Урок Координатно-векторный метод решения стереометрометрических задач

КУРАГИНСКАЯ СОШ № 7
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
КООРДИНАТНО- ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
ЧЕРВОНЕНКО ТАМАРА ЯКОВЛЕВНА
П. КУРАГИНО 2016 г.
Алгебра – не что иное как записанная
в символах геометрия,
а геометрия – это просто алгебра,
воплощенная в фигурах.
Софий Жермен (1776-1831)
Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку- аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным методом. Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии . Предложенная им система получила его имя. В геометрии применяются различные методы решения задач. В своей работе я показала решение одной из задач тремя методами. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и позволяет решить почти все виды математических и не только задач.
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАЧАЧ СВОДИТСЯ К СЛЕДУЮЩЕМУ
1. Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
2. Находим координаты необходимых для нас точек.
3. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
4. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.
I.Основные формулы:
1.Расстояние между точками А( QUOTE , QUOTE ),В QUOTE , QUOTE ) равно QUOTE = QUOTE .
2.Угол между плоскостями. Если β-угол между плоскостями, заданными уравнениями QUOTE х+ QUOTE z+ QUOTE =0 и QUOTE х+ QUOTE z+ QUOTE =0, то
QUOTE .
3.Расстояние от точки до плоскости. Если ρ- расстояние от точки QUOTE ( QUOTE , QUOTE ), до плоскости QUOTE х+ QUOTE z+D =0,то
ρ= QUOTE .
4.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки QUOTE ( QUOTE , QUOTE ), QUOTE ( QUOTE , QUOTE ), QUOTE ( QUOTE , QUOTE ), в координатной форме:
QUOTE =0;
5. Если отрезок, концами которого служат точки А( QUOTE , QUOTE ),В QUOTE , QUOTE ) разделен точкой С(х, у, QUOTE ) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам
Х = QUOTE ; у= QUOTE ; z= QUOTE .
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Задание 14 (вариант 13 ЕГЭ, Ф. Ф. Лысенко) [5]
В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точка M является серединой отрезка BC1.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АМ, параллельную прямой А1В.
б) Найдите расстояние между прямыми А1В и АМ

а) В плоскости грани АА1В1В через точку А проведем прямую, параллельную А1В. Q и K- точки пересечения этой прямой соответственно с прямыми А1В1 и ВВ1. Прямая КМ пересекает ребро ВС в точке N, а ребро B1C1 – в точке S. Отрезок SQ пересекает ребро
A1 D1 в точке Т.
Четырехугольник ATSN образует искомое сечение, так как все его вершины лежат в плоскости QSK, которая проходит через АМ и прямую АК, параллельную А1В и, следовательно, (QSK)││ А1В.
б) Введем систему координат. Ребро куба равно 4. Значит координаты точек:
А(4;0;0); М(2;4;2); К(4;4;-4); А1(4;0;4); В(4;4;0)
АМ лежит в плоскости сечения, которое параллельно прямой А1В. Значит за расстояние между прямыми А1В и АМ можно взять расстояние от любой точки, лежащей на А1В до плоскости сечения. Составим уравнение плоскости АМК: А(4;0;0); М(2;4;2); К(4;4;-4)
Уравнение плоскости ax+by+cz+d=0
Подставим координаты точек А, М и К в общее уравнение плоскости.
4a+d=0 2a+4b+2c+d=04a+4b-4c+d=0→a=-d4 -d2+4b+2c+d=0-d+4b-4c+d=0a=-d4 4b+2c=-d24b-4c=0 a=-d4 b=c 6c=-d2a=-d4 b=c=-d12Отсюда уравнение плоскости имеет вид
-d4 x- d12y-d12z+d=0 │-d123x+y+z-12=0 Отсюда n{3;1;1} нормальный вектор плоскости.
Найдем расстояние
ρ(А1В, АМ)= ρВ, АМК= 3*4+1*4+1*0-1232+12+12=411=41111 (Формула расстояния от точки до плоскости) [2]
Расстояние от точки до плоскости
(Работа ЕГЭ, математика 2013)
Задача
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1

Введем систему координат. Тогда
А (0;0;0) В1 (0;2;1)
D (3;1;0,5) С (3;1;0)

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки А (0;0;0), D (3;1;0,5) и
В1 (0;2;1) в координатной форме имеет вид: x-x1y-y1z-z1x-x1y2-y1z2-z1x-x1y3-y1z3-z1 = 0 [3]
x-0y-0z-0310/5021 = xyz310/5021 = 0
Или x+23z-x-3y=0
-3y+23z=0
3y-23z=0 в этом уравнении
ax+bx+cz+d=0
a=d=0
b=3c=-23n {0; 3; -23} нормальный вектор плоскости.
Расстояние находим по формуле из учебника Л. С. Атанасян «Геометрия 10-11» [2]
ρ=(C, ADB1) = ax0+by0+cz0+d a2+b2+c2 , где C (x0; y0; z0); C (3; 1; 0)ρ=(C, ADB1) = 3*0+1*3+0*(-23)(3)2+(-23)2 = 33+12 = 315 = 15 = 55Расстояние от точки до плоскости
Задание С2 (ЕГЭ 2013, И. В. Ященко) [6]
Радиус основания конуса равен 9, а его высота 12. Плоскость сечения конуса содержит его вершину и хорду основания, длина которой равна 10. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Эту задачу я решил тремя вариантами чтобы сравнить возможности координатно-векторного метода с другими.
Вариант 1.


ОК=r2-25=81-25=(9-5)(9+5)=214;
SK=144+56=200=102122=102*SP
SP=144102=144210*2=3625;
ОР2=SP*PK=3625102-3625=3625502-3625=3625*1425=36*14*1225=36*4*72ОР=6*275=1275Вариант2Рассмотрим объем пирамиды OASB
VOASB=13SAOB*OS=13*12*10*214*12=103*1214SOASB=13SASB*OP
13SASB*OP=13*12*10*102*OP=5032*OPOP=12*10314:5032=1275Вариант 3 (координатно-векторный метод)

Введем систему координат
А(-5;214;0); В(5; 214;0);S(0;0;12)Найдем уравнение плоскости ABS. Общее уравнение имеет вид: ax+by+cz+d=0
0a+0b+12c+d=0-5a+214b+d=05a+214b+d=0 c=-d12 -5a+214b+d=0414b+2d=0 c=-d12 b=-d214=-d1428a=0 Следовательно уравнение плоскости: 0x - d1428y-d12z-1=0│*-1dd1428y+z12-1=0
n{0;1428;112}O(0;0;0) найдем расстояние [2]
ρ(0;ABS)=1428*0+012-11472*42+142*32=11427+19=4257*9=4*375=1275
Угол между плоскостями
Задание 14 (ЕГЭ 2016, Ф.Ф. Лысенко, вариант 31) [5]
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 4.
а) Докажите что угол между прямыми AD1 и DC1 равен 90о;
б) Найдите угол между плоскостями FAC1 и AA1D

Введем систему координат, тогда точки будут иметь координаты:
A(4;0;0); D(-4;0;0); D1(-4;0;4); C1(-2;-23;4)
AD1{-8;0;4}; DC1{2;23;4}
AD1*DC1=-16+16=0
Скалярное произведение векторов равно 0, следовательно вектора перпендикулярны
AD1 ⊥ DC1, а значит угол равен 90о

б) Найдем угол между плоскостями FAC1 и AA1D
Составим уравнения плоскостей ax+by+cz+d=0 – общее уравнение плоскости
F(2;23;0); A(4;0;0); C1(-2;-23;4)
2a+23b+0c+d=0
4a +d=0
-2a-23b+4c+d=0
a=-d4 4c+2d=0 2a+23b+d=0a=-d4 c=-d2 -d2+23b+d=0a=-d4 c=-d2 b=-d43-d4x-d43y-d2z+d=0│:d≠0+14x+143y+12z-1=0n1{14; 143; ½} нормальный вектор плоскости FAC1.
Составим уравнение плоскости AA1D [2]
A(4;0;0); A1(4;0;4); D(-4;0;0)
4a+d=0 4a+4c+d=0-4a+d=0 a=d=0; с=0; b-любое, пусть b=1. Уравнение y=0.
n2{0;1;0}-нормальный вектор плоскости AA1D
cosα=n1*n2n1*n2=143116+148+14*1=1*4343*16=14Угол α=arccos14Угол между прямымиЗадание 14 ( Вариант 7 ЕГЭ, Ф.Ф. Лысенко) [5]
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB=8, BC=15. Боковые ребра SB=62, SC=333, SA=234.
а) Докажите, что SB – высота пирамиды.
б) Найдите угол между SD и AC.

SB ⊥ плоскости ABCD т.к. SB ⊥ BC и SB ⊥ AB
9*33=225+72 верно
136=64+72 верно
Следовательно SB-высота.
б) Введем систему координат A(8;0;0); С(0;15;0); D(8;15;0); S(0;0; 62)
AC{-8;15;0}, SD{8;15;- 62}
cos (ACSB)=-64+225+064+225*64+225+72=161323 [2]
Отсюда ACSB=arccos161323Площадь сечения.
Задание 14. (Вариант 20 Лысенко 2016) [5]
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 6. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 60˚. Через меньшую диагональ основания АС проведено сечение, которое пересекает высоту пирамиды в точке, удаленной от основания на расстояние 3.
а) Докажите что это сечение перпендикулярно противоположному к АС боковому ребру пирамиды SE.б) Найдите площадь сечения.
Введем систему координат: ось ОХ т О и середина AF, ось OY-OE
Построим сечение: АС разделим пополам - точка М.

На OS отложим ОР=3 и соединим МР до пересечения с SE в точке Т, точка К – лежит на SR, где R середина ОЕ. Продолжим АС и FE точка Q, соединим Q c T, точка N точка пересечения QT и SF.

Координаты точек: S(0;0;63); Е(0;6;0); Р(0;0; 3); М(0;-3;0). Тогда РМ{0;-3;- 3}
ES{0;-6;63}, отсюда ES*РМ=0+18-18=0, то есть ES ⊥РМ.
А(33;-3;0); C(-33;-3;0); АС{-63;0;0}; АС*ES=0+0+0=0
ES перпендикулярно двум прямым АС и РМ, которые пересекаются в М и лежат в плоскости сечения. Отсюда ES перпендикулярно плоскости сечения, что и требовалось доказать.
б) Начертим треугольник OSE. В этом треугольнике ∠SEO=60˚; OS=63; ОЕ=6, значит PS=53, ∠S=30˚; ST=7,5; Т1Е=2,25

Найдем координаты точки К как точки пересечения прямой МР и SR, ∠PMO=30˚; tg∠PMO=33; отсюда уравнение прямой МР→z=33y+3; tg∠ORS=633=23;
Прямая SR→z=-23y+63z=33y+3 z=-23y+63;33y+3=-23y+63;33y+23y=53;733y=531;
у=15373; у=157; ордината точки К есть 157Площадь сечения найдем как площадь проекции МК1Т1N1A, что представляет собой трапецию МК1N1А и треугольник К1Т1N1, тогда абсцисса точки К1 будет 1573S трапеции=a+b2*h; SМК1N1А=33+15732*МК1=213+1537*2*3+157=3637*2*367=36*3637*7*2;
S∆К1Т1N1=12*15736-157-2,25=1532*7*457*4½ S проекции сечения=36*3637*7*2+15*4532*7*7*4=3*337*212*127+5*157*4=3*3*37*2576+757*4=9314*6517*4=
=837314*4 ; Тогда площадь половины сечения будет:
837314*4:32=83714*2; где 32=cos30˚; Откуда площадь всего сечения S=83714*2*2=83714=591114.
Мною рассмотрены ряд разнообразных задач по стереометрии как по нахождению разных величин, так и различных стереометрических тел: призмы, пирамиды, конус. Я просмотрела весь задачник по ЕГЭ 2016 года под редакцией Ф.Ф.Лысенко и постаралась взять из сборника различные задачи. Их решение поможет при подготовке и выполнении ЕГЭ профильного уровня учащимся 11 класса

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
1.Агачев П.Е. Курс высшей математики. Для заочных техникумов.1970, М:, Высшая школа, 539с.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф..Геометрия 10-11,2014,М.: Просвещение,256с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 1973. М:. Наука.,870с.
4..Глаголев Н.А. Элементарная геометрия: стереометрия для 10-11 кл. ср. шк. В 2 ч.-М.: просвещение-ч.2
5..Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016: учебно-методическое пособие.- Ростов-на Дону: Легион-М., 2015 .
6. Ященко И.В. Математика 2012 М.: Астрель 2012-(ФИПИ)
7. Интернет ресурсы:
http: //ru.wikipedia/org/wiki/pi