Урок математики в 9-м классе по теме Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"
Цели урока:
ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;
знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Учащиеся получают тест на печатной основе
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
__________________________
Имя, фамилия
Множество чисел, следующих одно за другим, образованное по какому-нибудь правилу (закономерности), называется ……………………………………………………………..
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа, называют
арифметической прогрессией
геометрической прогрессией
алгебраической прогрессией
последовательностью
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называют
арифметической прогрессией
геометрической прогрессией
алгебраической прогрессией
последовательностью
Последовательность задана формулой . Напишите первые пять членов данной последовательности.
4; 8; 16; 32; и т.д. ……………………………………………. прогрессия
Впишите пропущенные члены последовательности:
13; _____; 11; _____ ; 9; ____ ; 7;……...
_____; ____ ; 10 ; 100 ; ______; 10000.
Напишите третий и четвёртый члены последовательности, а также определите разность/ знаменатель последовательности, если это последовательность является:
арифметической
геометрической
2 ; 12; … ….
3,2 ; 0,8 ; …….
-2 ; 8 ; …….
Затем обмениваются тестами, отмечают «+» и «- » верные и неверные ответы.
А как представить бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной 0, (03)? Возникла проблема : КАК и с помощью чего. Выход на новую тему
2. Изучение новой темы. (демонстрация презентации. Приложение 1)1) Слайд №2.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
2) Слайд №3.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Фронтальная работа.
Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача №1.
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
а)
Решение:
а) (фронтальная работа, запись на доске)
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) (самостоятельно)
данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Продолжить работу с презентацией.
3) Слайд №4.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .
Если n неограниченно возрастает, то
4) Слайд №5.
Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.
Тренировочные упражнения.
Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.
Решение:
Задача №3стр 103 , № 237 (а)Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение:
Задача №4. 236(а)
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если
Решение:
Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.
1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10 2-й способ. 0,(5)=0,555…=
Задача №5. Стр 103 239
Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 0,(12)= 4/33.
Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Самостоятельная работаЗадания (слайд №6):
Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15?
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…
Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.
Самопроверка (слайд №7).
Домашнее задание. Стр104 , №426
Рефлексия, Уч-ся заполняют полученную ранее рефлексивную карточку. Учитель комментирует оценки.
Ученика(цы) «___»б класса _____________________________________
Сегодня я узнал… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________
Было интересно… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________
Было трудно… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________
Полезным было… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________
Я выполнял(а) задания… ________________________________________________________________________________________________________________________
Я понял(а), что… ______________