Доклад на защиту научно-исследовательского проекта по теме Конические сечения

Тема моей работы - конические сечения.
Цель моего исследования – изучить конические сечения.
Я перед собой поставила следующие задачи:
1.Изучить и проанализировать литературу, собрать данные о конусе, конических сечениях, их практическом применении.
2.Рассмотреть различные конические сечения. Узнать при каких условиях получается то или иное сечение.
3.Рассмотреть свойства конических сечений и способы их построения.
4.Создать модель, демонстрирующую конические сечения, а также практически проверить некоторые свойства конических сечений.
5.Создать эллипсограф для построения эллипсов.
6.Сделать выводы.
Однажды, посветив на стену фонариком, я заметила, что в зависимости от его положения конус света дает на стене комнаты пятна разной формы. Что же это за кривые? Решение этого вопроса привело меня к знакомству с коническими сечениями.
Итак, рассмотрим прямой круговой конус. При пересечении плоскости с конусом получаются конические сечения. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола. Я сделала модель, позволяющую наглядно увидеть различные сечения. В прозрачный конус наливается вода. При различных углах наклона конуса поверхность воды будет принимать форму эллипса, параболы, гиперболы.
В процессе своего исследования я выяснила, что если секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то получается эллипс. Если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получается парабола. Если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получается гипербола.
Слово конус на древнегреческом означает «сосновая шишка». Именно греки создали теорию конических сечений. Открытие приписывается Менехму, жившему в 4 веке до н.э., а все сведения о конических сечениях собрал Аполлоний Пергский в своем трактате «О конических сечениях».
В своей работе я подробно рассматриваю различные определения и свойства эллипса, параболы и гиперболы. Выясняю, что эти кривые имеют огромное практическое применение. Например, орбиты тел в поле тяготения Солнца – это конические сечения. В невесомости можно оказаться, не попадая в космос, благодаря технологии «парабола Кеплера». Существуют автомобили с эллиптическими колесами, самолеты с параболическими крыльями. В практической части своего исследования я экспериментально доказываю замечательное оптическое свойство параболы, изготовив параболический бильярд.
Проводя исследование, я много узнала о различных способах построения конических сечений. Для этого Леонардо да Винчи изобрел специальный инструмент. Я сделала прибор, позволяющий строить эллипсы. Перед вами эллипсограф. Он состоит из подставки с направляющими и стрежня с прикрепленными к нему ползунами. Ползуны движутся вперед и назад – каждый по своей направляющей, - и конец стрежня описывает эллипс на плоскости.
Также я узнала, что конические сечения можно построить и без помощи специальных инструментов, что бывает очень удобно на практике. Например, зная, что эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных постоянна, очень легко его построить с помощью веревки. Закрепляю концы нити в двух точках (фокусах эллипса). Кривая, описываемая карандашом, скользящим по натянутой нити, имеет форму эллипса.
Ну и конечно, в своем исследовании я не смогла обойти вниманием знаменитую задачу об удвоении куба – делосскую задачу. Ведь, скорее всего, именно с ней и связано открытие конических сечений. Известно, что эта задача неразрешима с помощью циркуля и линейки. Я предлагаю простое решение этой задачи, предложенное Менехмом: строю кривые у=х2 и у=2/х. Это парабола и гипербола. Абсцисса точки пересечения кривых будет равна 3√2. Перед Вами два куба, объем одного в 2 раза больше объема другого.
В результате своего исследования я сделала следующие выводы:- Кривые эллипс, парабола и гипербола являются сечениями конуса различными плоскостями.
- Благодаря своим свойствам конические сечения и связанные с ними фигуры имеют огромное практическое применение.
- Существует большое количество способов построения конических сечений.
Уже три года я посвящаю свои исследования замечательным кривым, таким как, циклоида, треугольник Рело, цепная линия, конические сечения. В продолжении моего исследования мне было бы интересно рассмотреть и другие интересные кривые, которыми занимались ученые 17 века – спираль Архимеда, улитка Паскаля, кривая Коха и другие.
И чем дальше я занимаюсь математикой, тем больше понимаю высказывание Аристотеля «Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса».
15. Спасибо за внимание.