DC=10 см, ВН=4 см
 Sтела=2 Sбок.кон.+Sбок.цил.
 Sбок.кон=πrl  HC=10-2/2=3.
 Из ΔВНС по теореме Пифагора СВ2=СН2+НВ2;
CВ=5 см.-l (образующая).
 BH=r=4 cм;
Sбок.кон=π*4*5=20π (см2)
h=HH1=10 – (3+3)=4 см. Sбок.цил.=2πrh=2*4*4*π=32π (см2)
Sтела=40π+32π=72π (см2).
Ответ: 72π см2.
 
Задача 6
Параллелограмм со стороной 3 см и 6 см , острым углом А= 60° вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, параллельно высоте параллелограмма. Найти объем полученного тела вращения.
 Решение:
Vт=Vук – Vк; Vук=1/3П h(R2+R12+RR1); Vк=1/3ПR2h; угол D=A, угол СDC1=60°, ∆CC1D – равносторонний, СС1=6см, Rк=3см, h=√62-32=√27=3√3см
R=BD+B1D=3+3=6cм; R1=AC+CC1+A1C1=3+6+3=12см
Vк=1/3П •62•3√3=36√3П
Vук=1/3П 3√3(36+144+72)=252√3П
Vт= 252√3П - 36√3П =216√3П
Ответ: 216√3П см3