Презентация по математике на тему Основные приемы решения показательных уравнений

Показательные уравнения «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С.Коваль Свойства:Область определения: множество R действительных чисел.Множество значений: множество R всех положительных действительных чисел.Монотонность: Показательная функция Функция вида (где a>0, a ≠1) называется показательной функцией с основанием a. x y основаниеa > 1 основание0 < a < 1 При основании a > 1 функция является возрастающей. При основании 0 < a < 1 функция является убывающей. x y Ещё раз рассмотрим уравнение вида a х = b, сколько же корней может иметь это уравнение и от чего это зависит? Основные свойства степеней При любых действительных значениях х и y и любых действительных значениях а > 0 справедливы равенства: ax · ay = a x+y ax : ay = ax-y (ab)x = ax · bx (a:b)x = ax:bx (ax)y = axy Математический диктант Является ли убывающей функция ? Является ли показательным уравнение ?Верно ли, что областью определения показательной функции является R ?Верно ли, что если b>0, то уравнение имеет один корень?Верно ли, что ax/bx = (a/b)x ? Является ли возрастающей функция ? Является ли показательным уравнение ?2. Верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатами (0;1)?3. Верно ли, что если b=0, то уравнение не имеет корней? 4.Верно ли, что если b<0, уравнение, имеет корни ?5. Верно ли, что ax/ay = a x-y ? Вариант 1 Вариант 2 Ответы Вариант 1 Вариант 2 № 1 № 2 № 3 № 4 № 5 Нет Да Да Да Да № 1 № 2 № 3 № 4 № 5 Нет Да Да Да Да Решите устно уравнения: 6x = 36Ответ: х = 2 2x = 0,5Ответ: Х = -1100x = 10Ответ: х = 1/2 10x = 3Ответ: х = lg3ex= 2Ответ: х = ln2625x = _ 25Ответ: Ǿ Уравнения вида аf(x) = ag(x) равносильны уравнению f(x) = g(x) Методы решения показательных уравнений Приведение к одному основанию5х ∙ 5-1 = 52 ∙ 51/25x-1 = 52.5X-1 = 2.5x= 3.5Ответ: х = 3.5 2. Логарифмирование обеих частей а) 10x = 9 lg10x = lg9 X= lg9 Ответ: X= lg9 b) ex= 5 X= ln5 Ответ: X= ln5 3. Вынесение общего множителя за скобку 7x + 7x+2 = 3507x(1+72) = 3507x · 50 = 3507x = 350/507x = 71X = 1Ответ : х = 1 4. Замена переменной 25х +5х+1 – 6 = 0 52x +5х ·51 – 6 = 0Замена переменной: 5x = t , t>0 t2 + 5t -6 = 0 D = b2 – 4ac = 25+24= 49 t= 1, t= -6 ; -6<0 5x = 1 X = 0Ответ: х = 0 5. Использование монотонности: 2х + 5х = 29X=2 (ед. корень) Постоянное число 6. Использование однородности 3 ∙ 4х -5 . 6х + 2∙ 9х = 0 : 9х≠ 0 или на 6х или на 4х3 ∙ (4/9)x – 5 ∙ (6/9)x +2 =03∙ (2/3)2x -5 (2/3)x +2 = 0Замена: (2/3)x = t , t>03t2 - 5t + 2 = 0D = 25 – 24 = 1 t1= 2/3 (2/3)x = 2/3 или (2/3)x = 1 t2= 1 x1 = 1 x2 = 0Ответ: x1 = 1; x2 = 0 7. Составление отношения 4х + 3х-1 = 4х-1 + 3х+24х - 4х-1 = 3х+2 - 3х-14х-1( 4 – 1) = 3х-1 ∙ (33 -1)4х-1 ∙3 = 3х-1 ∙ 26 - восстановим пропорцию4х-1 263х-1 3 (4/3)x-1 = 26/3 -логарифмируем обе части по основанию 4/3Log4/3 (4/3)x-1 = log4/326/3X – 1 = log4/326/3X = log4/326/3 + 1 Ответ: X = log4/326/3 + 1 8. «Завуалированное » обратное число Замечаем, что = 5 – 4 = 1 - взаимно обратные числаЗамена: = t, где t > 0, тогда = 1/t t +1/t – 18 = 0 умножим обе части уравнения на t t2 - 18t + 1 = 0 D` = ( -9)2 - 1 ·1 = 80 = илиОтвет: X1 = 2; X2 = - 2 «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед» А.Нивен Разноуровневая самостоятельная работаобучающего характера (допускается работа в парах) Уровни Вариант 1 Вариант 2 Уровень II«5» Уровень I«4» Уровень 0«3» А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по –моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».