Конспект по математике:Предел последовательности.

Конспект урока по математике для учащихся 2 курса
Тема урока: «Предел последовательности».
Цель:
Изучить понятие числовая последовательность, способы ее задания и свойства числовых последовательностей;
изучить понятие предела последовательности, учить вычислять пределы последовательности;
Тип урока: комбинированный
Оборудование урока: учебник по алгебре, раздаточный материал последовательности.
Ход урока
Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.
2. Актуализация знаний
- В школьном курсе алгебры вы изучали последовательности. Какие? (арифметическую и геометрическую прогрессию)
- Что же такое последовательность?
Последовательность- это занумерованный ряд объектов.
II. Изучение нового материала.
Тема сегодняшнего урока «Предел последовательность».
Понятие числовой последовательности - Запишем определение числовой последовательности. Опр 1:Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а2…….числу n – число аn и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а1, а2,…,аn или (аn), где а1, а2,…,аn – члены последовательности.
Опр 1/ :Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последовательность.
Способы задания числовой последовательности
Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности отn.
Например, формула аn=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .
Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.
Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.
Например, рекуррентное соотношение an=an-1+2 вместе с уравнением a1=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7,.. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.
Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.
Свойства числовой последовательности
- Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы рассматривали при изучении обычных функций.
Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого  верно неравенство  .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)
Например 1, 3, 5, 7 2n -1,... — возрастающая последовательность.
Например  — убывающая последовательность.
Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.
Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство  выполняется для всех номеров n.
Иными словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство
уnМ. Число М называют верхней границей последовательности.
Например, последовательность-1, -4, -9, -16,..., —п2 , ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.
Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует числоm такое, что для любого n выполняется неравенство уп. Числоm называют нижней границей последовательности.
Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п2, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.
- Прочитайте и выделите в теоретической карте главный материал.
- А сейчас я хотела бы поговорить с вами о пределе последовательности и функции.
Понятие предела последовательности
- Как вы думаете, что означает слово предел? (учащиеся высказывают свои мнение)
- Хорошо, сформулируем ваши мнения на математическом языке.
1. Определение предела последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности (уп) и (хп).
(уn):1,3, 5,7,9, ...,2n-1,...; (xn):
Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для (уп) и рис. 2 для (хп)). Замечаем, что члены второй последовательности (хn) как бы « сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хn) сходится, а последовательность (уп)расходится.
Рис. 2
Рис. 1

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.
Опр 1. Пусть а — точка прямой, а r— положительное число. Интервал (а-r, а +r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.
Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02< 6 ˂ <6+0,02
a-r < a < a+r
Рис. 3

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменяют термином «предел последовательности».
Опр 2. Число b называется пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут либо так: уп  b (читают: уп стремится к b или уп сходится к b), либо так:

(читают: предел последовательности уп при стремлении п к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении п к бесконечности» опускают).
Правила вычисления пределов последовательности
- Запишем правила вычисления пределов последовательности:
Пример 1: Дана последовательность (yn): 
- Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?
Докажем, что

Рис. 4

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r(Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n0так, чтобы выполнялось неравенство  . Если, напримерr=0.001,то в качестве n0 можно взять 1001, поскольку ; если r=, то в качестве n0 можно взять 5774, поскольку, и т.д. Но это значит, что член последовательности ynс номером n0 , т.е.  , попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

Пример 2: Найти предел последовательности 
Здесь последовательность сходится к 0:  или

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если 

А что будет с последовательностью , если ? Пусть, например, q=2, т.е. речь идет о последовательности 2,22,23,…,2n,… Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: если , то последовательность расходится.

Например:


Теоремы об арифметических операциях над пределами:если





- Перенесите данные теоремы в тетради.
- Решим несколько заданий основываясь на правила и теоремы о пределах последовательности.

- Предел последовательности вычисляется путем почленного деления числителя и знаменателя на неизвестную в наибольшей степени.
- Какая наибольшая степень из предложенных нам дана? (2)
- Разделим почленно на п2, получим:
- Каким правилом и теоремой воспользуемся?

- мы нашли предел последовательности
Вычисление предела последовательности
- Решим несколько заданий на доске.
Вычислите

- рассмотрим предел последовательности, когда х стремится к предельному значению.

- Простейшим способом вычисления предела является подстановка предельного значения (конкретного числа) в подпредельное выражение, т.е. подставляем число 4 вместо х.

Закрепление изученного материала.

6. Подведение итогов
- Что нового вы узнали на уроке?
7. Домашнее задание