Методическая разработка. Решебник для 4 класса. Тема: задачи на движение
МАОУ « ШКОЛА №3» КАМЫШЛОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ, СВЕРДЛОВСКАЯ ОБЛАСТЬ
РЕШЕБНИК ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ (ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ)
4 КЛАСС
В ПОМОЩЬ УЧАЩИМСЯ И РОДИТЕЛЯМ
2016 год
АВТОР: ЩЕПИНА ЕЛЕНА ОЛЕГОВНА
Учитель технологии
Вы держите в руках разработку – помощницу по математике для четвероклассников.
Она придумана для тех, кто хочет научиться решать задачи на движение. Это большая группа задач, которые считаются трудными для учеников начальных классов.
Две причины трудности:
Первая – это понятие скорости. Почему? Потому что её нельзя увидеть, её нельзя измерить как время (часами) и как расстояние (линейкой);
Вторая – чертёж в отрезках (математическая модель).
Научиться преодолевать трудности в решении задач на движение – это значит научиться определять зависимость между величинами: скорость, время, расстояние.
В разработку включены задачи с решениями и для самостоятельной работы.
Надеюсь, что вам понравится это пособие.
Желаю удачи!
Алгоритм работы над задачей.
С чего начать работу над задачей? Можно выделить следующие этапы:
Читаем условие задачи. Условие – это та часть текста, где содержатся сведения об известных и неизвестных значениях величин, об отношениях между ними.
Определяем требование, т.е. указание на то, что надо найти. Требование обычно выражается вопросом, начинающимся словом «Сколько…?» и заканчивающимся знаком вопроса.
Находим данные задачи. Данные – это известные числа.
Определяем искомое. Это конечная цель процесса решения арифметической задачи.
Если что-то непонятно, необходимо обратиться за разъяснением к учителю. Могут встретиться непонятные слова и обороты.
Ищем пути решения задачи и составляем план решения.
Можно использовать графическую модель (схема в «отрезках») или составить таблицу.
Записываем решение и ответ.
Выполнить проверку (например, составление обратной задачи или решение другим способом).
1.1 УЧИМСЯ РАБОТАТЬ НАД ЗАДАЧЕЙ ПО АЛГОРИТМУ
Задача.
Расстояние между городом и зимовкой 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со средней скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник со скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от зимовки он встретит аэросани?
Читаем условие задачи.
Определяем требование: на каком расстоянии от зимовки он встретил аэросани?
Данные задачи: расстояние 150 км между городом и зимовкой; скорости лыжника 15 км/ч и аэросаней 60 км/ч.
Искомое: расстояние от зимовки до места встречи. Это расстояние, которое до встречи пройдёт лыжник.
Ищем пути решения. Эта задача на встречное движение. Потому что в тексте задачи есть слова: В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник.
К задаче можно сделать рисунок:
15км/ч 60 км/ч
150 км
Лыжник и аэросани двигались навстречу друг другу. Можно узнать скорость сближения: 15 + 60 = 75 (км/ч)
Найдём время, через которое они встретятся. Для этого расстояние разделим на скорость. 150 : 75 = 2 (ч).
Какое расстояние пройдёт за это время лыжник? 15 · 2 = 30 (км). На таком расстоянии от зимовки они встретятся.
Выплняем проверку.
Для этого решим обратную задачу. Теперь предположим, что мы знаем, что лыжник пройдёт до места встречи 30 км. Какое-нибудь данное задачи «превратим» в неизвестное. Пусть это будет скорость аэросаней. Решаем задачу по действиям:
30:15=2(ч) – время до встречи.
150-30=120(км) – расстояние, которое проехали до встречи аэросани.
120:2=60(км/ч) – скорость аэросаней.
Ответ: на расстоянии 30км от зимовки лыжник встретил аэросани.
Задача.
От одной пристани одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях. Одна шла со средней скоростью 250 м/мин, а другая – 200 м/мин. На каком расстоянии друг от друга будут лодки через 40 мин?
Читаем условие задачи.
Требование /вопрос задачи/: на каком расстоянии друг от друга будут лодки через 40 минут?
Данные: время движения лодок 40 мин; скорости лодок 250 м/мин и 200 м/мин.
Искомое: расстояние, на котором друг от друга будут лодки через 40 мин?
Ищем пути решения. Эта задача на движение в противоположных направлениях. В тексте есть слова: одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях.
К задаче можно сделать рисунок:
200 м/мин 250м/мин
40 мин
?
Можно узнать скорость удаления лодок друг от друга. Для этого найдём сумму скоростей: 200 + 250 = 450 (м/мин). Это значит, что за минуту лодки удалились друг от друга на 450 метров.
Как найти, на сколько они удалились друг от друга за 40 минут? Нужно скорость удаления умножить на время:
450 · 40 = 18000 (м) = 18 км – расстояние между лодками через 40 минут.
Проверка.
Пусть будет неизвестно в задаче время, за которое лодки удалились друг от друга на 18 км. Найдём это время, решив обратную задачу:
200 + 250 = 450 (м/мин) –скорости удаления лодок друг от друга.
18000:450=40(мин.) – за это время лодки удалились друг от друга на 18 км. /Не забудьте при решении задачи 18 км перевести в 18000м, т.к. скорости даны в м/мин./
Проверка подтвердила правильность решения. Значит пишем ответ, полученный в задаче.
Ответ: 18 км – расстояние между лодками через 40 минут.
Задача.
Скорость моторной лодки в 3 раза больше скорости лодки на вёслах. За какое время моторная лодка пройдёт 24 км, если на вёсельной лодке это расстояние можно пройти за 5 часов?
Читаем условие задачи.
Требование: За какое время моторная лодка пройдёт 24 км?
Данные: расстояние 24 км; время лодки на вёслах 5 часов; скорость моторной лодки в 3 раза больше скорости лодки на вёслах.
Искомое: время моторной лодки.
Ищем пути решения. Эта задача на движение, в которой лодки проходят одно и то же расстояние 24 км с разными скоростями и разным временем. Удобно воспользоваться таблицей.
Данные помещаем в таблицу.
Скорость
Расстояние Время
Мот.лодка ? -в 3 раза больше чем, 24 км ?
Вес. Лодка? 24 км 6 час
В третьей строке таблицы известны две величины: время и расстояние. Найдём скорость.
24 : 6 = 4 (км/ч) – скорость лодки на вёслах.
Теперь, зная скорость лодки на вёслах и, учитывая. Что скорость моторной лодки в 3 раза больше, найдём скорость моторной лодки.
4 · 3 = 12 (км/ч) – скорость моторной лодки.
Время движения моторной лодки определим, поделив 24 км на её скорость: 12 км/ч.
24 : 12 = 2 (ч) – время движения моторной лодки.
Проверка решения задачи:
Знаем время моторной лодки, но не знаем время лодки на вёсах. Решаем обратную задачу:
24:2=12(км/ч) – скорость моторной лодки.
12:3=4(км/ч) – скорость вёсельной лодки. /т.к. если скорость моторной лодки в 3 раза больше, значит скорость вёсельной лодки в 3 раза меньше/
24:4=6(ч) – время лодки на вёслах.
Пишем ответ, т.к. проверка показала правильность решения задачи.
Ответ: 2 часа.
РЕШЕБНИК. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ»
/с разбором решений/.
Все задачи на движение решаются с использованием зависимости между скоростью, временем и расстоянием. В математике время обозначают буквой t, расстояние – буквой s, а скорость буквой v.
Зависимость между этими величинами можно записать при помощи формул:
s = v · t ; v = s : t ; t = s : v.
Задача.
Мотоциклист ехал 3 часа со средней скоростью 60 км/ч и 2 часа со средней скоростью 70 км/час. Какое расстояние он проехал за это время? Узнай среднюю скорость движения.
Для решения этой задачи используем зависимость; расстояние – это скорость, умноженная на время.
Следовательно: 60 · 3 + 70 · 2 = 320 (км) – пройденное расстояние.
Чтобы найти среднюю скорость, найдём время движения: 3 ч. + 2 ч. = 5ч.
Средняя скорость: 320 : 5 = 64 (км/ч).
Ответ: 320 км; 64 км/ч.
При решении задач «на движение» используют понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».
Скорость сближения – сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу.
Скорость удаления – сумма скоростей двух объектов при одновременном движении в противоположные стороны.
Скорость – это путь пройденный телом за единицу времени.
Примеры: 3км/ч, 45м/мин, 20см/с, 8м/с и т.п.
Задача.
Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них проходит это расстояние за 20 ч, а другой – за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?
Эту задачу решаем без рисунка. Определяем данные задачи. Известно всё расстояние и время каждого поезда. Используя зависимость: v = s : t, можно найти скорости поездов.
1200 : 20 = 60 (км/ч) – скорость первого поезда.
1200 : 30 = 40 (км/ч) – скорость второго поезда.
60 + 40 = 100 (км/ч) – скорость сближения.
1200 : 100 = 12 (ч).
Ответ: через 12 часов поезда встретятся.
ВНИМАНИЕ! К этой задаче нет рисунка, т.к. можно допустить ошибку. Увидев на чертеже 20 ч и 30 ч, их ошибочно складывают.
Потом делят весь путь на сумму 20 + 30 = 50 (ч) и получают неверный ответ.
Зависимость между скоростью, расстоянием и временем можно рассмотреть при составлении взаимообратных задач, оформляя их в таблицу.
Задание. Составьте три взаимообратные задачи по таблице:
Скорость Время
Расстояние
?
4 ч 20 км
5 км/ч ? 20 км
5 км/ч 4 ч ?
Задача.
«Лада» проехала 180 км за 2 часа, а «Запорожец» прошёл это же расстояние за 3 часа. Какая машина ехала с большей скоростью?
В задаче известно расстояние и время каждой машины. Поместим данные в таблицу.
Машина Скорость Время Расстояние
Лада ? 2 ч 180 км
Запорожец ? 3 ч 180 км
Можно найти скорость, применяя зависимость: v = s : t.
180 : 2 = 90 (км/ч) – скорость «Лады».
180 : 3 = 60 (км/ч) – скорость «Запорожца».
90 > 60 – скорость «Лады» больше.
Ответ: «Лада» ехала с большей скоростью.
Задача.
Первые 2 часа лыжник шёл со скоростью 18 км/ч, потом 2 часа со скоростью 15 км/ч, и ещё 2 часа со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние прошёл лыжник? С какой скоростью должен двигаться лыжник, чтобы пройти это расстояние за 5 часов?
Условие задачи обозначим на рисунке:
18км/ч 18 км/ч 15 км/ч 15 км/ч 12 км/ч 12 км/ч
2ч 2ч 2ч км
Этот рисунок позволяет записать решение задачи выражением:
18 · 2 + 15 · 2 + 12 · 2 = 80 (км)
Второй вопрос задачи требует нахождения средней скорости. Для этого нужно всё расстояние поделить на всё время.
80 : 5 = 16 (км/ч) – средняя скорость движения.
Ответ: 80 км, 16 км/ч.
Если бы лыжник шёл с постоянной скоростью, то преодолел бы весь путь за 5 часов. Но лыжник шёл с разной скоростью: сначала спешил, потом стал уставать, и скорость стала меньше.
Задача.
Мотоциклист едет со скоростью 1 км/мин. Какое расстояние он проедет за 5 часов, если будет двигаться с той же скоростью?
Эта задача требует перевода единиц скорости. Внимательно читайте условие задачи. Скорость 1 км/мин, а время – 5 часов. Вспомним, что 1час = 60 мин, значит, за час мотоциклист проедет 60 км. Его скорость в новых единицах будет 60 км/ч.
60 · 5 = 300 км.
Ответ: за 5 часов мотоциклист проедет 300 км.
Задача.
Скорость одного пешехода 50 м/мин, а скорость второго пешехода 4 км/ч. За какое время пройдёт 12 км первый пешеход? За какое время это же расстояние пройдёт второй пешеход?
Если применить зависимость нахождения времени по известной скорости и расстоянию: t = s : v, то можно допустить ошибку: 12 : 50 и 12 : 4.
В первом случае деление выполнять нельзя. Величины несоразмерны.
12км : 50 м/мин. Удобно расстояние выразить в метрах.
12000м : 50 м/мин = 240 мин. = 4 ч – время первого пешехода.
12 : 4 = 3 ч – скорость второго пешехода.
Ответ: 4ч и 3ч.
Во втором действии не переводились км в м, т.к. 12 км и 4 км/ч – соразмерные единицы.
Задача.
Черепаха за 3 мин может проползти 15 м, а слон за это же время пройдёт 300 м. Во сколько раз скорость слона больше скорости черепахи?
В задаче известно время и расстояние. Нужно найти скорости слона и черепахи. Применяем зависимость: v = s : t.
15 : 3 = 5 (м/мин) – скорость черепахи.
300 : 3 = 100 (м/мин) – скорость слона.
100 : 5 = 20 – во столько раз скорость слона больше скорости черепахи.
Ответ: в 20 раз больше.
Задача.
Мотоциклисту нужно проехать 800 км. Он проехал 500 км по шоссе, а остальной путь – по просёлочной дороге со скоростью 50 км/ч. Сколько времени он ехал по просёлочной дороге? С какой скоростью он ехал по шоссе, если на весь путь в 800 км он затратил 11 ч?
Эта задача имеет большое условие, много данных. Будем решать её, построив графическую модель (рисунок).
Скорость - ? Скорость 50 км/ч
Время - ? Время - ?
Расстояние-500 км Расстояние ?
Расстояние 800 км
Время – 11 ч
Среди величин, обозначенных вопросами, найдём ту, которую можно найти в первую очередь. Это расстояние по просёлочной дороге.
800 – 500 = 300 км.
Число можно подписать на чертеже цветным карандашом: 300 км.
Теперь легко найти время движения по просёлочной дороге.
300 : 50 = 6 (ч).
11 – 6 = 5 (ч) – это время движения по шоссе.
Зная время движения по шоссе /5 ч/ и расстояние /500 км/ можно найти скорость.
500 : 5 = 100(км/ч)
Ответ: 6 ч по просёлочной дороге, 100 км/ч – скорость движения по шоссе.
Почему по шоссе мотоциклист ехал быстрее? Дорога лучше, поэтому скорость больше.
Задача.
Скорость электропоезда 80 км/ч. Это в 4 раза меньше скорости вертолёта. За сколько часов вертолёт может пролететь расстояние в 640 км?
Прочитайте условие и попробуйте его изменить: если скорость поезда в 4 раза меньше скорости вертолёта, значит скорость вертолёта больше скорости поезда в 4 раза.
80 · 4 = 320 (км/ч) – скорость вертолёта.
640 : 320 = 2 (ч) – время вертолёта в пути.
Ответ: 2 часа.
Задача.
С 14 до 16 часов грузовик ехал со скоростью 60 км/ч, а с 16 до 18 часов он увеличил скорость на 10 км/ч. Какое расстояние грузовик проехал с 16 до 18 часов?
Прочитайте условие задачи и ответьте на вопросы: сколько времени пройдёт с 14 до 16 ч? С 16 до 18 ч? Получили 2 ч в первом и во втором случае. Нас спрашивают о расстоянии, пройденном грузовиком с 16 до 18 ч. Время равно двум часам. Теперь найдём скорость: 60 + 10, т.к. скорость увеличилась на 10 км/ч с 16 до 18 часов.
Задачу решаем выражением (60 + 10) · 2 = 140 (км).
Ответ: 140 км проехал грузовик с 16 до 18 часов.
Задача.
Туристы в первый день прошли на байдарках 24 км со скоростью 6 км/ч. Во второй день – 30 км с той же скоростью. Сколько всего часов они плыли на байдарках?
Построим графическую модель.
?
Время - ? Время - ?
24 км 30 км
Скорость 6 км/ч Скорость 6 км/ч
I способ решения. (24 : 6) + (30 : 6) = 9 (ч)
II способ решения. (24 + 30) : 6 = 9 (ч).
Ответ: на байдарках плыли 9 часов.
Второй способ более рациональный.
Задача.
Самолёт может пролететь без заправки 8000 км. Сколько часов он может быть в полёте, если его скорость 950 км/ч?
Это задача на деление с остатком. Нужно понять смысл вопроса и правильно округлить ответ.
8000 : 950 = 8 (ч) (остаток 400 км).
Что означают числа в ответе? 400 км - это меньше часа полёта. Значит, в ответе будет 8 часов.
Ответ: 8 часов в полёте.
Ещё один вид задач на движение связан с течением реки. Здесь встретятся такие понятия: скорость течения реки /если по реке поплывёт плот, то он будет двигаться именно со скоростью течения/, собственная скорость лодки или катера /скорость в стоячей воде/, скорость по течению /собственная скорость = скорость течения реки/, скорость против течения /собственная скорость – скорость течения реки/.
Задача.
Скорость течения реки 4 км/ч. Туристы проплыли на плоту по течению реки 24 км. Сколько часов они были в пути? Какое расстояние туристы могут пройти на плоту за 8 ч?
В этой задаче средство передвижения – плот. Его скорость совпадает со скоростью течения реки, т.к. нет мотора и вёсел. Значит, находим время, используя зависимость: t = s : v.
24 : 4 = 6 (ч) – время в пути.
4 · 8 = 32 (км) – расстояние за 8 часов.
Ответ: 6 ч, 32 км.
Задача.
Расстояние между двумя пристанями теплоход прошёл за три часа, двигаясь со скоростью 32 км/ч. Обратно он прошёл это расстояние за 4 часа. С какой скоростью шёл теплоход в обратном направлении?
32 км/ч 3 часа
? км/ч 4часа
Штрихами обозначено время: 3 час «туда», 4 часа «обратно».
32 · 3 = 96 (км) – всё расстояние.
Это легко находим по первому рисунку.
96 : 4 = 24 (км) – скорость на обратном пути.
Ответ: 24 км/ч.
Какие вопросы можно предложить ещё в этой задаче? Например: сколько времени был в пути теплоход? 4 + 3 = 7 (ч). На сколько изменилась скорость? 32 – 24 = 8 (км/ч). Сначала река «помогала» плыть теплоходу, а в обратную сторону «тормозила». Поэтому скорость течения реки можно найти так:
8 км/ч : 2 = 4 (км/ч). Зная скорость течения и скорость теплохода по течению, можно найти собственную скорость теплохода.
32 – 4 = 28 (км/ч) – собственная скорость /в стоячей воде/ теплохода.
Задача.
Из пункта А в одном направлении вышли две машины. Одна ехала со скоростью 60 км/ч, а другая – 90 км/ч. На сколько км одна машина обгонит другую за 3 часа?
Выполним чертёж к задаче.
90 км/ч
60 км/ч
t=3 60 км/ч
А
90 км/ч
1-й способ решения
60 · 3 = 180 (км) – первая машина за 3 часа.
90 · 3 = 270 км – вторая машина за 3 часа.
270 – 180 = 90 км – на столько км вторая машина обгонит первую за 3 часа.
2-й способ решения.
90 – 60 = 30 (км/ч) – скорость удаления.
30 · 3 = 90 (км) – удаление за три часа.
Ответ. 90 км.
Задача.
Андрей за 8 с пробегает 40 м. За какое время пробежит это расстояние Петя, если его скорость на 3 м/с больше, чем скорость Андрея?
Данные и искомые величины поместим в таблицу.
Время Расстояние Скорость
8 с 40 м ?
? 40 м ? на 3 м/с больше
Если известны расстояние и время, можно найти скорость Андрея.
40 : 8 = 5 (м/с) – скорость Андрея.
Скорость Андрея знаем, теперь найдём скорость Пети.
5 + 3 = 8 (м/с) – скорость Пети.
40 : 8 = 5 (с) – время Пети.
Ответ: время Пети 5 с.
3. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
1. Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста?
2. Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
3. Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
4. Расстояние между станциями A и B равно 103 км. Из A в B вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до B путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее.
5. Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин.
6. Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из A, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от A и, чтобы прибыть в B по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути двигаться со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает 100 км.
7. Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?
8.Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В?
9. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.
10. Пункт В находится по реке ниже пункта А. В одно и то же время из пункта А отплыли плот и первая моторная лодка, а из пункта В - вторая моторная лодка. Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за это время проплыл третью часть пути от А до С. Если бы первая лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта А в пункт В отплыла вторая лодка, а из пункта В в пункт А - первая лодка, то они встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих лодок в стоячей воде, а также расстояние между пунктами А и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
11. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?
12. Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?
13. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую последующую секунду проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/c и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
3.1 ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Условие задачи№1: Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста?
Решение: Пусть туристы отправились из точки А. Точка В - место стоянки велосипедиста, далее за точкой А точка С - место, в котором мотоциклист догнал велосипедиста (точки А, В и С находятся на одной прямой). Пусть AC=s. Велосипедист проехал это расстояние за s16 ч, а мотоциклист - за s56 ч.
Тогда из условия s16−s56=2.
Откуда s=44,8
Ответ: 44,8 км
Условие задачи№2: Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
Решение: Пусть на отрезке AB отмечена точка С. Точка А - точка отправления, точка В - точка назначения, точка С - место, в котором третья машина догнала и первую, и вторую машины.
Обозначим за t ч время, за которое первая машина доехала до С. Тогда вторая машина приехала в С через t−1 ч, а третья - через t−2 ч.
Приравняем расстояния, пройденные всеми машинами: AC=50t=60(t−1)=v(t−2), где v - скорость третьей машины в км/ч. Из равенства 50t=60(t−1) находим t=6.
Далее находим AC=300 км. Тогда из 60(t−1)=v(t−2) получаем, что v=75 км/ч
Ответ: за 75 км/ч
Условие задачи№3: Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
Решение: Если бы поезд после вынужденной остановки продолжал движение с прежней скоростью, то на путь в 60 км затратил бы на 12 мин (то есть 15 ч) больше, чем предусмотрено расписанием.
Пусть x - первоначальная скорость в км/ч. Тогда время на 60 км со старой скоростью равно 60x, с новой скоростью - 60x+15.
И эти значения отличаются на 15. Получаем уравнение 60x−60x+15=15,
откуда x2+15x−4500=0.
Ответ: 60 км/ч
Условие задачи№4: Расстояние между станциями A и B равно 103 км. Из A в B вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до B путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее.
Решение: Пусть точка С - точка остановки поезда на отрезке AB. Если обозначить AC за x км, то CB равно x+23 км. Так как 103=2x+23, то x=40 км. Пусть v км/ч - скорость поезда от A до С, тогда от С до B скорость равна v+4 км/ч. Приходим к уравнению 63v+4−40v=14, откуда v=80 (второй корень v=8 не подходит по смыслу задачи)
Ответ: 80 км/ч
Условие задачи№5: Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин.
Решение: Пусть x км/ч - скорость автомобиля по ровному участку, тогда при движении от А к В скорость равна x−5, время движения равно 100x−5 ч.
При движении от В к А скорость равна x+15, время движения равно 100x+15 ч.
Так как расстояние от А до В и обратно автомобиль проехал за 1 ч 50 мин, что равно 116 ч, то приходим к уравнению 100x−5+100x+15=116,
откуда 11x2−1090x−6825=0 и x=105 (второй корень отрицателен).
Ответ: 105 км/ч
Условие задачи№6: Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из A, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от A и, чтобы прибыть в B по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути двигаться со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает 100 км.
Решение: Пусть v км/ч - скорость автобуса по расписанию. Тогда AB равно 5v км. Расстояние в 56 км от пункта А автобус преодолел за 56v ч. Оставшееся расстояние 5v−56 км он проехал со скоростью v+2 км/ч и затратил на это 5v−56v+2 ч. Сумма указанных отрезков времени равна 5−16=296 ч (автобус стоял 10 мин).
Получаем уравнение 56v+5v−56v+2=296,
откуда v2−58v+672=0.
Тогда v=42 или v=16.
Значение второго корня не подходит, так как тогда AB равно 80.
Ответ: 42 км/ч; 210 км
Условие задачи№7: Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?
Решение: Пусть L м - длина платформы (и поезда), v м/c - скорость поезда, t с - время, за которое поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя.
Если начало поезда обозначить за точку А, то при прохождении поезда мимо платформы точка А проходит расстояние 2L со скоростью поезда.
Поэтому 2L=32v. Для случая с неподвижным наблюдателем верно равенство L=vt.
Из этих двух уравнений находим t=16.
Ответ: 16 c
Условие задачи№8: Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального.
Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В?
Решение: Пусть расстояние между A и B равно S, а скорости поездов равны v1 и v2 (первая скорость соответствует поезду, идущему из A в B). Если бы поезд из А отправился на 1,5 ч раньше, то за это время он прошел бы расстояние 1,5v1, и между поездами было бы расстояние S−1,5v1. Тогда время встречи поездов t1=S−1,5v1v1+v2. За это время поезд из В в А проходит половину пути, то есть S2=t1v2. Значит, S2=v2S−1,5v1v1+v2. Если бы оба поезда вышли одновременно, то за 6 ч они прошли бы расстояния 6v1 и 6v2.
Между ними оставалось бы расстояние, равное десятой части первоначального, то есть за 6 ч вместе они прошли бы 0,9 всего расстояние: 6v1+6v2=0,9S.
Получаем систему из двух уравнений.
Так как необходимо найти Sv1 и Sv1, то разделим обе части первого уравнения на S2, а второго - на S, и введем обозначения V1S=x и V2S=y.
Тогда {y−x=3xy,6x+6y=0,9. Выразим из второго уравнения y и подставим в первое.
Получим уравнение 3x2−2,45x−0,15=0,
откуда x=115.
Для второго корня x соответствующий y равен отрицательному числу, поэтому не подходит.
Ответ: 12 ч; 15 ч
Условие задачи№9: От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.
Решение: Пусть v км/ч - скорость катера в стоячей воде, v1 км/ч - скорость течение (скорость плота). Тогда скорость катера по течению равна v+v1 км/ч, следовательно, на путь вниз по течению катер затратил 96v+v1 ч, а на обратный путь 96v−v1 ч.
Поэтому 96v+v1+96v−v1=14.
До момента встречи катер и плот двигались одно и то же время.
При этом катер прошел 96 км по течению и 96−24=72 км против течения, а плот проплыл 24 км по течению.
Получаем уравнение 24v1=96v+v1+72v−v1.
Таким образом, имеем систему из двух уравнений, которая после упрощения принимает вид: {96v=7v2−6v21,7vv1=v2 Так как v≠v1, то из второго уравнения v=7v1.
Подставив в первое уравнение, находим v1=2.
Ответ: 2 км/ч
Условие задачи№10: Пункт В находится по реке ниже пункта А. В одно и то же время из пункта А отплыли плот и первая моторная лодка, а из пункта В - вторая моторная лодка. Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за это время проплыл третью часть пути от А до С. Если бы первая лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта А в пункт В отплыла вторая лодка, а из пункта В в пункт А - первая лодка, то они встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих лодок в стоячей воде, а также расстояние между пунктами А и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Решение: Пусть S - расстояние между A и B, v1 и v2 - скорости первой и второй лодок в стоячей воде соответственно. За время, которое понадобится первой лодке, чтобы доплыть до С (скорость лодки по течению равна v1+u, где u - скорость течения реки), плот проплывает только третью часть, то есть скорость лодки в 3 раза больше скорости реки. Отсюда v1+u=3u и v1=6.
Если первая и вторая лодки отправляются одновременно из А и В (безразлично, какая откуда начинает движение), то время встречи равно t=S(v1+u)+(v2−u)=S(v1−u)+(v2+u)=Sv1+v2.
Значит, AC=Sv1+v2⋅(v1+u)=9Sv1+v2. Время, за которое плот доберется до С, равно AC3=6S6+v2. За это же время первая лодка проплывет до В, то есть 3S6+v2⋅(v1+u)=S или 27=6+v2, откуда v2=21 км/ч.
Если вторая лодка начинает движение из А, а первая - из В, то их встреча произойдет в 40 км от пункта А.
Поэтому 40v2+u=t или 40v2+u=Sv1+v2, то есть S=40(v1+v2)v2+u=40(6+21)21+3=45 км Ответ: 6 км/ч; 21 км/ч; 45 км
Условие задачи№11: Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?
Решение: Обратим внимание, что необходимо привести размерности величин к одному виду, например, к минутам. Пусть S - длина окружности, v1, v2 - скорости тел.
Тогда Sv1−v2=112 и Sv1+v2=16.
Так как за 12 с = 1/5 мин тела сблизились на 40 - 26 = 14 м, то v15+v25=14,
откуда v1+v2=70.
Из первых двух уравнений получаем, что S=112(v1−v2)=16(v1+v2), откуда v2=3v14.
Далее легко находятся все неизвестные величины.
Ответ: 1120 м; 40 м/мин, 30 м/мин
Условие задачи№12: Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?
Решение: Пусть длина окружности равна S, v1, v2 - скорости точек.
Тогда Sv1−v2=720, откуда 1=720(v1S−v2S). Так как первая точка обходит окружность за Sv1, а вторая за Sv2, то Sv2−Sv1=10.
Обозначим за x=Sv1, y=Sv2. Тогда y−x=10 и 1x−1y=1720.
Подставив y=10+x во второе уравнение, получим квадратное уравнение x2+10x−7200=0, откуда x=80 (второй корень отрицателен).
Тогда y=90.
Ответ: 1/80 и 1/90 части окружности
Условие задачи№13: Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую последующую секунду проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/c и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
Решение: Первое тело двигалось равноускоренно.
Поэтому для t=1 имеем 6=v0+a2, для t=2 имеем 18=2v0+2a, то есть 9=v0+a.
Здесь мы воспользовались формулами для равноускоренного движения.
Из этих уравнений находим, что v0=3 м/c, a=6 м/c2.
Поэтому тело движется по закону s=3(t+t2).
Пусть t0 - момент времени, в который две точки встретятся.
Первая пройдет за это время расстояние s1=3(t0+t20), а вторая - s2=12(t0−5), так как она движется равномерно и начала движение через 5 с после первой.
Из условия s1+s2=390 получим, что 3(t0+t20)+12(t0−5)=390,
откуда t20+5t0−150=0 и t0=10 c.
Ответ: 10 с
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Дорога от A до D длиной в 23 км идет сначала в гору, затем — по ровному участку, а потом — под гору. Пешеход, двигаясь из A в D, прошел весь путь за 5 ч 48 мин, а обратно, из D в A, — за 6 ч 12 мин. Скорость его движения в гору равна 3 км/ч, по ровному участку — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Определить длину дороги по ровному участку. Ответ: 8 км
В 5 ч утра со станции A вышел почтовый поезд по направлению к станции B, отстоящей от A на 1080 км. В 8 ч утра со станции B по направлению к A вышел пассажирский поезд, который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Когда встретились поезда, если их встреча произошла в середине пути AB?
Ответ: в 5 ч дня
Из пункта A впунктB отправились три велосипедиста. Первый из них ехал со скоростью 12 км/ч. Второй отправился на 0,5 ч позже первого и ехал со скоростью 10 км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, который отправился на 0,5 ч позже второго, если известно, что он догнал первого через 3 ч после того как догнал второго?
Ответ: 15 км/ч
Два поезда — товарный длиной в 490 м и пассажирский длиной в 210 м — двигались навстречу друг другу по двум параллельным путям. Машинист пассажирского поезда заметил товарный поезд, когда он находился от него на расстоянии 700 м; через 28 с после этого поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если известно, что товарный поезд проходит мимо светофора на 35 с медленнее пассажирского.
Ответ: 36 км/ч; 54 км/ч
Турист A и турист B должны были выйти одновременно навстречу друг другу из поселка M ипоселкаN соответственно. Однако турист A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км меньше, чем B. Отдохнув, туристы одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в поселок N через 8 ч, а B пришел в поселок M через 9 ч после встречи. Определить расстояние MN и скорости туристов.
Ответ: 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.
Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них, а тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отстал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
Ответ: 2 км
Два туриста вышли одновременно из пункта A в пункт B.Первый турист проходил каждый километр на 5 мин быстрее второго. Пройдя 20% расстояния от A до B, первый турист повернул обратно, пришел в A, пробыл там 10 мин, снова пошел в B и оказался там одновремен- но со вторым туристом. Определить расстояние от A до B, если второй турист прошел его за 2,5 ч.
Ответ: 10 км
Рыбак проплыл на лодке от пристани против течения 5 км и возвратился обратно на пристань. Скорость течения реки равна 2,4 км/ч. Если бы рыбак греб с той же силой в неподвижной воде озера на лодке с парусом, увеличивающим скорость на 3 км/ч, то он за то же время проплыл бы 14 км. Найти скорость лодки в неподвижной воде.
Ответ: 9,6 км/ч
Моторная лодка проплыла по озеру, а потом спустилась вниз по реке, вытекающей из озера. Расстояние, пройденное лодкой по озеру, на 15% меньше расстояния, пройденного по реке. Время движения лодки по озеру на 2% больше, чем по реке. На сколько процентов скорость движения лодки вниз по реке больше скорости движения по озеру? Ответ: на 20%
Турист проплыл в лодке по реке из города A в город B и обратно, затратив на это 10 ч. Расстояние между городами равно 20 км. Найти скорость течения реки, зная, что турист проплывал 2 км против течения реки за такое же время, как 3 км по течению.
Ответ: 5/6 км/ч
По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек.
Ответ: 4 м/с; 3 м/с.
Из точек A и B одновременно начали двигаться два тела навстречу друг другу. Первое в первую минуту прошло 1 м, а в каждую последующую проходило на 0,5 м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходило каждую минуту по 6 м. Через сколько минут оба тела встретились, если расстояние между A и B равно 117 м?
Ответ: через 12 мин.
Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль берега и вернулись по одной и той же речной трассе через 5 ч с момента отплытия. Протяженность всего рейса составила 10 км. По их подсчетам получилось, что на каждые 2 км против течения в среднем потребовалось столько же времени, сколько на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения реки, а также время проезда туда и время проезда обратно.
Ответ: 5/12 км/ч; 2 ч и 3 ч.
ДЛЯ СОЗДАНИЯ РЕШЕБНИКА БЫЛИ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ИСТОЧНИКИ:
1.Белошистая А.В. Обучение решению задач по математике: 4 класс – М.: «Экзамен», 2009.
2.Демидова Т.Е. Моя математика. 4 класс. М., «Баллас», 2005
3.Николаева Л.Н. 5000 заданий по математике. 4 класс– М.: «Экзамен», 2010.
4.http://www.itmathrepetitor.ru/tekstovye-zadachi-na-dvizhenie-reshenie-4/
5.http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2012/12/15/uchimsya-reshat-zadachi-na-dvizhenie