Примеры решения иррациональных, тригонометрических, логарифмических и других уравнений, решаемых нетрадиционными методами

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.

1. Решение иррациональных уравнений.

Метод подстановки.
1.1.1 Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
13EMBED Equation.31415 , 13EMBED Equation.31415.
Тогда, 13EMBED Equation.31415
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения 13EMBED Equation.31415.
Имеем систему уравнений 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
Т.к. а + в = 4, то 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415

Значит: 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 9 – x = 8 ( х = 1. Ответ : х = 1.

1.1.2. Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.

Введем обозначения: 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Значит: 13EMBED Equation.31415
Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем 13EMBED Equation.31415.
Имеем систему уравнений 13EMBED Equation.31415
а + в = 2, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
Вернемся к системе уравнений: 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 , 13EMBED Equation.31415.
Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.).

13EMBED Equation.31415 Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.
Ответ : нет решений.
Решите уравнение: 13EMBED Equation.31415.
Введем обозначение 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415. Тогда 13EMBED Equation.31415,13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим три случая:
1) 13EMBED Equation.31415. 2) 13EMBED Equation.31415. 3) 13EMBED Equation.31415.
- а + 1 - а + 2 = 1, а - 1 - а + 2 = 1, а - 1 + а - 2 = 1, a = 1, 1 ( [ 0;1 ). [ 1 ; 2 ). а = 2.

Решение: [ 1 ; 2 ].

Если 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.

Ответ: 13EMBED Equation.31415.

1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.
Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.
Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415
Решите уравнение: 13EMBED Equation.31415.
ОДЗ: 13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим правую часть уравнения.
Введем функцию 13EMBED Equation.31415. Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).
Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть 13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим левую часть уравнения.
Введем функцию 13EMBED Equation.31415. С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x ( ( 2 ; 4 ).
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415 при 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415, x=3.

g` + -
2 3 4
g
max
g(3) = 2.
Имеем, 13EMBED Equation.31415.
В результате 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415
Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :
13EMBED Equation.31415
Решая первое уравнение системы , имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.

Ответ: х = 3.

1.3. Применение монотонности функции.
1.3.1. Решите уравнение : 13EMBED Equation.31415
ОДЗ : 13EMBED Equation.31415, т.к . 13EMBED Equation.31415 ( 13EMBED Equation.31415.

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.
Левая часть представляет собой 13EMBED Equation.31415 возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.
Доказательство:
Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется
13EMBED Equation.31415, т.к. х1 >1,
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.
Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.
Значит x=1 – единственный корень.
Ответ: x = 1.
1.3.2. Решите уравнение: 13EMBED Equation.31415
ОДЗ: [ 0,5 ; +( ), т.к . 13EMBED Equation.31415 т.е. 13EMBED Equation.31415.
Преобразуем уравнение 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.
Проверка: 13EMBED Equation.31415
Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).
Ответ: х = 7.




2.Логарифмические уравнения.
Метод оценки левой и правой частей.
2.1.1. Решите уравнение: log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.
Дадим оценку левой части уравнения.
2х - х2 + 15 = - (х2 - 2х - 15 ) = - ( ( х2 - 2х + 1 ) - 1 - 15 ) = - ( х - 1 ) 2 + 16 (16.
Тогда log2 (2х - х2 + 15 ) ( 4.
Оценим правую часть уравнения.
x2 - 2х + 5 = (х2 - 2х + 1 ) - 1 + 5 = (х - 1) 2 + 4 ( 4.
13EMBED Equation.31415
Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.
13EMBED Equation.31415 значит 13EMBED Equation.31415
Ответ: х = 1.

Для самостоятельной работы.

2.1.2. log4 (6х - х 2 + 7 ) = х2 - 6х + 11 Отв.: х = 3.
2.1.3. log5 ( 8x - x 2 + 9 ) = x2 - 8x + 18 Отв.: х = 6.
2.1.4. log4 (2x - x 2 + 3 ) = x 2 - 2x + 2 Отв.: х = 1.
2.1.5. log2 ( 6x - x2 - 5 ) = x 2 - 6x + 11 Отв.: х = 3.

2.2. Использование монотонности функции, подбор корней.
2.2.1. Решите уравнение : log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.
Выполним замену 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Тогда x2 - 2x + 5 = 20 - t, значит
log2 t = 20 - t .
Функция y = log2 t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.
Решив уравнение 2х - х2 + 15 = 16, находим, что х = 1.
Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.
Ответ: х = 1.

2.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.
2.3.1. Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.
ОДЗ: ( x - 15 ) cosx > 0.
Перейдем к уравнению
13EMBED Equation.31415 , 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
Перейдем к равносильному уравнению
(x - 15) (cos2 x - 1) = 0,
x - 15 = 0, или cos2 x = 1 ,
x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,
x = 2 (k, k(Z . x = ( + 2(l, l(Z.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.
1) если x = 15 , то (15 - 15) cos 15 > 0,
0 > 0, неверно.
x = 15 – не является корнем уравнения.
2) если x = 2(k, k(Z, то (2 (k - 15) l > 0,
2(k > 15, заметим, что 15 ( 5(. Имеем

k > 2,5 , k(Z,
k = 3, 4, 5, .
3) если x = ( + 2(l, l(Z, то (( + 2(l - 15 ) ( - 1 ) > 0,
( + 2(l < 15,
2(l < 15 - (, заметим, что 15 ( 5 (.
Имеем: l < 2,
l = 1, 0 , -1, -2, .
Ответ: х = 2(k (k = 3,4,5,6,); х = ( +2(1(1 = 1,0, -1,- 2,).

3.Тригонометрические уравнения.
3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.
4.1.1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.
Первый способ..
0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1, cos x + cos 5x = -2.
Поскольку cos x ( - 1 , cos 5x ( - 1, заключаем, что cos x + cos 5x > -2, отсюда
следует система уравнений
cos x = -1,
cos 5x = - 1.
Решив уравнение cos x = -1, получим х = ( + 2(к ,где k(Z.
Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к.
cos 5x = cos 5 (( + 2(k) = cos (( + 4( + 10(k) = -1.
Таким образом , х = ( + 2(к , где k(Z , - это все решения системы, а значит и исходного уравнения.
Ответ: х = ( ( 2k + 1 ), k(Z.
Второй способ.
Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем
cos 2x = - 1,
cos 3x = 1.

cos 2x = 1,
cos 3x = - 1.
Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.
Ответ: x = ( 2(к + 1 ), k(Z.
Для самостоятельной работы.
Решите уравнения:
3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.
3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.
3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2(к, k(Z.
3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х = (/2 + (к, k(Z.
3.1.6. cos8 x + sin7 x = 1. Ответ: х = (m, m(Z; х = (/2 + 2(n, n(Z.
3.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.
Поскольку ( cos 3x ( ( 1 и (cos 5x/2( ( 1 , то данное уравнение равносильно системе

cos 3x = 1, x = 2(n / 3,
cos 5x/2 = 1; x = 4(k / 5.

Ответ: 4(m, m(Z.

3.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0. Ответ: 8(к, k(Z .
3.1.9. cos2(2 x + (/3 ) + cos2( ( / 12 - x ) = 0. Ответ: 7(/12 + (к, k(Z.










13PAGE 14615



13EMBED Equation.31415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native