Урок по алгебре для 11 класса по теме «Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ»

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение Средняя Общеобразовательная Школа №7 П. Октябрьский Курганинский район
Открытый урок в 11 классе на тему
«Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ»
Учитель математики
Тютюнникова Ирина Николаевна
2013 г
Цели урока:
Обобщение и систематизация знаний и умений учащихся по теме «Решение иррациональных уравнений»; формирование умения применять полученные знания при решении задач;
Развитие самостоятельности при выполнении конкретных заданий, развитие навыков работы в группе.
Оборудование: презентация «Решение иррациональных уравнений»,
разноуровневые карточки для 1, 2 и 3 групп.
Ход урока
Организационный момент.
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах ( в конвертах индивидуальные задания для учащихся распечатаны на цветных карточках согласно уровню их подготовки).
Повторение теоретического материала по теме: «Арифметический корень и его свойства. Иррациональные уравнения».
Учитель поясняет учащимся, что прежде чем решать иррациональные уравнения необходимо вспомнить весь теоретический материал на котором базируется решение иррациональных уравнений.
Сформулируйте определение арифметического корня натуральной степени?
Ответ: арифметическим корнем n-й степени из числа a называют число, n-я степень которого равна a.
Для каких значений а это определение имеет смысл? Как это связано с показателем n?
Ответ: Если n-четное, то а ≥ 0, в противном случае корень не существует.
Если n-нечетное, то а – любое и n-а = -nа .
Перечислить основные свойства корня n-ой степени
1.nab = na ∙ nb2. nab = nanb, ( b ≠ 0 )
( na)m = nam , ( если m ≤ 0 , то a ≠ 0)
mna = mnana = n∙kak , (k> 0)
nan = a , если n – четно;
a , если n-нечетно.
Если учащиеся не называют какое –либо свойство, то его напоминает учитель.
Дайте определение иррационального уравнения?
Ответ: уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональным.
Учитель предлагает рассмотреть примеры иррациональных уравнений.
Примеры: 1) х-1 =2, 2) 3х = 3 , 3) х-2 = х – 8,
4) (х-1)2 = 2, 5) х-3 - 6 = 4х-3 .
5. Какие уравнения называются равносильными?
Ответ: 1) уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
2) Два уравнения с одной переменной f (x) = 0 и g (x) = 0 называют равносильными, если множества их корней совпадают.
6. Привести примеры равносильных и не равносильных уравнений?
Учащиеся приводят примеры. Учитель приготовил примеры соответствующих уравнений и после ответов учеников демонстрирует их.
Примеры: 1) уравнения 5х - 6 = 3х + 1 и 2х = 7 – равносильны;
2) уравнения ( х-1) (х + 3) = 0 и х2 + 2х – 3 = 0 – равносильны;
3) уравнения 5х+5 = 0 и х2 = - 7 – равносильны, т. к. оба не имеют корней;
4) х = х – 2 и х = (х-2)2 - не равносильны, второе уравнение является следствием первого, т. к. первое имеет один корень х = 4 , а второе два корня х =4 и х = 1.
5) Учитель обращается к учащимся с вопросом: « Рассмотрим уравнение вида f(x) =g(x). Как можно получить из него уравнение, равносильное данному? Какие способы решения уравнений такого типа вы знаете?»
Ответ: учащиеся могут привести два способа решения данного уравнения:
А) Переход к равносильной системе
f(x) =g(x) ↔ g(x) ≥0,
f (x) = g2 (x)
Б) Возвести в квадрат данное уравнение, решить уравнение f (x) = g2 (x).
Проверить какой из полученных корней удовлетворяет уравнению
f(x) =g(x).
6) Учитель предлагает учащимся рассмотреть уравнение вида 3f(x) = g(x) и прокомментировать его решение, ссылаясь на соответствующие понятия корня.
Ответ: уравнение 3f(x) = g(x) равносильно уравнению f (x) = g3 (x) , т. к. корень нечетной степени существует из любого действительного числа.
Учитель обобщает прозвучавшие ответы на случай произвольного показателя корня.
Для любого натурального значения n справедливы равносильные переходы
2nf(x) = g(x) ↔ g(x) ≥0,
f (x) = g2n(x)
2n+1f(x) = g(x) ↔ f (x) = g2n+1(x)
Учитель предлагает учащимся воспользоваться рассмотренными теоретическими фактами и решить несколько уравнений устно:
х = 5, 2. 2х = 2 , 3. х-4 = 3 . 4. 4х-5 = 2.
Работа в разноуровневых группах.
Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.
1.Решите уравнение: 4+2х- х2 = х – 2
Учащиеся могут привести одно из представленных решений:
а) используя переход к равносильной системе:
4 + 2х - х2 = (х-2 )2 ,х2 - 6х = 0 ,х = 0,
х – 2 ≥ 0;х≥ 2;х = 3,х = 3.
х≥ 2;
Ответ: 3.
Б) выполняя проверку найденных корней уравнения:
4 + 2х - х2 = (х-2 )2, 4 + 2х - х2 = х2 - 4х + 4,
2х2 - 6х = 0, 2х( х – 3) = 0, х = 0 или х = 3.
Проверка
х = 0, 4+2∙0-0 = 0 – 2, 4 = - 2 неверно.
х = 3, 4+2∙3-32 = 3 – 1. 1 = 1 верно.
Значит, 3 – корень уравнения 4+2х- х2 = х – 2
Ответ: 3.
2.Решите уравнение: (х+3)2 - 3х+3 - 10 = 0
Решение. Пусть х+3 = t , t ≥0, тогда уравнение имеет вид
t2- 3t – 10 = 0, отсюда t = 5 или t = - 2, что не удовлетворяет условию t ≥0. Тогда х+3 = 5 , х + 3 = 25, х = 22.
Ответ: 22.
Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания ( зеленая карточка № 1 из индивидуального конверта) , а в это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.
Решите уравнение: х-5 + х+3 = 2х+4 Решение: 1) Найдем ОДЗ: х – 5 ≥0х + 3≥ 0, →х ≥ 5.
2х + 4 ≥ 0
Возведем обе части уравнения в квадрат
(х-5+ х+3)2 = 2х+42 , х – 5 + 2 ∙х-5 ∙ х+3 +х + 3 = 2х + 4,
2х – 2 + 2∙х-5∙(х+3 =2х +4, 2∙х2- 2х-15 = 6,х2- 2х-15=32 , х2- 2х - 24 = 0, отсюда х1 = - 4, х2 = 6.
Так как х ≥ 5, то х = - 4 является посторонним корнем.
Ответ: 6.
Учитель предлагает учащимся второй группы приступить к самостоятельному выполнению заданий ( голубая карточка №1 из индивидуального пакета).
С учащимися третьей группы учитель рассматривает решение уравнения.
4.Решите уравнение: 16-8х+ х2 - 1 = 32х-10Решение: 1) Преобразуем уравнение (4-х)2 - 1 = 32х-10,
4-х - 1 = 32х-10, 4-х = 32х-10 + 1.
ОДЗ: 2х – 10 ≥ 0 , х ≥ 5.
Учитывая ОДЗ, имеем : х – 4 = 2х-10 + 1.
2) Решим полученное уравнение: х – 5= 32(х-5),
(х-5 ) 2 = 32 ∙ х-5 , отсюда х = 5 или х-5 = 32,
х – 5 = 18, х = 23.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 5; 23.
Далее учащиеся третьей группы выполняют свое задание самостоятельно ( розовая карточка № 1 из индивидуального конверта).
Учитель проверяет правильность выполнения заданий у учащихся первой и второй групп, производится корректировка решений отдельных учащихся ( если появляется необходимость).
Проверка ответов производится с использованием презентации, на слайдах которой записаны верные ответы.
По завершению проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание:
Решите уравнение: (х2 - 9х + 14) х2- 9 = 0, если уравнение имеет более одного корня , то в ответе указать их произведение.
Решение: 1) Поскольку произведение нескольких выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл, то
а) (х2 - 9х + 14) х2- 9 = 0, => х2 - 9х + 14 = 0 ,
х2 - 9 ≥ 0
=> (х – 2) (х -7) = 0=> х = 7;
х ≤ - 3
х ≥ 3,
б) х2– 9 = 0, отсюда х = ±3
в) (-3) ∙ 3 ∙ 7 =- 63
Ответ: - 63.
Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий (зеленая карточка №2 из индивидуального конверта).
С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает решение уравнения.
Решите уравнение: ( 2х-7) 2 + х2 = 9-30х+25х2Решение: 1) Преобразуем уравнение к виду:
( 2х-7) 2 + х2 = (3-5х)2, ( 2х-7) 2 + х2 = 3-5х.
Учитывая , что 2х – 7 ≥ 0, х ≥ 72, имеем: 2х – 7 + х2 = 5х – 3,
х2 - 3х – 4 = 0.
2) Решим полученное уравнение: х2 - 3х – 4 = 0, по теореме, обратной теореме Виета, имеем х1 = -1, х2 = 4
Учитывая условие х ≥ 72 , имеем х = 4.
Ответ:4.
Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания (голубая карточка №2 и розовая карточка №2 из индивидуального конверта).
Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости. После чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп. Все верные ответы на слайде.
Разноуровневая самостоятельная работа
Учитель предлагает учащимся вынуть из конверта карточки с номером 3 для выполнения самостоятельной работы
( см.приложение).
Зеленая карточка №3 (1 вариант)
Решить уравнение А)х2- 10 =-3х;
Б) 2х+4 = х-2; В) 6х+13 =11.
2. Решить уравнение (5-х -4)(7-х -2 )=0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их произведение.
Зеленая карточка №3 (2 вариант)
Решить уравнения: А) 38-11х = 4;
Б) 2+х-х2 = -3х;В)х-1 = х – 3.
2. Решить уравнение (х + 1,5)(х2-4х- 5 )=0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их произведение.
Голубая карточка №3 (1 вариант)
1.Решите уравнения: А) х+1 = х – 5;
Б)х+2 – х-6 = 2
2.Решите уравнение (5х-6 -х) (х2- 9) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их сумму.
3.(С) Решите уравнение (3х-8)2+ х2 =9-42х+49х2.
Голубая карточка №3 (2 вариант)
1. Решите уравнения: А) 2х-1 = х - 2
Б) х-3 = 1 + х-4 2. Решите уравнение (14+5х – х) (х2 - 4 ) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их произведение.
3. (С) Решите уравнение (5-2х)2 + 14х2 =16-6х+916х2.
Розовая карточка № 3 (1 вариант)
Решите уравнение (3х2+5х-4 - х – 1)∙ (4 - х2 ) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их сумму.
(С) Решите уравнение 9-6х+ х2 - 2 – х-8( 10-2х) = 0
(С) Решите уравнение (7-2х) 2 + х2 = 169-26х+ х2Розовая карточка № 3 (2 вариант)
Решите уравнение (3х2- 7х-6 -х + 1) ∙ (х2 - 9 ) = 0, если уравнение имеет более одного корня, то в ответе указать их произведение.
(С) Решите уравнение х2- 4х+4 - 1 = 3х-15(3-х)(С) Решите уравнение (8- 3х )2 + 14х2 = 71-12х+116х2Ответы на задания самостоятельной работы:
Зеленая карточка №3
Номер задания Вариант №1 Вариант №2
А) 2 - 2
1.Б) 0; 6 - 0,4
В) 18 2; 5
2. - 33 7,5
Голубая карточка №3
Номер задания Вариант №1 Вариант№2
А) 3; 8 1; 5
Б) 7 4
2. 5 -28
3. 5 1
Розовая карточка № 3
Номер задания Вариант №1 Вариант№2
1. 3 -7
2. 5; 7 3; 4,5
3. -2; 3 1
Итоги урока.
Учитель обращает внимание учащихся на те теоретические факты и типы уравнений, которые вспомнили на уроке, говорит о необходимости их выучить.
Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет оценки.
В качестве Д\З учащиеся обмениваются вариантами самостоятельной работы и каждый ученик получает индивидуальное задание.