Приложение: Задачи для самостоятельного решения к презентация по математике: ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ

Задачи для самостоятельного решения
Задача 14. Дан треугольник ABC с ортоцентром H. Пусть M — середина BC, P — середина AH. Докажите, что MP = R.
Задача 15. (Ю. Билецкий) Окружность s, описанная около треугольника BHC, и окружность, построенная на отрезке AH как на диаметре, пересекаются в точке F. Докажите, что точки A, F, M1 принадлежат одной прямой (M1 — середина BC).
Задача 16. Дан треугольник ABC, в котором BC = a, RABC = R. Найдите расстояние между центрами описанных окружностей треугольников ABC и BHC.
Задача 17. Известно, что в треугольнике ABC F A = 60. Докажите, что:
а) центр Q описанной окружности треугольника BHC лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A; б) AOQH — ромб.
Задача 18. Прямая t — касательная к описанной окружности треугольника ABC, проведенная в вершине A. Докажите, что QH B t.
Задача 19. Докажите, что пять треугольников: ABC, BHC, AHC, AHB, Q1Q2Q3 — имеют общую окружность Эйлера.Задача 20. (Теорема Гамильтона.) Докажите, что прямые Эйлера четырех треугольников: ABC, BHC, AHC, AHB — пересекаются в одной точке.
Задача 21. Пусть Ia, Ib, Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, точка I — инцентр в этом треугольнике. Докажите, что равны радиусы четырех окружностей, описанных около таких треугольников: IaIbIc, IIaIb, IIbIc, IIaIc.
Указание. Покажите, что точка I — ортоцентр в треугольнике IaIbIc.