Практикум по решению геометрических задач

Практикум по решению геометрических задач
Наталья Исаевна Петинова
Учитель математики
МАОУ «Физико-математическая школа №56»
Пояснительная записка
Данный курс предназначен для учащихся 10 класса, выбравших для себя виды деятельности, связанные с математикой, экономикой и информатикой. Учащимся 10 класса через год предстоит сдавать ЕГЭ. Все геометрические задания которые входят в работу, относятся к «абитуриентской» части экзамена. Они проверяют владение геометрическим материалом на уровне, превышающем базовый.
По данным статистической обработки ЕГЭ наибольшие затруднения вызывают геометрические задачи. Они требуют от ученика умения анализировать ситуацию, увидеть знакомые свойства фигур в непривычном их расположении, составить план решения.
Курс «Практикум по решению задач» призван помочь учащимся восполнить недостатки в навыках решения задач.
Главной особенностью данного курса является ретроспективная направленность. Теоретические основы большинства тем относятся к программе девятилетней школы. Однако глубина их проработки, идейная насыщенность задач предполагают более высокий уровень математического развития учеников, чем тот, которого достигают школьники по окончанию 9 класса.
Следует отметить одну особенность систематического курса школьной геометрии, в известной форме затрудняющего процесс обучения решению геометрических задач. Учащиеся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Времени на то, чтобы прорешать задачи по всей геометрии в целом практически не остается. В отличие от школьного курса, последовательность изучения задачного материала в данном курсе определяется уровнем сложности задач и степенью стандартности.
Курс дает ученику возможность проработать сразу со всей планиметрией, освоить ее в целом, а не отдельные темы. Такой возможности в 9 классе они не имели.
Изучение курса предполагает использование репродуктивного проблемно-поискового, исследовательского методов работы. Предусмотрено проведение самостоятельных, контрольных, тестовых работ. Курс рассчитан на 34 часа.
Цели курса:
Систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений;
Формирование математического стиля мышления, проявляющегося в умении проявлять такие умозаключения как анализ, систематизация, абстрагирование, аналогия;
Формирование умения решать геометрические задачи;
Формирование понимания диалектической взаимосвязи математики и действительности, понимание красоты и изящества математических рассуждений, восприятие геометрических форм.
Задачи курса:
Обеспечить прочное и осознанное овладение учащимися системой геометрических знаний;
Выявление и развитие математических способностей, ориентация на профессии, су
щественным образом связанные с математикой;
Подготовка к ЕГЭ.
Содержание курса.
Построение чертежа. Выявление характерных особенностей заданной конфигурации
Прежде всего, чертеж должен быть «большим и красивым», лаконичным.
Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрической
фигуры. В некоторых задачах одним из этапов является выявление
характерных особенностей конфигурации. Эти особенности, в частности,
могут быть следствием специального подбора числовых данных задач.
Треугольник. Элементарные и опорные задачи. Теорема косинусов.
Наиболее работающей теоремой школьного курса геометрии, во всяком
случае, если смотреть на этот курс с точки зрения конкурсного экзамена,
является теорема косинусов и ее частный случай – теорема Пифагора.
Теорема косинусов определяет 3 элементарные задачи:
Даны две стороны треугольника, найти третью сторону.
Даны три стороны треугольника, найти какой-либо угол треугольника (косинус угла).
Даны две стороны треугольника и угол не между ними, найти третью сторону треугольника.
Теорема косинусов очень часто используется для составления уравнения.
Прямоугольные треугольники.
Очень часто встречаются задачи для решения которых надо увидеть, вычленить прямоугольный треугольник, после чего все сводится к работе с этим треугольником. Повторить соответствующие разделы школьного учебника.
Описанная окружность. Теорема синусов.
У любого треугольника существует единственная описанная около него окружность, центр которой совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Повторить соответствующие разделы школьного учебника.
Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.
Теорема о медиане треугольника. Точку пересечения медиан треугольника
можно интерпретировать физически - это центр тяжести треугольника.
При решении задач, в которых фигурирует медиана треугольника, очень
часто бывает полезным продолжить медиану за середину стороны нарасстояние, равное медиане.
Высоты треугольника. Точка пересечения высот.
Точка пересечения высот – ортоцентр треугольника. Установить, что
если Н точка пересечения высот треугольника АВС, то любая из точек А,
В, С и Н является точкой пересечения высот треугольника образованного тремя другими точками.
Биссектрисы треугольника. Центр вписанной окружности.
Повторяются свойства биссектрисы.
Площадь треугольника.
Существуют много формул, выражающих площадь треугольника через различные его элементы, но рассмотрим пять «рабочих» формул.
Четырехугольники.
В школьном курсе изучаются следующие четырехугольники специального вида: трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. К этому списку можно добавить вписанный и описанный четырехугольники.
Окружность. Хорды и углы.
Доказывается несколько теорем достаточно часто применяемых при решении различных задач.
Окружность и касательная. Площадь круга и его частей.
Формулируются и доказываются две теоремы, часто применяемые при решении различных задач.
Тематическое планирование
1 час в неделю. Итого 34 часа.
№ темы Название темы Количество часов, ч.
1 Вводный урок. Построение чертежа. Выявление характерных особенностей заданной конфигурации. 1
2 Входной тест. 1
3 Треугольник. Элементарные и опорные задачи. Теорема косинусов. 3
4 Прямоугольные треугольники. 3
5 Описанная окружность. Теорема синусов. 3
6 Медианы треугольника. Точка пересечения медиан. 3
7 Высоты треугольника. Точка пересечения высот. 3
8 Биссектрисы треугольника. Центр вписанной окружности. 3
9 Площадь треугольника. 3
10 Контрольная работа №1. 1
11 Четырехугольники. 3
12 Окружность. Хорды и углы. 3
13 Окружность и касательная. Площадь круга и его частей. 3
14 Контрольная работа №2. 1
Литература
Основная:
Атанасян А.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 1999.
Баркова Т.М., Середа А.В. Техника решения планиметрических задач. Часть 1. Базисные задачи планиметрии: Учебное пособие. Улан-Удэ: Издательство БГСХА, 2007.
Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах7-9 классы. М.: Дрофа, 2000.
Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии 7-9 классов. С-Петербург, 1998.
Шарыгин И.Ф. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1994.
Дополнительная:
Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. М.: Просвещение, 1996.
Колягин О.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. М.: Просвещение, 1980.
Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976.
Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Геометрия. М.: Мир образования, 2002.