Конспект урока на повторение курса 7 класса по теме Многочлены, действия с ними, формулы сокращенного умножения

Урок 1. (8 класс) Повторение материала 7 класса.
Многочлены, действия с ними, формулы сокращенного умножения.
Цель урока: Повторить понятие многочлена, действия с многочленами и формулы сокращенного умножения.
Тип урока. Комбинированный урок.
Результат урока:
Знания и умения: уметь выполнять действия с одночленами и многочленами, применять формулы сокращенного умножения.
Этапы урока:
Организационный этап. Домашнее задание № 1(б,г), 2(в), 3(а)(двумя способами), 4(а),(двумя способами),5(б), 6(б), 7(а,в); дополнительное (необязательное задание): почему нельзя делить на нуль?
Разминка. Устные упражнения.
2.1) Решите уравнение:
а) xx-2=0;б) x2-13=16; в) x=-2.
2.2) К некоторому числу прибавили 2 и получили число, имеющее тот же модуль, что и первоначальное. Найдите первоначальное число. (Ответ: -1)
2.4) Запишите дробь 12 в виде суммы двух дробей вида 1n, где n- натуральное число (Такие дроби называются египетскими или аликвотными). (Ответ: 12=13+16).
При каком значении переменной верно равенство:
а) 4x=64;в) 122x=0,125;б) -5x=-125;г) 323x=338.(Ответ: а) 3; б) 3; в) 1,5; г) 1.)
Фронтальная беседа с классом.
В математике первоначально появились числа и числовые выражения.
Задание 1(устно) Верно ли утверждение:
а) 13+12∙6=2+3б)132>123Решение однотипных задач привело к появлению выражений с переменной.
Вопросы учащимся:
Когда числовое выражение не имеет смысла?
Можно ли привести пример выражения с переменной, которое не имеет смысла при любом значении переменной? (Да, например, 2x2+12x-2x-1-2 .)
Можно ли привести пример выражения с переменной, которое не имеет смысла при некоторых значениях переменной? (Да, например, 2x2+22x-2 не имеет смыла при x=1.)Как называется множество тех значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл? (Область допустимых значений переменной, ОДЗ)
Почему в приведенных примерах выражение не имеет смысла?
А почему делить на нуль нельзя? (Если ученики не смогли ответить на этот вопрос, а мы рассматривали это в 6 и 7 классах, то оставить на дом, как необязательное д/з)
Что называется одночленом? Степенью одночлена?
Рассмотрим одночлены -2xy2и a2bc. (Записываются на доске)Вопросы учащимся:
Сколько переменных, из которых состоит каждый одночлен?
Какова степень каждого одночлена? (deg4x2y3=5)Назовите коэффициент каждого одночлена.
Что называют коэффициентом одночлена?
Является ли одночленом каждое из данных выражений: 2a3b; 2; 0?
Каков коэффициент и какова степень каждого одночлена? (Все выражения являются одночленами, но первый не записан в стандартном виде; степени этих одночленов равны 2; 0 и степень последнего одночлена не определена, коэффициенты 6, 2 и 0.)
Что называют стандартным видом одночлена?
Какие действия можно проводить с одночленами? (Умножение, деление, возведение в степень, сложение и вычитание подобных одночленов)
Всегда ли в результате произведения двух одночленов получится одночлен?
Задание 2. Выполните умножение двух записанных на доске одночленов и полученное произведение запишите в стандартном виде.
(Ответ: -2a2bcxy2)
Какова степень получившегося одночлена?
Что можно сказать о степени произведения одночленов, если известны степени одночленов – множителей? ( Степень одночлена-произведения равна сумме степеней одночленов – множителей.)
Возведите первый из двух данных одночленов в 3-ю степень, а второй сначала в квадрат, а потом в куб. Что при этом получилось?
(Ответ: -2xy23=-8x3y6; a2bc23=a4b2c23=a12b6c6 или иначе a2bc23=a2bc6=a12b6c6)
Всегда ли в результате возведения в степень одночлена получится одночлен? (Да)
Что можно сказать о степени одночлена, который возвели в квадрат, в куб, в n-ную степень? (Его степень увеличится в 2, 3, n раз)
Какие одночлены называются подобными? (Одночлены, у которых одинаковая буквенная часть.)
Задание 3. Приведите пример одночлена, подобного первому из записанных на доске одночленов.
К доске вызывается ученик, с помощью которого «вспоминается» материал по теме «Степень с целым неотрицательным показателем и ее свойства». Наиболее важные формулы учащиеся записывают в тетрадь.
Вопросы и задания учителя:
Запишите произведение 5 множителей, каждый из которых равен x; как это записать короче? (x5)
Дайте определение сотой степени числа 5. (Произведение ста множителей, каждый из которых равен 5)
Запишите чему равно выражение an, где n∈N, a – любое число. (Ответ: an=a∙a∙a∙…∙a.)
Запишите чему равно выражение an, где a≠0, n=0 (Ответ:1)
Могутли одновременно быть равными нулю a и n? ( Могут, но при этом выражение 00 не будет иметь смысла.)
Имеет ли смысл выражение an, если a≠0, n>0? (Да, и оно равно нулю.)
Как называется a в выражении an? (Основание степени.)
Как называется n в выражении an? (Показатель степени.)
Как называется выражение an? (Степень, или подробнее n-ная степень числа a.)
Запишите (и сформулируйте) правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. (Ответ:an∙am=an+m.)
Запишите (и сформулируйте) правило деления степеней с одинаковыми основаниями. (Ответ:an:am=an-m, где a≠0, n>m .)
Запишите (и сформулируйте) правило возведения степени в степень.
(Ответ:anm=an∙m , где a-любое число.)
Запишите (и сформулируйте) правило возведения в степень произведения. (Ответ:abn=an∙bn .)
Запишите (и сформулируйте) правило возведения в степень дроби. (Ответ:abn=anbn , где b≠0.)
Выполнение письменных упражнений.
1. Упростите выражение:
а) -8ax22∙14a2x3; в) 4xm+1y22∙12x2ym3;
б) -4a2b3:-8ab2; г)-10x2y4:-25x3y22Запишите выражение в виде степени одночлена:
а) -125a9b3; б) 64x16y12z8; в) 127x36y60; г) 8a2b6.
Вопросы и задания учителя:
Что называется многочленом? ( Сумма одночленов)
Как называется каждый одночлен, входящий в многочлен? ( Член многочлена.)
Является ли одночлен многочленом? (Да.)
А является ли число многочленом? (Да.)
Как называется многочлен, состоящий из двух одночленов? (Двучлен или бином)
Как называется многочлен, состоящий из одного одночлена? (Одночлен или моном)
А как иначе называют многочлен? ( Полином)
Как называют многочлен, тождественно равный 0? (Нулевой многочлен или нуль-многочлен)
Что называется стандартным видом многочлена? (Многочлен, у которого нет подобных одночленов и каждый одночлен записан в стандартном виде)
Что называется степенью многочлена? (Наибольшая из степеней, входящих в него одночленов).
Задание 4.
Запишите на доске (и в тетрадях) произвольный многочлен с двумя переменными в стандартном виде.
Найдите степень каждого одночлена, входящего в этот многочлен, и определите степень многочлена.
Вопросы и задания учителя:
Дайте определение многочлена с одной переменной. ( удобнее дать это определение формулой: выражение вида a0xn+a1xn-1+…an-1x+an, где ak – коэффициенты, х – переменная)
Как называется коэффициент при переменной в наибольшей степени? (Старший коэффициент)
Как называется коэффициент, не содержащий переменной? (Свободный член многочлена).
Назовите одночлен в определении многочлена с одной переменной, стоящий первым на месте многоточия. (a2xn-2)
Укажите степень одночлена с коэффициентом при переменной, равным an-k (Легко заметить, что сумма индекса коэффициента а и показателя степень переменной х равна n, а потму степень одночлена равна k )Какие действия можно производить с многочленами? Результатами каких действий над многочленами обязательно будет являться многочлен? (Сложение, вычитание, умножение, возведение в степень.)
Что можно сказать о степени суммы двух многочленов, произведения двух многочленов? ( Степень суммы не может превосходить наибольшую из степеней многочленов-слагаемых, может оказаться даже неопределённой; степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов-множителей.)
Что можно сказать о старшем коэффициенте произведения двух многочленов? (Старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов многочленов-множителей.)
Выполнение письменных упражнений.
Найдите сумму многочленов:
а) x2-2x+3+2x2+x+2-3x2+x-4;
б) 3a2-2ab+b2-a2+b2+2a2+2ab+3.
4. Найдите произведение многочленов:
а) a-3a2+a-2; б)a-2ba2+ab+b2.
Повторение правил сокращенного умножения.
На доске учащиеся выписывают формулы и читают их.
a-ba+b=a2-b2, a+b2=a2+2ab+b2, a-b2=a2-2ab+b2,
a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3,
a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3, a+ba2-ab+b2=a3+b3,
a-ba2+ab+b2=a3-b3,
an-bn=a-ban-1+an-2b+…+abn-1+bn, где n∈N,
an+bn=a+ban-1-an-2b+…+abn-1-bn, где n=2k+1,
Добавляем два полезных тождества: a-b2n= b-a2n, a-b2n+1= -b-a2n+1, где n – целое неотрицательное число. Замечаем, что из последнего тождества при n=0 получается правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»: -b-a=a-bВыполнение письменных упражнений.
Известно, что a+b=x, ab=y. Выразите через x и y:
а) a2+b2; б) a3+b3.
6. Найдите значение выражения a2+b2+c2, если :а) a+b+c=7, ab+ac+bc=14;б) a-b+c=3, ab-ac-bc=-6.7. Решите уравнение:
а) 4x+52+2-3x2=3+5x2;
б) 3x+22x-1-2x+1x-3=2x+32;
в) 2x-6x2+3x+9=x-23+x+23.
Для работы в классе : №1(а,в), 2(а,б,г), 3(б) (двумя способами), 4(б) (двумя способами), 5(а), 6(а), 7(б)
Приложение 1. (раздаточный материал)
1. Упростите выражение:
а) -8ax22∙14a2x3; в) 4xm+1y22∙12x2ym3;
б) -4a2b3:-8ab2; г)-10x2y4:-25x3y22Запишите выражение в виде степени одночлена:
а) -125a9b3; б) 64x16y12z8; в) 127x36y60; г) 8a2b6.
Найдите сумму многочленов:
а) x2-2x+3+2x2+x+2-3x2+x-4;
б) 3a2-2ab+b2-a2+b2+2a2+2ab+3.
4. Найдите произведение многочленов:
а) a-3a2+a-2; б)a-2ba2+ab+b2.
Известно, что a+b=x, ab=y. Выразите через x и y:
а) a2+b2; б) a3+b3.
6. Найдите значение выражения a2+b2+c2, если :а) a+b+c=7, ab+ac+bc=14;б) a-b+c=3, ab-ac-bc=-6.7. Решите уравнение:
а) 4x+52+2-3x2=3+5x2;
б) 3x+22x-1-2x+1x-3=2x+32;
в) 2x-6x2+3x+9=x-23+x+23.