Показательная функция, Решение показательных уравнений

Урок разноуровневого обобщающего повторения
«Показательная функция. Решение показательных уравнений».
Длительность урока 40 мин. Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.
Цель урока. Обобщить теоретические знания по темам «Показательная функция, свойства показательной функции» и «Решение показательных уравнений», рассмотреть методы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
1 этап урока – организационный (1 минута)
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
2 этап урока (5 минут) – фронтальный опрос.
Повторение теоретического материала по теме «Показательная функция и её свойства».
? Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Какую функцию называют показательной?»
/учащиеся дают свои варианты определений; важно, чтобы прозвучало определение «Функцию вида у = ах, где а > 0, a
· 1 называется показательной функцией с основанием а»/
? Учитель: «Какими основными свойствами обладает показательная функция?»
/ учащиеся указывают область определения функции, множество значений функции, характер монотонности в зависимости от значения параметра а, точку пересечения графика функции с осью ординат/.
Должны прозвучать ответы:
- область определения функции – множество R действительных чисел;
- Множество значений функции – множество R+ всех положительных действительных чисел;
- Если а > 1, то функция возрастает на всей числовой прямой; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей числовой прямой (на множестве R);
- График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1), пересечения с осью абсцисс нет.
Учитель демонстрирует графики функций, обращая внимание на то, как определить значение параметра а относительно 1 и значения функции при х = а.
/используя интерактивную доску (или виде слайдов), проектируются слайды, на которых изображены графики функций: 1) у = а х, при а > 1 2) у = а х, при 0 < а < 1/.
? Учитель: «Какие виды преобразования графиков вы знаете и как определить смещение точек вдоль осей координат?»
/ на доске изображены графики функций у = 3 – х; 2) у = 3 – х +1; 3) у = 3 х + 1;
учащиеся отвечают на вопросы, важно услышать:
- для построения графика функции f (x) +b , где b - постоянное число, надо перенести график функции f(x) на вектор (0; b) вдоль оси ординат.
- для построения графика функции f (x + a), где a – постоянное число, надо перенести график функции f (x) на вектор (- а; 0) вдоль оси абсцисс./
Ответы учащихся иллюстрируются на доске (слайды или анимации, учитель показывает вектор смещения, используя интерактивную доску).

3 этап урока (5 – 7 мин)
Устная работа по решению простейших задач на тему «Показательная функция, её свойства».
/задания можно предложить с использованием интерактивной доски, слайдов презентации или раздаточного материала/
Учитель предлагает учащимся применить только, что сформулированные теоретические факты к решению задач.
1.На одном из рисунков изображен эскиз график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Укажите этот рисунок.
/изображены графики функций: 1) y = 3x; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) y = 13 EMBED Equation.3 1415; 4) y = log3 x /
(ответ № 2)
2. Укажите область значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) (2; + 13 EMBED Equation.3 1415); 2) (5; + 13 EMBED Equation.3 1415); 3) (- 13 EMBED Equation.3 1415; + 13 EMBED Equation.3 1415); 4) (3; + 13 EMBED Equation.3 1415)
(ответ № 4)
3. На одном из рисунков изображен эскиз график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Укажите этот рисунок.
/изображены графики: 1) у = 2 х - 1; 2) у = 2 – х +1; 3) у = 2 – х + 1; 4) у = 2 х + 1 /.
(ответ № 4)
4. Для каждого из рисунков (смотри задание 3) укажите функцию.
(Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 ; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415).
5. Укажите характер монотонности функций:
а) у = 5х; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415.
(Ответы: 1) монотонно возрастающая; 2) монотонно убывающая; 3) монотонно возрастающая; 4) монотонно убывающая; 5) монотонно убывающая).
/Учащиеся по очереди отвечают на сформулированные вопросы, обосновывая свой ответ, при этом ссылаясь на теоретический материал, учитель вносит коррективы при необходимости/.
4 этап урока (7 – 8 мин)
Повторение теоретического материала по теме «Равносильные уравнения. Решение показательных уравнений».
С учетом подготовки учащихся возникла необходимость повторения теоретического материала. Фронтальный опрос проводился по следующим вопросам:
- какие уравнения называются равносильными?
- что можно сказать о корнях равносильных уравнений?
- что называют областью допустимых значений уравнения f(x) = g(x)?
- какие способы решения уравнений вы знаете?
/должны прозвучать ответы: 1) два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
2) корни равносильных уравнений совпадают.
3) областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).
4) графический метод и аналитический: вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, сведение к простейшему путем тождественных преобразований.
Каждый ответ сопровождается примером учащегося, учитель следит за соответствием ответа и примера/.
? Учитель: «Когда возникает необходимость в проверке полученных корней уравнения?»
/должен прозвучать ответ: если при решении уравнения, мы на каком – то шаге выполняем преобразования без учета ОДЗ (вводим новую переменную, возводим в квадрат или четную степень, освобождаемся от знаменателя (умножаем на общий знаменатель), сокращаем на общий множитель)/.
? Учитель: «Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?»
Ответ: Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида
ах = b, где a > 0, a
· 1.
? Учитель: «Что вы можете сказать о корнях этого уравнения?»
Ответ: Уравнение имеет единственное решение при b > 0, при b
· 0 уравнение корней не имеет.
? Учитель: «Как найти корень уравнения?»
Ответ: х = log ab. Если же b = a c , то х = с.
Учитель предлагает учащимся привести примеры простейших показательных уравнений и записать их решение. Это могут быть примеры типа: 3 х = 5; 13 EMBED Equation.3 1415; 2 х = 2; 13 EMBED Equation.3 1415, важно, чтобы примеры были с целыми и дробными основаниям; равные 1 (вспомнить а 0 = 1) и чтобы b нельзя было представить в виде степени с основанием а. Учащиеся комментируют свои решения.
Учитель приглашает одного из учащихся (более подготовленного) к доске для решения уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415, класс записывает в тетрадь решение. Ответ: х = 1.
? Учитель: «Нужно ли делать проверку?»
Ответ: Нет, т. к. при решении был совершен равносильный переход.
Задание классу: решить уравнение 9х - 8
·3х – 9 = 0.
/предварительно обсудив алгоритм его решения: 1. ввести новую переменную, учесть ОДЗ для введенной переменной (с учетом свойств показательной функции);
2. решить квадратное уравнение,
3. сделать обратную замену
4. выписать ответ/
Решение проверяется по заранее записанному решению на доске: это может быть затемненный экран интерактивной доски или слайд в презентации, или решение за закрытой доской в зависимости от возможностей кабинета.
Ответ: 2.
Учитель обращает внимание учащихся, что в основании показательной функции может стоять функция и тогда уравнение приобретает вид: 13 EMBED Equation.3 1415, которое равносильно совокупности систем (предлагается записать сильному учащемуся на доске):
13 EMBED Equation.3 1415
5 этап урока (15 минут)
Разноуровневая самостоятельная работа.
Учитель выдает задания для самостоятельной работы (лежат на столе учащихся), сообщая, что на её выполнение отводится 15 минут. Работа в четырех уровнях, не менее трех вариантов для каждого уровня. 1 – й уровень – учащиеся со слабой математической подготовкой (0 – 5 баллов при выполнении диагностической работы из 12 возможных),
2 – й уровень – учащиеся с недостаточной математической подготовкой (6 – 8 баллов при выполнении диагностической работы),
3 – й уровень – учащиеся с хорошей математической подготовкой (9 – 11 баллов при выполнении диагностической работы)
4 – й уровень – учащиеся с высокой математической подготовкой (12 баллов).
Задания 1 уровня.
Задания аналогичные тем, по которым у них уже были успехи и задания, которые разбирались на уроке. Все задания базового уровня сложности. Правильные ответы отмечены *. Можно предложить следующие задания.
1. Вычислите: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 30; 3) 10; 4)* 15.
2. Упростите выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 4m4; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3)* 13 EMBED Equation.3 1415: 4) 4m.
3. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 1,5; 2) 2; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4)* 0.
4. На одном из рисунков изображен график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Укажите этот рисунок.
/ изображены графики функций: 1) у = 13 EMBED Equation.3 1415; 2) у = 2 х – 1; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415/
Ответ: 4.
5. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 1,75.
6. Решите уравнение: 16
·3х – 3х = 15. Ответ: 0.
Задания 2 уровня .
Задания базового уровня сложности, но среди них есть задания, которые не разбирались на уроке, одно задание повышенного уровня сложности, которое разбиралось на уроке.
1. Вычислите: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 7,25; 2) 7,1; 3)* 7,01; 4) 9,5.
2. Укажите область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1)
13 EMBED Equation.3 1415
3)
13 EMBED Equation.3 1415

2)*
13 EMBED Equation.3 1415
4)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3. График какой функции изображен на рисунке? <Рисунок 1 >.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ответ: 4. Рис. 1

4. Укажите наименьшее целое значение функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) - 1; 2) 0; 3)* 1; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Решите уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ответ: 0,5.
Задания 3 уровня сложности.
Учащимся 3 группы были даны задания из книги «Тестовые задания по алгебре и началам анализа» Е. А. Семенко с вложенными бланками для ответов и номерами варианта, который должен выполнять каждый учащийся (6 вариантов по теме «Показательные уравнения» стр. 98), 2 учащийся решают свои задания на доске, для последующей проверки./ Можно предложить задания с полной записью решения.
Решить уравнения: а) 2 2х + 1 = 4; б) 13 QUOTE 1415; в) (7 3-х) 3 = 49;
г) (2 х)2 . 2 – 3 = 2 5х; д) 625 . 25 х = 13 QUOTE 1415; е) 13 QUOTE 1415.
Задания 4 уровня сложности.
(задания выполняются в тетрадях, с последующими комментариями учителя; уровень подготовки класса не позволяет обсуждать это решение со всеми, т. к. в классе большинство учащихся имеют слабую математическую подготовку и для них полезнее обсуждение заданий 3 уровня). В своих работах учащиеся этой группы должны были предоставить краткий ответ на первое задание и развернутое решение второго.
Вариант 1.
Найдите решение уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, принадлежащее области определения функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.13 EMBED Equation.DSMT4 1415Ответ: - 1.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ответ: - 1.
Вариант 2.
1. Решите уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ответ: 0.
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ответ: 3.
Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает учащимся 1 группы выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.
По истечении времени учащиеся сдают работы.
6 этап урока (5 минут)
Обсуждение решений записанных на доске.
На доске учащиеся решали две задачи (голубая карточка), это задачи из «Тестовых заданий по алгебре и началам анализа» Е. А. Семенко. Учащиеся, выполнявшие задания на доске, комментируют решения, отвечают на вопросы одноклассников, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.
7 этап урока (2 минуты)
Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.
Учитель ещё раз обращает внимание на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет оценки за работу на уроке.
Домашнее задание: обменяться вариантами заданий в группах и решить их;
учащимся более подготовленным предлагается ещё решить
уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 . Ответ: 9
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·
·
·
·
·
·vi
·
·
·
·
·
·
·
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ma
·
·
·
·
·ing
·
·
·
·
·

·
·ne c
·
·
·c
·
·я.194
·ne c
·
·
·c
·
·я.195
·ne c
·
·
·c
·
·я.196
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·я.197
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·я.198
·ne c
·
·
·c
·
·ї.1
·ne c
·
·
·c
·
·ї.2
·ne c
·
·
·c
·
·я.201
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·ї.2
·ne c
·
·
·c
·
·я.203
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·я.204
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native