Урок «Решение развивающих логических задач табличным способом (включая электронные таблицы)»
Плотников Сергей Николаевич,
г. Пермь, МАОУ «СОШ № 72»
Урок 4 «Решение логических задач с помощью электронных таблиц» к теме “Исчисление высказываний. Законы логики”.
Дидактические единицы: логическая величина, истина, ложь, оператор инверсии (логическое отрицание), решение логических задач табличным способом.
Предварительные размышления для учителя:
Кроме того, полученный ответ "да" ("нет") может соответствовать либо не соответствовать реальной действительности, к примеру, если отвечавший хотел обмануть вопрошавшего (солгал ему) или не хотел его обмануть (заблуждался). Так учащихся можно подвести к пониманию истины|лжи как двух логических значений получаемых ответов (высказываний).
Откуда берётся ответ на вопрос? Источников информации два: 1) люди, обладающие знаниями (либо их заместители - объективированные знания из хранилищ закодированной информации); 2) "допрос природы под пыткой" - постановка экспериментов, опытов, упражнений с учебными заданиями и пр. Люди в ответ на вопрос могут сказать правду либо обмануть, экспериментатор, ставя опыты, может ошибиться, заблуждаясь, либо познать истину, обнаружив закономерность.
Толкование полученного ответа всегда есть перевод добытой информации на язык, понятный вопрошавшему. В практическом и дидактическом планах это означает переосмысление содержания полученной информации для построения продуктивной программы будущей успешной деятельности учащегося.
Кроме того, составляя в процессе решения задачи двоичные матрицы с заданными значениями, учащиеся непосредственно сталкиваются с логическим оператором отрицания (инверсии) в образе его действующей (посредством учебного задания) персонифицированной динамической модели. Бесспорна антропофильность такого подхода к пониманию сущности инверсии в дополнение существующему ныне общепринятому формальному бинарному определению оператора отрицания посредством семантической таблицы. Это знаменует лучшее понимание и надёжное запоминание найденного способа решения задачи.
Изучение законов логики высказываний может и должно сопровождаться решением учебных задач, демонстрирующих действие этих законов. Кроме того, решив задачу путём рассуждений, можно затем решить ей с применением известных учащимся законов логики высказываний. Эти два шага позволят перейти впоследствии к решению таких задач с помощью компьютерных вычислений.
Целью урока, исходя из вышеописанного, в таком случае станет «развитие логического мышления учащихся через формирование умений и навыков правильных рассуждений и их дальнейшей формализации вплоть до решения логической задачи с помощью компьютерных приложений (на примере электронных таблиц)».
Ход урока. Учитель на доступном аудитории уровне рассказывает о том, что учебные задачи представляют собой вопросы, которые требуют ответов. Под запись даются адаптированные для 6 класса определения понятий «истина» и «ложь». Напоминает, что в условии задачи содержатся необходимые и достаточные сведения для её успешного решения. После артикуляции проблемы условие задачи даётся под запись.
Задача “Яблоко Париса”.
Условие: богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения:
Афродита: “Я самая прекрасная”.
Афина: “Афродита не самая прекрасная”.
Гера: “Я самая прекрасная”.
Афродита: “Гера не самая прекрасная”.
Афина: “Я самая прекрасная”.
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны.
Вопрос: мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Можно попробовать записать условие в виде матрицы.
Решение проходит таким способом: допустим, что самая прекрасная - Афина.
Высказывания богинь
Афина
Гера
Афро-
дита
1
Афродита: Я самая прекрасная
л
2
Афина: Афродита не самая прекрасная
и
3
Гера: Я самая прекрасная
л
4
Афродита: Гера не самая прекрасная
л
5
Афина: Я самая прекрасная
и
Очевидно, что 3 и 4 высказывания вместе ложными быть не могут. Следовательно, предположение о том, что Афина – прекраснейшая из богинь, привело нас к противоречию. Продолжим решать задачу методом перебора, предположив, что прекраснейшая – Гера.
Высказывания богинь
Афина
Гера
Афро-
дита
1
Афродита: Я самая прекрасная
л
л
2
Афина: Афродита не самая прекрасная
и
л
3
Гера: Я самая прекрасная
л
и
4
Афродита: Гера не самая прекрасная
л
л
5
Афина: Я самая прекрасная
и
л
Распределившиеся значения путём сравнения высказываний 1 и 2 вновь приведут к противоречию: Афродита, по своим словам и по словам Афины, окажется одновременно и прекраснейшей, и не прекраснейшей, что немыслимо. Значит, осталось исследовать последнюю возможность. Предположим, что прекраснейшая из богинь – Афродита. Тогда значения высказываний богинь распределятся так:
Высказывания богинь
Афина
Гера
Афро-
дита
1
Афродита: Я самая прекрасная
л
л
и
2
Афина: Афродита не самая прекрасная
и
л
л
3
Гера: Я самая прекрасная
л
и
л
4
Афродита: Гера не самая прекрасная
л
л
и
5
Афина: Я самая прекрасная
и
л
л
Просматривая попарно высказывания 1 и 2, 3 и 4, видим, что противоречий внутри такого распределения истинности-ложности высказываний 1-5 нет. Стало быть, Афродита была самой прекрасной из трёх богинь, и Парис мог разрешить их спор, не снимая платка с лица.
Как перевести задачу и решение на язык логики высказываний? Заменим высказывания переменными. Раз Афродита говорила о себе, её слова и слова других богинь можно записать как:
Афродита: «Афр» (что значит «Афродита самая прекрасная»);
Афина: «
·Афр» (что значит «Неверно, что Афродита самая прекрасная»);
Гера: «Г»
Афродита: «
·Г»
Афина: «Афн».
Если Афина – прекраснейшая, то лгали Афродита и Гера, значит,к установленным выше значениям высказываний 1, 3, 4 следует добавить знак отрицания
·.
Решение задачи на языке логики высказываний выглядит как:
I. Если Афина - прекраснейшая
(
·Афр&
·Афр&
·Г&
·
·Г&Афн)
· (
·Афр&
·Г&Г&Афн)
II. Если Гера - прекраснейшая
(
·Афр&
·
·Афр&Г&
·
·Г&
·Афн)
· (
·Афр&Афр&Г&
·Афн)
III. Если Афродита - прекраснейшая
(Афр&
·
·Афр&
·Г&
·Г&
·Афн)
·(Афр&Афр&
·Г&
·Афн)
·(Афр&
·Г&
·Афн)
Ответ – логическое сложение (перебор всех трёх возможностей): I V II V III.
В I случае
·Г&Г по закону противоречия приводит к ложности всей конъюнкции, как и во II
·Афр&Афр. Логическое сложение Л V Л V III приводит к ответу «Верно, что Афродита – прекраснейшая, и не Гера, и не Афина».
После этого, в зависимости от уровня аудитории, можно переходить к решению задачи в электронных таблицах. Ниже показано решение на примере ЭТ MS Excel 2003. На иллюстрации показано заполнение листа ЭТ в соответствии с вышеприведёнными решениями на языке логики высказываний (таблица находится в режиме отображения формул):
Результат размножения («растягивания») диапазона D2:G2 от 2й строки до 9-й показывает ответ (таблица находится в режиме отображения значений) в 8-й строке. Видно, что решение истинно лишь в одном случае:
Подготовка к решению Заголовок 115