Проект на тему Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств
МБОУ СОШ №25
Проект на тему:
Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств
Проект подготовила: учитель математики Абасова Луиза Габибуллаевна МБОУ «Средняя общеобразоваельная школа №25» г. Махачкала 2016
Оглавление: стр.
1.Введение ………………………………………………………….. 3-5
2.Глава I.Обзор литературы по теме проекта………………………..6-7
3. Глава II. Эмпирическая часть:…………………………………… 8-9
Раздел 1.Решение логарифмических и показательных уравнений
и неравенств …………………………………. ………………… 11-16
Раздел 2. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств…………………………………………17-19
Раздел 3. Доклад про логарифмическую спираль…………………….20-21
Раздел 4. Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный)…………..22-23
Заключение………………………………………………………………24
Выводы…………………………………………………………………….24
Введение
“Из всех заслуживающих изучения первопричин и
действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом - Свет,
а из достопримечательностей Математики - разум
исследователя в несравненно большей
степени, чем всё остальное, возвышает
непреложность её доказательств. Леонардо да Винчи
Название проекта: «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»
Краткая аннотация проекта:
Проект предусматривает исследования развития самостоятельности при изучении темы: «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств» и как это влияет на качественную подготовку к итоговой аттестации.
Актуальность:
-Недостаток знаний у учащихся о решении логарифмических и показательных уравнений и неравенств;
-низкие баллы по математике ЕГЭ-2015
Цель проекта – формирование у каждого ученика умения решать различные типы логарифмических и показательных уравнений и неравенств, эффективно подготовиться к сдаче ЕГЕ; .
Задачи исследования: познакомить и обобщить знания учащихся с разнообразием уравнений и неравенств , научить способам их решений по данной теме.
Предмет исследования: формы работ учащихся на уроках математики в процессе решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств.
Гипотеза исследования: строить образовательный процесс на учебном диалоге ученика и учителя; привитие умения пользоваться математическими формулами; формировать мыслительные и самостоятельные практические действия; повысить их умения решать уравнения и неравенства по данной теме.
Направляющие вопросы
Основополагающий вопрос
В чем заключаются методические рекомендации по развитию самостоятельности при обучении математике по данной теме?
Проблемные вопросы
Каковы теоретические основы развития самостоятельности при обучении математике?
Каковы нестандартные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств?
Каким образом прослеживается свойства логарифмической функции вне математической области?
Учебные вопросы
Каковы теоретические основы при обучении математике по данной теме?
Какова методика при изучении указанной темы?
Какие трудности возникают при изучении темы «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»?
Какие требования предъявляются к изучению указанной темы?
Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому,
И я научусь.
Конфуций
Метод проектов - далеко не открытие наших дней, он возник в начале прошлого века в США и используется не только в школьном образовании.
Что же такое проект?
- Проект – происходит от латинского project us.
Его буквальный перевод – «брошенный вперед» - уже объясняет многое.
- В современном русском языке слово «проект» имеет несколько весьма близких по смыслу значений. Так называют:
Совокупность документов, необходимых для создания какого-либо сооружения или изделия;
Предварительный текст какого-либо документа;
Какой–либо замысел или план.
История и корни
В начале ХХ века американский философ и педагог Дж. Дьюки и его последователь В.Х. Килпатрик стали авторами «метода проектов».
Суть новаторской идеи заключалась в том, что дети, исходя из своих интересов, вместе с учителем выполняли собственные проекты. Так, решая какую-либо задачу, они включались в реальную деятельность и овладевали новыми знаниями.
Мой проект посвящается теме решения логарифмических и показательных
уравнений и неравенств. Эта тема включена в задания ЕГЭ №5 и №15(профильный уровень) и №7(базовый уровень).
Применение на уроках презентаций по этой теме позволяет:
учитывать индивидуальные способности;
формировать мыслительные и самостоятельные практические действия;
развивать творческие способности;
активизировать познавательную деятельность учащихся.
Глава I.Обзор литературы по теме проекта .
http://reshuege.ruhttp://www.orenwiki.ru/index.phpUchportal.ru/load/235
Uztest.ru
www.4ppt
Корянов А.Г,Прокофьев А.А-Методы решения неравенств с одной переменной-2011 г.
Эфендиев Э.И.- Практикум по элементарной математике-2015 г.
Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)
Инфоурок.
Приложение газеты «Первое сентября», Математика, 2012г
В [1], [3], [4] рассматриваются все задания №5, №15 ЕГЭ-2016 года по базовому и профильному уровню, т.е. задания разделов 1;4.
Из [2], [6], [7], [8] этих источников рассматриваются задания , наиболее ярко характеризующие тот или иной основной метод решения логарифмических и показательных уравнении и неравенств во всей его полноте в разделе1.
Из [5], [7], [9], [10] этих источников взяты повышенного уровня подготовки №15 , которые решаются методом рационализации – методом Голубева или об одном способе , упрощающем решение логарифмических и показательных неравенств в разделе 2 .
Из [2] взят материал применение логарифма вне области математики, доклад про логарифмическую спираль в разделе 3.
Выводы: изучаемая тема из разных источников преподносится в разной последовательности и в разной форме, но вся литература соответствует требованиям ФГОС
Раздел 1. Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств
Логарифмические уравнения - это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga f(x) = b,
где а > 0, а ≠ 1, равносильное уравнению
f(x) = ab
Основные теоремы о логарифмах.
«Хитрости » свойств логарифмов:
Уравнение вида logxA=B, A>0
при А≠1 и В≠0 имеют единственный корень х=А1/В;
при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число;
при А=1 и В≠0 корней нет;
при А≠1 и В=0 корней нет. Уравнение вида logaf(x)=logag(x), a>0, a≠1
1 способ.
2 способ.
Тренинг
Логарифмы с переменным основанием
Уравнения вида logg(x)f(x)=b равносильны смешанной системе
тренинг
Уравнения вида logf(x)g(x)=logf(x)h(x)
или
тренинг
Уравнения вида a>0, a≠1, n€N
Пример:
Методы решения логарифмических уравнений
1.Решение уравнений, основанных на определении логарифма
2.Решение уравнений потенцированием
3.Применение основного логарифмического тождества
4.Логарифмирование
5.Замена переменной
6.Переход к другому основанию
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах.
1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма
log2(5 – x) = 3.
По определению логарифма
5 – х = 23,
откуда х = –3.
х = –3 – корень уравнения.
Ответ: х = –3.
2. Решение уравнений потенцированием
log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1.
Потенцируя, имеем: log3(x + 1)(x + 3) = 1.
Учитывая область определения получаем систему:
{x+1>0,x+3>0 или {x+1<0 , x+3<0
Откуда х1= 0, х2= – 4. Так как х > –1, то корень х2= – 4 – посторонний.
Ответ: х = 0
3. Применение основного логарифмического тождества
log2(9 – 2x) =10lg(3 – x)
Область определения уравнения
откуда х < 3. Применив в правой части уравнения основное логарифмическое тождество, получим:
log2(9 – 2x) = 3 – x или 9 – 2x = 23 – x или , 22х – 9 · 2х + 8 = 0, откуда 2х = 1, х1= 0; 2х = 8, х2 = 3. Так как x < 3, то х2 = 3 – посторонний корень.
Ответ: х = 0.
4.Логарифмирование
10lg2x+xlgx=20Область определения уравнения задается условиями х > 0, х ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его:
(10lgx)lgx + xlgx = 20, xlgx + xlgx = 20, xlgx = 10 или lgxlgx = lg10, lg2x = 1, lgx = ±1, значит lgx = 1, x1 = 10; lgx = –1, x2 = 0,1.Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0,x ≠ 1.
Ответ: x1 = 10, x2 = 0,1.
5.Замена переменной в уравнениях
Две основные идеи решения логарифмических уравнений:
приведение уравнения к виду
с последующим потенцированием;
замена неизвестных вида
с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.
Например: 5. lg-x=lgx2Так как – х > 0, т.е. х < 0 и x2=IxI=-x, то данное уравнение можно записать в виде
lg-x=lg(-x) .
Пусть lg-x =t, t≥0, тогда получаем t = t2, t (t – 1) = 0, откуда t1 = 0, t2= 1.
Значит lg(–x) = 0, x1 = – 1; lg( –x) =1, x2 = –10.Ответ: x1 = – 1, x2 = –10.
Ответ:2;16
Ответ:9; 1/3
Ответ:0,125;2
Ответ:1/3;3
Ответ:2;16
Тренировочные упражнения
6.Переход к другому основанию
3log23х+хlog3х =162 Запишем уравнение в виде
Далее имеет
Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3,получим: log3х*log3х=log381 или
=4
(log3х)2
log3х=+_2, тогда х1=9, х2=19Ответ: х1=9, х2=19Методы решения показательных уравнений
22x-4 = 64. (методом уравнивания показателей)
22х-4=262х-4=6
2х=10
Х=5 Ответ: х=5.
22x – 6∙2x + 8 = 0.(метод введения новой переменной)
2х= т, m2-6m+8=0, m=2, m=4.x=1 ,x=2. Ответ: х =1; 2
7 2x+1+ 7 2x+2 + 7 2x+3 = 57. (вынесение общего множителя.)
72x(7+49+343)=57
72x*399=57
72x=7-1,2x=-1, x=-0.5 Ответ: х =-0.5.
Схемы решения логарифмических и показательных неравенств
1.Сведение к рациональным неравенствам
2.Метод интервалов и систем
при а > 1
1. a f (x) > a g( x) f(x) > g( x)
2. log a f( x ) > log a g ( x ) gx>0fx>g(x)при 0< a< 1
a f (x) > a g( x) f(x) < g( x)
log a f( x ) > log a g ( x ) fx>0 fx<g(x)Решить неравенство: 3х – 3 х – 3 ≥ 26
3x(1-1/27)≥26
3x≥26/(26/27)
3x≥27, x≥3
2.Решить неравенство: lg 2 x 2 + 3 lg x > 1
lgx=t, 4t2+3t-1>0; t=1/4, t=-2 ; x=101/4, x=10-2
3. Решить неравенство
Решение:
Разделим обе части неравенства на :
Пусть =m, m>0, тогда
, , ; ;;
Ответ: .
4. Решить неравенство Решение:
Так как то последнее соотношение равносильно
Ответ: (3; 4).
РАЗДЕЛ 2.
Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.
1.Таблица работает при условии :f›0,g›0,h›0,h≠1
где f и g— функции от х,h— функция или число,V— один из знаков ≤,›,≥,‹
Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.
2.И еще несколько полезных следствий :
где f и g — функции от x,h— функция или число,V— один из знаков ‹,≥,≤,›
Пример 1:
Пример 2:
Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства .
Таблица для рационализации в показательных неравенствах:
f и g— функции от x, h— функция или число, V— один из знаков ›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии h›0,h≠1.
Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка — частный случай третьей.
Пример3:
(x2-x-2)2x-6 ≥ (x2-x-2)3-4x X2-x-2›0
х2-x-2 ≠1
((X2-x-2)-1)((2x-6)-(3-4x))≥ 0
x›2 ; x‹-1 (x2-x-3)(6x-9)≥0 ,x2= , x3=1,5
Упорядочим корни:
Так как 3‹ √13 ‹4,то x2‹x3‹x1
С учётом ОДЗ получаем: ( ; -1)U( ; +∞)
РАЗДЕЛ 3
Доклад про логарифмическую спираль:
Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?
2901315168910Обычно на этот вопрос отвечают так:
обойду земной шар и вернусь в
точку начала пути.
Но этот ответ неверен.
Ведь идти на северо-восток - это
значит постоянно увеличивать
восточную долготу и северную
широту, и вернуться в более южную
точку мы не сможем.
Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.
При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.
3472815260350На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.
Уравнение логарифмической спирали
Логарифмическая спираль
описывается уравнением r = α φ,
где r – расстояние от точки,
вокруг которой закручивается
спираль (ее называют полюсом),
до произвольной точки на спирали,
φ – угол поворота относительно полюса, ά – постоянная.
Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( log ά r) возрастает пропорционально углу поворота φ.
Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.
Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.
Очень часто логарифмическая спираль встречается в природе.
Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.
Чтобы не слишком вытягиваться, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфган Гёте считал ее математическим символом жизни и духовного развития.
Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины.
В подсолнухе семечки располагаются по дугам, также близким к логарифмической спирали.
Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
РАЗДЕЛ 4
Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный)
Задание15 № 507708. Решите неравенство: Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 2010 год вариант 201. (Часть С)
Задание 15 № 507764. Решите неравенство: Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2010 вариант 1. (Часть С)
Задание 15 № 508210. Решите неравенство:
Задание 15 № 508366. Решите неравенство:
Задание 5 № 26651Найдите корень уравнения .
Задание 5 № 26653. Найдите корень уравнения .
Задание 5 № 26646. Найдите корень уравнения
Задание 5 № 26657. Найдите корень уравнения .
Задания №7 базового уровня такие же как и задания№5 профильного уровня
Заключение.
Проведя исследовательскую работу, дети узнают много полезного и интересного о методах решения логарифмических уравнениях и неравенствах, научатся работать с источниками информации, узнают в каких случаях и как используются те или иные или другие нестандартные методы.
Я, как учитель, в процессе работы над проектом с большим интересом составляла его, соблюдая нормы структурных требований. Интерес к чему-то новому, помню еще, было со школы: когда будучи ученицей седьмого класса, я получила задание от учительницы (на следующий урок подготовить выступление) по геометрии по теме «Средняя линия трапеции», построить чертеж на доске и доказать теорему о средней линии трапеции.(1982г)
Я справилась этим заданием. «Все новое - это хорошо забытое старое» гласит народная мудрость.
Выпускник получит возможность овладеть специальными приемами решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств, применять их для решения заданий ЕГЭ.
Выводы
Проектную работу с успехом можно применить при подготовке к ЕГЭ.
Элементы проекта могут быть использованы также при подготовках к олимпиаде. В дальнейшем эта работа будет продолжаться по другой теме по заданиям ЕГЭ «Нахождение объемов тел».