УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ ВТОРАЯ ЧАСТЬ

Автономная некоммерческая образовательная организация
высшего профессионального образования«ВОРОНЕЖСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»(АНОО ВПО «ВЭПИ»)
Экономический факультетКАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ
Ж.И. Бахтина, Я.А. Израилевич, Г.А. Курина, Ж.И. Сухачева
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ ВТОРАЯ ЧАСТЬ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Воронеж – 2014
Рецензент: Задорожний В.Г., доктор физ.-мат. наук, профессор, кафедра нелинейных колебаний Воронежского государственного университета.

Бахтина Ж.И. Задачи по математическому анализу для студентов первого курса ВЭПИ. Вторая часть: учебное пособие/ Ж. И. Бахтина, Я. А. Израилевич, Г. А. Курина, Ж. И. Сухачева – Воронеж: ВЦНТИ, 2014. - 50 с.
В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению «ВПО экономика (бакалавриат)»
Печатается по решению редакционно-издательского советаВоронежского экономико-правового института
Ж. И. Бахтина,
Я. А. Израилевич,
Г. А. Курина, Ж. И. Сухачева
АНОО ВПО Воронежский экономико-правовойинститут, 2014
СОДЕРЖАНИЕ
TOC \o "1-3" \h \z \u НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ PAGEREF _Toc405720807 \h 5ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ PAGEREF _Toc405720808 \h 15ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ PAGEREF _Toc405720809 \h 24РЯДЫ PAGEREF _Toc405720810 \h 35ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ PAGEREF _Toc405720811 \h 46СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ PAGEREF _Toc405720812 \h 49
В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Рекомендуется студентам первого курса для успешного изучения курса математического анализа. При подготовке учебного пособия использовались «Методические указания и контрольные задания по высшей математике для студентов-заочников  II курса (специальности 1609, 0519, 0500, 0902, 0901)», подготовленные Кочкиной Г. А., Кравец Т. М., Львиным С. Я., Требуковой Н. И., Ушаковой В. Н. и изданные в ЛТИ в 1985 г.
При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:
1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;
2) работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;
3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;
4) исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.
Нужно решить задачи, последняя цифра номеров которых совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.
Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается знаком * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ0. Найти указанные неопределенные интегралы
а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
1. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
2. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) , к) , л) , м) .
3. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
4. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
5. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
6. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
7. а) , б) , в) ,
г) , д) , е), ,
ж) , з) , и)
к) , л) , м) .
8. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
9. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) ,
к) , л) , м) .
*. а) , б) , в) ,
г) , д) , е) ,
ж) , з) , и) , к) , л) , м) .
Решение задачи *
Во всех задачах мы пользуемся таблицей неопределенных интегралов. Например, в задачах а), б), в) используется формула
.
а)

б)
в)
В задачах г), д), е) воспользуемся формулой
(*)
где - первообразная для .
г)
д)
е)
ж) Воспользуемся методом замены переменной


з) Воспользуемся формулой
(**)
Для этого выделим в числителе производную знаменателя, равную . Получим

и) Это интеграл с квадратным трехчленом в знаменателе. Выделим в числителе производную знаменателя, равную . Затем в знаменателе выделим полный квадрат, т.е. запишем в виде Далее воспользуемся формулами (*) и (**).



к) Воспользуемся формулой интегрирования по частям




При нахождении мы выбрали произвольную постоянную .
л) Воспользуемся формулами тригонометрии


Имеем



.
В последнем интеграле сделаем замену переменной , тогда . Получим





м) Это интеграл от рациональной функции. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей Чтобы найти числа приведем сумму дробей к общему знаменателю.


Получим

Знаменатели в левой и правой частях получились одинаковыми. Следовательно, числители также должны быть одинаковыми. Поэтому приравняем коэффициенты при в числителях, стоящих в левой и правой частях равенства. Получим

Решая эту систему, находим . Окончательно получаем

Теперь вычислим интеграл, в третьем слагаемом используя формулу (**).


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ10-20. Вычислить определенные интегралы
10. а) , б) , в) .
11. а) , б) , в) .
12. а) , б) , в) .
13. а), б) , в) .
14. а) , б) , в) .
15. а), б) , в)
16. а) , б) , в) .
17. а) , б) , в) .
18. а) , б) , в) .
19. а) , б) , в) .
1*. а) , б) , в) .
Решение задачи 1*
Во всех задачах воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла

где - первообразная для
а)
.
б) Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле


в) Сделаем замену переменной.

В результате замены переменной пределы интегрирования также изменились: если , то ; если , то
20 - 29. Выполнить задания:
а) вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями, уравнения которых заданы вдекартовой прямоугольной системе координат;
б) вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, уравнение которой задано в полярной системе координат.
К обеим задачам сделать чертежи.
20. а) б) .
21. а) б) .
22. а) б) .
23. а) б) .
24. а) ; б) .
25. а) ; б) .
26. а) б) .
27. а) б) .
28. а) б) .
29. а) б) .
2*. а) б) .
Решение задачи 2*
а) сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 1)
Рис.1
Найдем абсциссы точек пересечения линий с уравнениями и . Для этого приравниваем правые части уравнений: . Получим квадратное уравнение . Решая его, найдем .
Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

В нашей задаче площадь фигуры можно получить как разность площадей и двух криволинейных трапеций (см. Рис.1), а именно, ограниченных линиями а сверху – линиями и Имеем


(кв.ед.).
б) Сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 2). Для этого нужно составить таблицу значений функции в зависимости от значений аргумента .

Рис. 2
Воспользуемся формулой площади криволинейного сектора, ограниченного линиями (в полярной системе координат),
.
Данная фигура ограничена линией , при этом угол делает полный оборот, т.е. . Тогда площадь фигуры есть


(кв.ед.).
30 - 39. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38. .
39.
3*.
Решение задачи 3*
Сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 3)

Рис. 3
Воспользуемся формулой объема тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями

В нашей задаче объем тела есть (куб. ед.).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ40 - 49. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
4*.
Решение задачи 4*
Данное уравнение должны рассматривать на множестве значений , не содержащем 0. Правая часть дифференциального уравнения первого порядка представляет собой произведение функций, зависящих только от и только от (произведение и ) . Такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
При запишем данное уравнение в виде Проинтегрируем это уравнение. Учитывая, что неопределенные интегралы находятся с точностью до произвольной постоянной , имеем .
Вычисляя интегралы, получаем Обозначим , где тогда
,
отсюда
.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения есть (при получаем решение ). Найдем постоянную из заданного начального условия . Подставляя и в общее решение, получим , отсюда . Найденное значение подставим в формулу для общего решения. Получим частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: .
50 - 59. Найти все решения данных дифференциальных уравнений
50. а) б) .
51. а) б) .
52. а) б) .
53. а) б) .
54. а) б) .
55. а) б) .
56. а) б) .
57. а) б) .
58. а) б) .
59. а) б) .
5*. а) б)
Решение задачи 5*
а) Данное уравнение должны рассматривать на множестве значений , не содержащем 0. Запишем уравнение в виде Значит, правая часть зависит только от Такое дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным. Для его решения сделаем замену , отсюда имеем Дифференцируя последнее равенство, получаем Подставляя выражения для и в данное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции , отсюда Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Очевидно, что его решением является . Значит, – решение данного уравнения. Найдем ненулевые решения. Разделяя переменные в уравнении для , имеем
; ,
Полученное решение подставим в формулу и получим, что решениями данного дифференциального уравнения являются функции , где – произвольная постоянная. Добавляя к этому семейству решений функцию , получаем все решения.
б) Данное уравнение должны рассматривать на множестве, не содержащем . В дифференциальное уравнение первого порядка неизвестная функция и ее производная входят линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение будем искать в виде , отсюда . Подставляя в данное уравнение выражения для и , получаем:

или
. (1)
Найдем функцию из условия, что коэффициент, стоящий при в (1), равен нулю, то есть,
. (2)
Тогда из (1) получаем, что функция будет удовлетворять уравнению
. (3)
Уравнение (2) есть дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его решение.
, , , , .
(Мы ищем частное решение уравнения (2), поэтому в формулу для решения мы не включили произвольную постоянную.)
Подставляя полученное выражение для в уравнение (3), имеем , отсюда . Тогда
Подставляя найденные выражения для и в равенство , находим общее решение данного дифференциального уравнения

60 - 69. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее
начальным условиям .
60. .
61. .
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
6*. .
Решение задачи 6*
Интегрируя выражение для , находим последовательно и :
;


Итак, получили выражения для и .
Выберем теперь постоянные и так, чтобы выполнялись начальные условия. Для этого подставим в найденные выражения для и Получим систему

Решая ее, находим .
Подставляя эти значения и в найденное выражение для решения , получаем
.
70 - 79. Найти общее решение дифференциального уравнения вида
.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
7*.
Решение задачи 7*
Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где – общее решение уравнения без правой части, а – частное решение уравнения с правой частью.
Решим дифференциальное уравнение без правой части . Характеристическим уравнением для него будет квадратное уравнение , которое имеет не равные действительные корни и . Поэтому общее решение дифференциального уравнения без правой части имеет вид
.
Правая часть дифференциального уравнения равна . Коэффициент -2, стоящий при в показателе степени, совпадает с одним корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение дифференциального уравнения с правой частью будем искать в виде
.
Тогда
,
.
Подставляя , , в данное дифференциальное уравнение, получаем равенство
.
Сокращая на и приводя подобные члены, получаем . Отсюда находим .
Итак, .
Запишем теперь общее решение данного дифференциального уравнения
.
РЯДЫ80 - 89. Пользуясь одним из признаков сходимости рядов с положительными членами, установить, сходятся или расходятся данные ряды.
80. а) ,
б) .
81. а) ,
б) .
82. а) ,
б) .
83. а) ,
б) .
84. а) ,
б) .
85. а) ,
б) .
86. a) ,
б) .
87. а) ,
б) .
88. а) ,
б) .
89. а) ,
б) .
8*. а) ,
б) .
Решение задачи 8*
а) Для данного ряда с положительными членами воспользуемся признаком Даламбера:
- если , то ряд сходится;
- если , то ряд расходится.
Выпишем - ый и - ый члены ряда
,
тогда
.
Поскольку, то данный ряд сходится.
б) Для данного ряда с положительными членами
(1)
воспользуемся признаком сравнения: если существует конечный предел и этот предел отличен от нуля, то ряды и ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В качестве второго ряда возьмем ряд
. (2)
Ряд (2) есть обобщенный гармонический ряд с . Обобщенный гармонический ряд сходится, если , и расходится, если . Следовательно, ряд (2) сходится. - ый член ряда (1) есть , - ый член ряда (2) есть .
.
Предел отличен от нуля, поэтому ряды (1) и (2) ведут себя одинаково. Ряд (2) сходится, следовательно, и данный ряд (1) сходится.
90 - 99. Установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд. Если ряд сходится, выяснить, является ли его сходимость абсолютной или условной.
90. .
91. .
92. .
93. .
94. .
95. .
96. .
97. .
98. .
99. .
9*. .
Решение задачи 9*
Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося ряда
, (3)
Если и , то ряд (3) сходится. При этом, если ряд с положительными членами
(4)
сходится, то ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если ряд (4) расходится, а ряд (3) сходится, то ряд (3) называется условно сходящимся.
В нашей задаче требуется исследовать знакочередующийся ряд
.
Условия признака Лейбница выполнены, так как
;
.
Следовательно, данный ряд сходится.
Составим из данного ряда ряд с положительными членами:
.
Этот ряд является обобщенным гармоническим рядом при . Так как , то ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.
100 - 109. Найти область сходимости степенного ряда.
100. .
101. .
102. .
103. .
104. .
105. .
106. .
107. .
108. .
109. .
10*. .
Решение задачи 10*
Степенной ряд абсолютно сходится при , где , и расходится при .
Запишем коэффициент при в нашей задаче .
Тогда .
Вычислим .
.
Итак, данный степенной ряд абсолютно сходится при и расходится при .
Исследуем его сходимость при , то есть при и .
При степенной ряд превращается в ряд с положительными членами
.
Запишем общий член этого ряда .
Воспользуемся признаком сравнения. Для этого возьмем расходящийся гармонический ряд

с общим членом .
Найдем предел отношения -х членов последних двух рядов
.
Предел отличен от нуля, следовательно, последние два ряда одновременно расходятся в силу признака сравнения. Значит, степенной ряд при расходится.
При степенной ряд превращается в знакочередующийся ряд
.
Для этого ряда выполнены условии признака Лейбница:

и

Следовательно, последний ряд сходится. Соответствующий ему ряд с положительными членами есть степенной ряд при . Так как он расходится, то степенной ряд при сходится условно.
Итак, данный степенной ряд сходится для всех , удовлетворяющих неравенству . Причем внутри этого промежутка ряд сходится абсолютно.
110 - 119. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции .
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
11*.
Решение задачи 11*
Ряд Маклорена для функции имеет вид

Следовательно,
.
Подставляя в полученную формулу вместо , получаем
.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
120 - 129. Вычислить определенный интеграл, пользуясь разложением в ряд подынтегральной функции. Вычислять с тремя десятичными знаками.
120. . 121. .
122. . 123. .
124. . 125. .
126. . 127. .
128. . 129. .
12*. .
Решение задачи 12*
Ряд Маклорена для функции имеет вид
.
Поэтому
,

.
Отбросим члены полученного числового ряда, начиная с . Так как ряд знакочередующийся, то ошибка не превосходит числа , то есть меньше 0, 0002. Получим

130 - 139. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального уравнения при условии, что .
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
13*.
Решение задачи 13*
Будем искать решение в виде ряда Маклорена.
Для этого нам надо определить значения , , ,….
Значение нам задано. Дифференциальное уравнение первого порядка можно рассматривать как формулу для вычисления Подставляя в нее и , находим, что .
Продифференцировав уравнение по переменной получим формулу для вычисления : . Подставляя в нее и , , находим . Аналогичным образом можно найти значения , , …. Подставляя найденные значения в ряд Маклорена, получаем
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫОсновная
Кытманов А. М. Математический анализ: учебное пособие для бакалавров / А. М. Кытманов. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с.
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин. – М. : Юрайт, 2012. – 909 с.
Ильин В. А. Высшая математика: учебник / В. А. Ильин, А. В. Куркина. – М.: Проспект, 2012. – 608 с.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. – СПб.: Лань, 2010. – 299 с. 
Дополнительная
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 2001. – 432 с.
Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – СПб.: Лань, 2005. – 736 с.
Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. – М. : Астрель, АСТ, 2008. – 654 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учебное пособие для студ. втузов / Г. С. Бараненков [ и др.]; ред. Б. П. Демидович. – М.: Астрель, АСТ, 2004. – 495 с. 
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2002. – 432 с.
Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 471 с.