Комплексные числа и действия над ними

Конспект занятия по математике
Тема: Комплексные числа и действия над ними
Цели занятия: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа; рассмотреть действия над комплексными числами; развивать логическое и абстрактное мышление
Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран.
Тип занятия: комбинированное
План занятия:
Орг.момент 7 мин
Вводная часть 7 мин
Действия над комплексными числами 25 минут
Самопроверка 4 мин
Подведение итогов 1 мин
Домашнее задание 1 мин
Ход занятия
Орг.момент Проверка готовности обучающихся к занятию, присутствующих на занятии. Проверка домашнего задания.
Вводная часть Прежде чем мы перейдем к изучению новой темы давайте вспомним как решаются квадратные уравнения (Ответы обучающихся)
Решить уравнение:
х2-2х+17=0 D=b2-4ac=4-4*1*17=- 64 Дискриминант отрицательный значит действительных корней нет, но у данного уравнения есть мнимые корни. Существует -1=i - мнимая единица. Мы с вами знаем различные множества чисел и сегодня познакомимся еще с одним множеством чисел - множество комплексных чисел.
Определение. Комплексными называются числа вида a+bi где а и в – действительные числа, i – мнимая единица: i2 = – 1. а называется действительной частью, вi – мнимой частью комплексного числа.
Давайте вернемся к нашему уравнению
D=-64=8i x1=2+8i2=1+4i x2=2-8i2=1-4i В ответе мы получаем два комплексных числа.
Множество комплексных чисел обозначается буквой С.
Действительное число a отожествляется с комплексным числом a + 0i. Тем самым мы расширяем цепочку включений различных числовых множеств: N⊂Z⊂Q⊂R⊂CДействия над комплексными числами
Определение. Суммой двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число, равное (а + с) + (в +d) i.
Определение. Числа а + вi и – а – вi называются противоположными.
Действительно, (а + вi) + (– а – вi) = (а – а) + (в – в)i = 0 + 0i = 0.
Определение. Числа а + вi и а – вi называются сопряженными.
(а + вi) + (а – вi) = 2а;
(а + вi) + (а – вi) = a2 – (bi)2 = a2 – b2i2 = a2 – b2 (- 1) = a2 + b2.
Найдем произведение двух комплексных чисел:
(а + вi) (с + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)iПример: (4 – 3i) (–2 + 5i) = (–8 + 15) + (20 + 6)i = 7 + 26i
Самостоятельная работа в тетрадях.
Вычислить: (3+17i)(2-i); (i+1)(-5+6i)
Чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю (этим действием мы избавляемся от мнимой части в знаменателе):
a+bic+di=a+bi(c-di)c+di(c-di)=ac+bd+bc-adic2+d2Запоминать формулу не обязательно, важно помнить практический способ деления комплексных чисел.
Пример: -5+7i3-4i=-5+7i(3+4i)3-4i(3+4i)=-43+i25=-4325+125iСамостоятельная работа в тетрадях.
Вычислить:
2-3i3+2iРассмотрим действие возведения в степень мнимой единицы:
i1 = i; i2 = – 1; i3 = i2 · i = – i; i4 = (i2)2 = (– 1)2 = 1; i5 = i4 · i = i; и т.д. Заметив повторение через некоторый интервал ответов, запишем общую формулу:

Решить квадратные уравнения:
x2+7x+100=0
x2-11x+90=0
x2+8x+17=0
Выполним проверку, если задание выполнено верно ставите себе +, если неверно -.
(3+17i)(2-i) = (6+17)+(-3+34)i = 23+31i;
(i+1)(-5+6i) = (-5-6)+(-5+6)i = -11+i
2-3i3+2i=2-3i(3-2i)3+2i(3-2i)=6-6+-4-9i9+4=-13i13=-ix2+7x+100=0
x1,2=-7±339i2x2-11x+90=0
x1,2=11±239i2x2+8x+17=0
x1,2=-8±2i2=-4±iПодведение итогов Что нового вы узнали на уроке? Что показалось наиболее сложным?
Выставление оценок
Домашнее задание. стр.16-20 упр. 1, 2, 4 (Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И.Башмаков.)
Занятие закончено.