Задачник «Векторный метод решения задач»

Задачник «Векторный метод решения задач»
Составила: Казакова Ольга Сергеевна,
учитель математики МОУ «СОШ № 75» г. Саратова.
Данный задачник предназначен для изучения тем: «Векторы», «Действия с векторами», «Векторный метод решения задач». Инструктивное изложение материала, при постоянной практической пробе, даёт возможность изучить темы самостоятельно.
№1.Заполните таблицу. Основные понятия.
Задание Решение и изображение
Выполните построения:
1)На плоскости отметьте точки A и B, постройте отрезок AB;
2)На отрезке AB пусть точка A будет началом, а точка B – концом. Укажите стрелкой в конце отрезка направление из начала в конец. Вы получили отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, то есть получили направленный отрезок или вектор.
3)Построен вектор AB, его можно обозначить и однострочной латинской буквой, например, a, которая записывается над изображением вектора. Сколько векторов можно провести, выбирая начало и конец среди данных на плоскости:
1)двух точек;
2)трёх точек, не лежащих на одной прямой;
3)четырёх точек, не лежащих на одной прямой? Отметьте на плоскости любую точку и обозначьте её, например, заглавной буквой M. Вы построили нулевой вектор, его начало и конец совпадают.
Обозначение нулевого вектора: MM или символом 0. Выполните построения:
1)Постройте отрезок AB, длина которого 4 см;
2)Постройте вектор AB.
Длиной или модулем ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB.
Обозначение: AB = AB = 4.
Чему равна длина нулевого вектора?
3)Постройте вектор a, длиной 7 см. 1)Постройте параллельные прямые p и m.
2)На прямой p постройте:
а)вектор a, произвольной длины и направления;
б)вектор b, произвольной длины и направления;
3)На прямой m постройте: вектор c, произвольной длины и направления.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
4)Выпишите попарно коллинеарные векторы.
5)Постройте и обозначьте два произвольных вектора, которые являются не коллинеарными вектору a. Будут ли они являться коллинеарными векторам b, c? Постройте два коллинеарных вектора.
Полученные векторы направлены одинаково или противоположно?
Если одинаково, то вы построили сонаправленные векторы. Обозначение:
a b.
Если противоположно, то вы построили противоположно направленные векторы. Обозначение: a b. Начертите параллелограмм ABCD. Проведите векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя вершинами параллелограмма. Сколько существует пар векторов, которые являются:
1)коллинеарными друг другу;
2)сонаправленными;
3)противоположно направленными? Постройте векторы a и b, так, чтобы:
1)a b;
2)a=b.
Вы построили равные векторы.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. №2.Заполните таблицу. Операции над векторами.
Задание Решение и изображение
На плоскости произвольно выберите точку A, приняв её за начало, проведите вектор a, произвольной длины и направления. Таким образом, вы отложили вектор a от точки A.
Можно отложить от другой точки плоскости, вектор, равный данному вектору a?
Допустим, что вектор a ненулевой, а точки A и B – его начало и конец.
Выполните построения:
1)Через произвольно взятую точку M плоскости проведите прямую p, параллельную AB (если M – точка прямой AB, то в качестве прямой p возьмём саму прямую AB).
2)На прямой p отложите два противоположно направленных вектора MN и MN1, длины которых равны отрезку AB. Среди построенных векторов выберите тот, что сонаправлен с вектором a, он и будет являться искомым вектором, равным вектору a. К тому же такой вектор только один, что следует из построения.
А если вектор a – нулевой? Ответьте самостоятельно.
Итак, от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору a, и при том только один. Выполните построения:
1)Векторы a и b.
2)Произвольная точка A.
3)От точки A отложите вектор AB, равный вектору a.
4)От точки B отложите вектор BC, равный вектору b.
5)Вектор AC.
Вы, таким образом, выполнили построение сложения векторов a и b по правилу треугольника. Вектор AC называется суммой векторов a и b.
Докажем, что если AB=A1B1 и BC=B1C1, то AC=A1C1.
Рассмотрим случай, когда точки A, B, A1, точки B, C, B1 и точки A, C, A1 не лежат на одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).
1)Выполните построения:
а)AB+BC=AC;
б) A1B1+B1C1=A1C1;
в)Соединим точки A и A1, B и B1, C и C1;
2)AB=A1B1 ABB1A1 – параллелограмм AA1=BB1;
3)BC=B1C1 BCC1B1 – параллелограмм BB1=CC1;
4)Из 2) и 3) AA1=CC1 AA1C1C – параллелограмм;
5)Значит, AC=A1C1. Доказано.
Вывод: при необходимости можно работать как с данными векторами, так и с равными им.
Законы сложения векторов.
Для любых векторов a, b и c справедливы равенства:
10. a+b=b+a (переместительный закон)
20. a+b+c=a+(b+c) (сочетательный закон)
Доказательство законов проведите самостоятельно, опираясь на подсказки:
Для доказательства первого закона можете достроить треугольник до параллелограмма и работать как с самими векторами, так и с равными им.
Для доказательства второго закона достаточно несколько раз применить правило треугольника для сложения векторов, последовательно отложенных от концов предыдущих векторов. Выполните построения:
1)Произвольная точка A;
2)Неколлинеарные векторы a и b;
3) От точки A отложите вектор AB, равный вектору a.
4)От точки A отложите вектор BC, равный вектору b.
5)Постройте параллелограмм ABCD;
6) AC=a+b.
Вы построили сложение векторов a и b по правилу параллелограмма сложения неколлинеарных векторов. Как сложить несколько векторов?
Последовательное применение правила треугольника для сложения векторов даёт возможность сложить любое количество векторов. Причём порядок сложения не важен. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: два вектора складываются, получившаяся сумма складывается с третьим и т.д.
Выполните сложение пяти любых векторов, используя то, что несколько векторов можно расположить таким образом: первый вектор откладывается от любой точки, второй – от конца первого и т.д. Сумма всех векторов – вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.
Вы выполнили построение сложения нескольких векторов, пользуясь правилом многоугольника.
Подумайте, чему будет равна сумма векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего? Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору a.
Вектор a1 называется противоположным вектору a, если векторы a и a1 имеют равные длины и противоположно направлены. Обозначение: -a. a+-a=0.
Докажите, что a-b=a+(-b). Для этого воспользуйтесь определением разности векторов и прибавлением к обеим частям равенства вектора. На прямой p от любой точки O отложите вектор a, от конца вектора a отложите вектор a. Длина построенного суммарного вектора, равна a+a или 2a.
Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна k∙a, причём векторы a и b сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k < 0. Обозначение: ka.
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Из определения следует:
1)произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2)для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka коллинеарны.
Свойства умножения вектора на число.
Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства:
10. kla=k(la) (сочетательный закон)
20. k+la=ka+la (первый распределительный закон)
30. ka+b=ka+kb (второй распределительный закон) Выполните построение:
На прямой p от произвольно выбранной точки O отложите: вектор a, длиной 1 см; вектор b, сонаправленный с вектором a, длиной 2 см; вектор c, противоположно направленный с вектором a, длиной 3 см.
Попробуем выразить векторы b и c через вектор a.
Во сколько раз длины этих векторов отличаются от длины вектора a?
b=2a; c=3a;
a b, a c, т. е. векторы a, b и c коллинеарны друг другу, значит, можно воспользоваться леммой.
Если векторы a и b коллинеарны и a≠0, то существует такое число k, что b=ka.
Итак, можем выразить: b=2a, c=-3a. Выполните построение:
От произвольной точки O отложите векторы OA=a и OB=b, a и b – произвольные данные векторы. Если a и b не являются сонаправленными, то лучи OA и OB образуют угол AOB, градусную меру которого обозначьте буквой α. Будем говорить, что угол между векторами a и b равен α. Обозначение: ab.
Если a b, то ab=0°Если ab=90°, то векторы a и b называются перпендикулярными.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
a∙b=a∙bcosab.Напишите формулу скалярного произведения для случаев, когда:
ab=0°;
ab=90°;
ab=180°.
Сделайте вывод, о том, в каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю.
Напишите формулу скалярного произведения для случая, когда вектор скалярно умножается на себя. В этом случае скалярное произведение называется скалярным квадратом. Обозначение: a2. Итак, перечислите все операции над векторами. №3.Решая задачи, заполните пустые ячейки в таблице.
Язык геометрии Язык векторов Изображение
AB∥CD∃ k, что AB=kCD, CD≠0AB⊥CDAB∙CD=0точки M и N совпадают точка C принадлежит прямой AB AB=λCB, или AB=kAC, или CB=nACточка С – середина отрезка AB точка D разбивает отрезок AC так, что AD : DC = m : n Заполняя таблицу, вы пользовались векторным методом решения задач.
Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач.
Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.
Далее вам необходимо самостоятельно решать задачи. После решения каждой задачи делайте вывод о её значимости. Если результат задачи возможно использовать для решения других, то заносите его в таблицу № 3. Таким образом, вы получите набор базовых задач, на основании которых решаются более сложные.
І
1)Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине.
2)Докажите, что средняя линия трапеции параллельна её основанию и её длина равна полусумме длин её оснований.
3)Если средняя линия четырёхугольника равна полусумме длин её оснований (сторон, не имеющих общей точки со средней линией), то этот четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.
4)Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD. Точки E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами AB и CD. Докажите, что отрезок EK параллелен основаниям трапеции.
5)Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Выразите биссектрису через угол треугольника, который она делит пополам, и через стороны этого угла.
6)Если точки M и N делят отрезки AB и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n, то выполняется равенство: MN=nm+nAC+mm+nBD.
7)В треугольнике ABC через M обозначена точка пересечения медиан. Докажите, что MA+MB+MC=0.
8)Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC, O – произвольная точка. Докажите, что OM=13OA+OB+OC.
9)Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, O – центр описанной окружности. Докажите, что OH=OA+OB+OC.
10)Докажите, что три точки A, B, C (A≠B) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство, OC=αOA+βOB, в котором α+β=1, где O – некоторая точка.
11)Докажите, что центр описанной окружности
12)Докажите, что если точки пересечения диагоналей четырёхугольника и середины двух его противоположных сторон лежат на одной прямой, то этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.
13)Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
14)Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
15)Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
16)Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
17)Докажите, что в произвольном четырёхугольнике средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) точкой их пересечения делятся пополам.
18)Найти косинус угла между диагоналями прямоугольника, стороны которого равны a и b.
19)Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
20)Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, - прямой.
21)Докажите, что если в треугольнике длины его сторон a, b, c связаны соотношением a2+b2=c2, то угол этого треугольника, лежащий против стороны длины c, - прямой.
22)Даны стороны a, b, c треугольника. Найдите медианы ma, mb, mc, проведённые к этим сторонам.
23)В треугольнике со сторонами a, b, c найти длину высоты hc, опущенную на сторону c.
24)В треугольнике со сторонами a, b, c найти длину биссектрисы bc, проведённой к стороне c.
25)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
26)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин её боковых сторон плюс удвоенное произведение длин оснований.
27)Доказать, что большей медиане треугольника соответствует меньшая сторона и обратно.
28)Докажите, диагонали прямоугольника равны между собой.
ІІ
29)Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.
30)В четырёхугольнике ABCD прямая, проведённая через вершину A параллельна стороне BC, пересекает диагональ BD в точке M, а прямая проведённая через вершину B параллельно стороне AD, пересекает диагональ AC в точке N. Докажите, что MN||DC.
31)Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C, D. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
32)Пусть K, L, M, N – середины отрезков AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN соответственно. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.
33)В плоскости даны четырёхугольник ABCD и точка M. Докажите, что точки, симметричные точке M относительно середин сторон этого четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.
34)На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : AC = CN : CE = λ. Известно, что точки B, M, N лежат на одной прямой. Найдите λ.
35)Дан параллелограмм ABCD (AD||BC, AB||CD). На стороне AD выбрана точка K, а на AC – точка L так, что 5AK = AD, 6AL = AC. Докажите, что KL||BL и найдите отношение их длин.
36)Точки M и K на сторонах AB и BC треугольника ABC таковы, что AM:MB=3:4, CK:KB=2:3. Отрезки AK и CM пересекаются в точке N. Найдите отношение AN:NK.37)Точка K на стороне AC и точки L, M на стороне BC треугольника ABC таковы, что AK:KC=CL:LB=BM:MC=1:2, N – середина стороны AC. Найти отношение, в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL.
38)Через середину E медианы CC1 треугольника ABC проведена прямая AE, пересекающая сторону BC в точке F. Вычислить: AE : EF и CF : FB.
39)Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит сторону AD в отношении p, т. е. AM : MD = p; точка N делит сторону DC в отношении q, т. е. DN : NC = q. Прямые BM и AN пересекаются в точке S. Вычислить отношения AS : SN и BS : SM.
40)В параллелограмме ABCD сторона AD разделена на n равных частей и первая точка деления M(считая от A) соединена с B. В каком отношении делит точка N диагональ AC и отрезок MB?
41)В треугольнике ABC проведена медиана CM. Прямая l пересекает отрезки CA, CM, CB в точках A1,M1,B1 соответственно. Докажите равенство 12CACA1+CBCB1=CMCM1.
42)На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и D так, что AM = 23AC, BD = 45BC, а на прямой AD – точка N так, что AN = 57AD. Доказать, что точки M, N и B лежат на одной прямой. Какую часть от отрезка MB составляет отрезок MN?
43)На стороне AD и диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что AM = 15AD, AN = 16AC. Доказать, что точки M, N и B лежат на одной прямой. В каком отношении делит точка N отрезок MB?
44)На стороне AB треугольника ABC дана точка P, через которую проведены прямые параллельно его медианам AM1 и AM2 и пересекающие соответственно стороны треугольника в точках A1 и B1. Докажите, что середина отрезка A1B1 (точка E), а также точка P и точка G пересечения медиан треугольника лежат на одной прямой и найдите отношение длин отрезков EG и EP.45)Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции, боковых сторон, а также середины оснований лежат на одной прямой.
46)Через точку P – внутреннюю точку параллелограмма ABCD – проведены прямая KM||AD и прямая LN||AB, пересекающие стороны AB, BC, CD, DA параллелограмма в точках K, L, M, N соответственно. Q – точка пересечения средних линий четырёхугольника KLMN, S – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Докажите, что Q – середина отрезка PS.
47)Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC. Доказать, что точки пересечения медиан треугольника ABC и треугольника A1 B1 C1 совпадают.
48)Пусть ABCDEF – произвольный шестиугольник и U, V, W, X, Y, Z – середины его сторон. Докажите, что центры тяжести (т. е. точки пересечения медиан) треугольника UWY и треугольника VXZ совпадают.
49)Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, и продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в одной точке.
50)На сторонах параллелограмма заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры этих параллелограммов совпадают.
51)На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.
52)В треугольнике ABC длины сторон связаны соотношением a2+b2=5c2. Докажите, что медианы, проведённые к сторонам AC и BC, взаимно перпендикулярны.
53)Найдите косинус угла между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника, проведёнными к его катетам.
54)Найти косинус угла между медианами равнобедренного треугольника, проведёнными к его боковым сторонам, при условии, что угол при вершине равен α.
55)Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к его боковым сторонам, а) перпендикулярны; б) образую угол 600.
56)В треугольнике две стороны равны 2 и 4, а угол между ними равен 600. Найти угол ψ между короткой стороной и медианой, проведённой к третьей стороне.
57)В окружности с центром O радиуса r вписан четырёхугольник ABCD. Доказать, что если AB2+CD2=4r2, то диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
58)В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN прямой.
59)На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причём AK = BC. Пусть P – середина BK, M – середина AC. Найдите угол APM.
60)Точка K – середина стороны AB квадрата ABCD, а точка M лежит на диагонали AC, причём AM : MC = 3 : 1. Докажите, что угол KMD равен 900.
61)На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты AMNB и CKLA. Докажите, что медиана AP треугольника ABC перпендикулярна прямой ML.
62)На стороне AB треугольника ABC дана точка D. Выразить расстояние CD через длины сторон данного треугольника a, b, c и расстояния AD = m и DB = n.
63)Выразить расстояние от заданной точки O до точки M пересечения медиан треугольника ABC через длины сторон треугольника BC = a, AC = b, AB = c и расстояния от точки O до вершин треугольника OA = a1, OB = b1, OC = c1.
64)В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC, а точка M – середина стороны CD. Найдите AD, если AK = 6, AM = 3, KAM = 600.
Список использованной литературы
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2009.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Шестаков С.А., Юдина И.И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. – Минск: Вышэйш. школа, 1965.
Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.
Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия 7-9 кл. – М.: МЦНМО, 2006.
Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979.
Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. – М.: Просвещение, 1992.
Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7 – 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.: Дрофа, 2001.
Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.
Шестаков С. А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.: МЦНМО, 2005.