Внеаудиторная самостоятельная работа по математике для обучающихся колледжа

-1193800250825
Внеаудиторная самостоятельная
работа по математике
для обучающихся колледжа
Москва
2014
Авторы-составители:
Тарасова Т.Л., преподаватель математики ГБОУ СПО «Строительный колледж №26»;
Петрищева В.В., руководитель подразделения по УР, председатель ПЦК математических дисциплин, преподаватель математики ГБОУ СПО «Строительный колледж №26»
Рецензенты: Шведова О.Л., методист ГБОУ УМЦ ПО ДОгМ,
Орлова Н.Б., методист ГБОУ СПО СК №26, кандидат пед.наукРекомендовано Экспертным советом при ГБОУ УМЦ ПО ДОгМ для использования в образовательном процессе учреждений среднего профессионального образования города Москвы. Экспертный совет при ГБОУ ДПО УМЦ ПО ДОгМ от 18.12.2013 г.
Тарасова Т.Л., Петрищева В.В. Внеаудиторная самостоятельная работа по математике для обучающихся колледжа: учебно-методическое пособие. – М.: ГБОУ УМЦ ПО ДОгМ, 2013. – 245 с.
В пособии содержится комплект заданий для организации внеаудиторной самостоятельной работы по математике для обучающихся 1, 2 курсов.
Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей колледжей системы профессионального образования.
Рассмотрено и рекомендовано к внедрению в учебный процесс на заседании Методического совета ГБОУ СПО Строительный колледж №26 Департамента образования города Москвы.
© ГБОУ СПО Строительный колледж №26, 2013
© ГБОУ УМЦ ПО ДОгМ, 2013
Введение
Комплект заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по математике для обучающихся 1, 2 курсов составлен:
в соответствии с учебным планом для обучающихся на базе основного общего образования;
в соответствии с рабочей программой;
на основании Приложения к письму «О рекомендациях по планированию и организации самостоятельной работы студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования в условиях действия ГОС СПО» (Письмо Министерства образования РФ от 29. 12. 2000г. №16-52-138 ИН\16-13 (Д)).
Преподавание математики ведется по учебнику М.И. Башмакова «Математика».
Задания для внеаудиторной самостоятельной работы были разработаны на основе технологии модульного обучения. Модуль – это целевой функциональный узел, в котором объединены учебное содержание и технология овладения им (3).
Комплект содержит 17 заданий по 6 модулям, изучаемым на 1 курсе, и 13 заданий по 7 модулям, изучаемым на втором курсе. Разделение на модули позволяет обучающемуся самостоятельно выстроить программу освоения того или иного модуля. Если обучающийся по какой-либо причине не смог уложиться в определенные сроки, то он имеет возможность изучить данный модуль самостоятельно (или с помощью преподавателя) и выполнить заданную работу в удобное для него время. Кроме того, некоторые задания предусматривают уровневое усвоение знаний, что также дает возможность обучающимся самостоятельно принимать решение.
Задания составлены так, что при их выполнении обучающиеся применяют различные виды деятельности:
составление компьютерной презентации - для выполнения данного вида задания разработана инструкция по выполнению (задания №№1, 11, 21, 22, 26, 28);
работа над мини-проектом (поисково-исследовательская деятельность) - для каждого мини – проекта составлена технологическая карта с описанием работы на каждом этапе проекта (задания №№2, 5, 12, 17);
решение задач - все задания составлены в 5 вариантах; задание №7 содержит задачи трех уровней сложности; при выполнении этого задания обучающиеся могут получить три оценки за решение задач каждого уровня (задания №№3, №, 7, 10, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 27, 29, 30);
заполнение таблицы в электронном виде с последующим распечатыванием на принтере (обобщение и систематизация знаний); при выполнении работы данного вида обучающиеся пользуются инструкцией по ее выполнению (задания №4, №8, №9, №13).
Предложенный комплект заданий предполагает:
- расширение знаний обучающихся, выходящих за рамки дисциплины;
- применение знаний математики в будущей профессии строителя;
- применение знаний при сдаче экзамена в форме ЕГЭ;
- осуществление межпредметных связи с другими общеобразовательными предметами (информатика, физика).
При составлении заданий использовались задачи, которые служат для углубления, закрепления и систематизации знаний, для формирования умений и развития математического и прикладного мышления.
Технология выполнения заданий представлена в технологической карте, разработанной для каждого задания. Каждый обучающийся (или группа) получает такую технологическую карту, позволяющую ему выполнить работу самостоятельно.
Все задания разработаны по принципу рабочей тетради. После выполнения работы листы с заданием сдаются преподавателю, заполненные от руки или в печатном виде. Для каждого обучающегося создается папка «Портфолио», что позволяет в конце учебного года оценить его работу.
Таблица 1. Критерии оценки выполненных заданийСоставление компьютерных презентаций, заполнение таблицы
№
задания Объем выполненного задания на оценку
«3» «4» «5»
Задание №1
Задание №4
Задание №8
Задание №9
Задание №11
Задание №13
Задание №21
Задание №22
Задание №26
Задание №28 выполнение работы на 50 – 75% с 1-2 ошибками
выполнение работы на 100% при наличии недочетов и 1-2 ошибок или при выполнении
75 – 80 % работы без ошибок и недочетов выполнение работы на 100% без ошибок и недочетов
Решение задач
№
задания Количество выполненных заданий на оценку
«3» «4» «5»
Задание №3 4задачи 6 задач 8 задач
Задание №6 Задачи 1 уровня Задачи 2 уровня Задачи 3 уровня
Задание №7 3 задачи 5 задач 6 задач
Задание №10 3 задачи 6 задач 7 задач
Задание №14 3 задачи 4 задачи 5 задач
Задание №15 3 задачи 4 задачи 5 задач
Задание №16 3 задачи 5 задач 6 задач
Задание №18 3 задачи 4-5 задач 6-7 задач
Задание №19 2 задачи 3 задачи 4-5 задач
Задание №20 3 задачи 4-5 задач 6-7 задач
Задание №23 10 задач 11-15 задач 16-20 задач
Задание №24 4 задачи 5-6 задач 7 задач
Задание №25 3 задачи 4-5 задач 6 задач
Задание №27 2 задачи 3 задачи 4 задачи
Задание №29 7 задач 8-14 задач 15-21 задача
Задание №30 5 задач 6-10 задач 11-15 задач
Разработка мини-проекта
Форма организации работы – работа в малых группа по 4 человека.
Контроль выполнения задания – защита мини - проекта каждой группой
№
задания Количество выполненных заданий на оценку
«3» «4» «5»
Задание №2
Задание №5
Задание №12
Задание №17
выполнение работы на 50 – 75% с 1-2 ошибками
выполнение работы на 100% при наличии недочетов и 1-2 ошибок или при выполнении 75 – 80 % работы без ошибок и недочетов выполнение работы на 100% без ошибок и недочетов
Таблица 2. Планирование внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по предмету (дисциплине) «МАТЕМАТИКА»№
п/п Раздел программы,
тема
самостоятельной
работы Вид
самостоятельной работы
Кол-во часов Цели и задачи
Формы и методы
работы Форма контроля Конечный результат
Срок выполнения работы
Модуль 1. Развитие понятия о числе 10 1. Целые и рациональные числа Составление компьютерной презентации на тему «Развитие понятия о числе» 3 Углубить и расширить знания, развивать исследовательские умения.
Групповая форма работы.
Методы работы: подготовка презентации путём изучения лекционного материала и использования дополнительной литературы по теме «История развития понятия о числе» Показ презентации на занятии
Обучающийся должен иметь представление об истории развития понятия числа; знать различные множества чисел
1,5 недели
2 Действительные числа Метод – мини проектов. Тема проекта «Использование чисел и математических понятий в песнях и музыкальных произведениях» 4 Вызвать интерес к изучению темы «Развитие понятия о числе» Групповая форма работы.
Методы работы: подготовка презентации путём изучения учебной, дополнительной литературы и Интернет-ресурсов, подготовка слайдов для каждого вида числа Представление презентации на занятии Обучающийся должен иметь представление об истории развития понятия числа; знать различные множества чисел
2 недели
3 Решение задач на проценты Решение задач 3 Развивать навыки самостоятельного закрепления полученных знаний Индивидуальная форма работы.
Метод работы: решение задач по образцам Самостоятельная работа по теме Обучающийся должен уметь решать задачи на проценты 1,5 недели
Продолжение таблицы 2
Модуль 2. Корни, степени и логарифмы 19 4 Прямая и обратная пропорциональность. Квадратичная и кубическая функции. Составление таблицы по данной теме 6 Систематизировать и закрепить полученные знания и умения Групповая форма работы.
Метод работы: заполнение таблицы Проверка выполненного задания преподавателем Обучающийся должен знать названия функций, уравнение, графики и уметь по уравнению функции назвать ее график, нарисовать его и сформулировать свойства функции по графику 3 недели
5 Корни, степени и логарифмы Метод мини-проектов. Составление компьютерной презентации на тему «Корни, степени и логарифмы» 8 Развивать познавательные способности, творческую инициативу, самостоятельность Групповая форма работы.
Методы работы: работа с учебной литературой и Интернет-ресурсами Представление презентации на занятии Обучающийся должен уметь подбирать задачи к каждой теме и знать происхождение основных понятий, обозначение, графики 4 недели
6 Решение задач на основные свойства логарифмов. Решение логарифмиче-
ских уравнений и неравенств Решение задач 5 Формировать умение использовать знания при выполнении заданий Индивидуальная работа.
Метод работы: решение задач по образцам Проверка заданий индиви-дуальноОбучающийся должен знать определение логарифма, его основные свойства и применять знания о логарифмах при выполнении заданий 2,5 неде-лиМодуль 3. Прямые и плоскости в пространстве 12 7 Прямые и плоскости в пространстве Решение задач 4 Систематизировать и закрепить полученные знания при выполнении заданий Индивидуальная форма работа.
Метод работы: решение задач по образцам
Самостоятельная работа по теме Обучающийся должен знать формулы площадей плоских фигур;
уметь применять их при выполнении заданий 2 недели
Продолжение таблицы 2
8 Параллельность в пространстве Составление таблицы по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» 2 Формировать умение систематизировать полученные знания Индивидуальная форма работы.
Метод работы: приметить имеющиеся знания в практической деятельности
Проверка заполненной таблицы индивидуально и фронтально в процессе беседы Обучающийся должен уметь на рисунке назвать взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости; знать способы задания плоскости, взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости 1 неделя
9 Параллельность в пространстве Составление таблицы по данной теме с практическими действиями строителя 2 Формировать умение использовать теоретические знания при выполнении практических действий строителя Групповая форма работа.
Метод работы: применение имеющиеся знания в практической деятельности Проверка задания на семинарском занятии Обучающийся должен уметь применить теоретические знания по предмету в практической деятельности строителя 1 неделя
10 Прямые и плоскости в пространстве Решение задач по теме «Прямые и плоскости в пространстве» 4 Закрепить знания и умения при выполнении заданий Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен признаки подобия треугольников, теорему Пифагора, свойства параллельных плоскостей; уметь применять теоретические знания при выполнении заданий 2 недели
Модуль 4. Элементы комбинаторики 6 11 Составление компьютерной презентации на тему «Элементы комбинаторики» Заполнение таблицы и составление презентации 6 Углубить и расширить теоретические знания по теме, формировать умение использовать дополнительную литературу Групповая форма работы.
Форма работы: работа с учебной и дополнительной литературой, Интернет-ресурсами
Представление презентации на занятии Обучающийся должен знать основные понятия комбинаторики и формулу бинома Ньютона, уметь их применять при решении задач 3 недели
Модуль 5. Координаты и векторы 12 12 Декартовы координаты Метод мини-проектов. Составление компьютерной презентации на тему «Декартовы координаты на плоскости и в пространстве» 4 Углубить и расширить теоретические знания по теме, формировать умение использовать дополнительную литературу Групповая форма работы.
Форма работы: работа с учебной и дополнительной литературой, Интернет-ресурсами
Представление презентации на занятии Обучающийся должен знать уравнение прямой, окружности, плоскости, сферы, правила сложения векторов на плоскости и в пространстве 2 недели
Продолжение таблицы 2
13 Координаты и векторы Заполнение таблицы 4 Закрепить полученные знания, используя учебную и дополнительную литературу Групповая форма работы.
Форма работы: работа с учебником, рабочей тетрадью Сдать заполненную таблицу Обучающийся должен знать правила сложения векторов, как вычислить координаты вектора, зная координаты его начала и конца, скалярное произведение векторов, расстояние между точками 2 недели
14 Координаты и векторы Решение задач по теме «Координаты в пространстве» 4 Закрепить полученные знания и умения при выполнении заданий Групповая форма работы.
Методы работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь применять знания при выполнении практических заданий 2 недели
Модуль 6. Основы тригонометрии 12 Продолжение таблицы 2
15 Решение задач на вычисление значений тригонометрических функций Решение заданий по теме 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Методы работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен знать зависимость между радианной мерой и градусной, уметь вычислять значения тригонометрических выражений и находить значения тригонометрических функций по одной данной 2 недели
16 Решение задач на применение формул приведения, сложения, удвоения, половинного угла Решение заданий по теме 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Методы работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь применять формулы приведения, сложения, половинного угла. 2 недели
Продолжение таблицы 2
17 Метод мини-проектов. Составление компьютерной презентации на тему «Определение расстояния до недоступной точки. Определение высоты недоступного предмета»
Составление компьютерной презентации 4 Систематизировать, углублять и расширять теоретические знания Групповая форма работы.
Методы работы: работа с учебной и дополнительной литературой, Интернет-ресурсами Представ-ление презентации на занятии Обучающийся должен уметь определить расстояние до недоступной точки и определить высоту недоступного предмета 2 недели
Модуль 7. Функции, их свойства и графики 14 18 Решение задач на нахождение области определения и множества значений функции Решение заданий по теме 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь находить область определения линейной, квадратичной, рациональной, иррациональной, тригонометрической, показательной и логарифмической функций 1 неделя
19 Исследование функции Решение заданий по теме 6 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Групповая форма работы.
Форма работы: работа с учебной и дополнительной литературой, Интернет-ресурсами Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь строить графики функций линейной, степенной, рациональной и иррациональной функций и исследовать функции по схеме 1,5 неде-ли20 Свойства функций Решение примеров по теме 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Групповая форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоя-тельной работы Обучающийся должен уметь
определять для данной функции ее свойства 1 неделя
Модуль 8. Многогранники 6 21 Формулы боковой и полной поверхности многогранников Составление компьютерной презентации 6 Углубить и расширить теоретические знания по теме, формировать умение использовать дополнитель-ную литературу Групповая форма работы.
Методы работы: составление кроссворда путем использования учебной литературы Представление презентации на занятии Обучающийся должен знать понятия многогранников, формулы площадей поверхности многогранников 1,5 неде-
ли
Модуль 9. Тела и поверхности вращения 4 22 Формулы боковой и полной поверхности тел вращения Составление компьютерной презентации 4 Углубить и расширить теоретические знания по теме, формировать умение использовать дополнитель-ную литературу Групповая форма работы.
Методы работы: составление кроссворда путем использования учебной литературы Представление презентации на занятии Обучающийся должен знать понятия тел вращения, формулы площадей поверхности тел вращения 1 неделя
Модуль 10. Начала математического анализа 24 23 Правила и формулы дифференцирования Решение задач 6 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь применять правила и формулы дифференцирования, вычислять значения функций в точке
1,5 неде-ли24 Применение производной Решение задач 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен знать и уметь применять геометричесий и физический смысл производной к выполнению задач
1 неделя
25 Нахождение первообразнойРешение задач 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь
находить общий вид первообразных, одну из первообразных1 неделя
26 Понятие производной и первообразной Составление компьютерной презентации «Моё представление о производной и первообразной функции» 6 Углубить и расширить теоретиче-ские знания по теме, формировать умение использовать дополнитель-ную литературу Групповая форма работы.
Методы работы: составление кроссворда путем использования учебной литературы Представ-ление презентации на занятии Обучающийся должен знать определение производной и первообраз-ной, их физический и геометриче-ский смысл 1,5 неде-ли27 Площадь криволинейной трапеции Решение задач 4 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоя-тельной работы Обучающийся должен знать определение криволинейной трапеции, формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, уметь определять по рисунку, является ли полученная фигура криволинейной трапецией, если нет – то как вычислить ее площадь
1 неделя
Модуль 12. Теория вероятностей. Элементы математической статистики 6 28 Теория вероятностей. Элементы математической статистики Составление компьютерной презентации 6 Углубить и расширить теоретические знания по теме, формировать умение использовать дополнительную литературу Групповая форма работы.
Методы работы: составление кроссворда путем использования учебной литературы Представление презентации на занятии Обучающийся должен знать определение и формулу вероятности события, понятия «повторные испытания и случайная величина», что можно связать со случайной величиной 1,5 неде-лиМодуль 13.
Уравнения и неравенства 24 29 Решение уравнений Решение задач 12 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоя-тельной работы Обучающийся должен уметь решать уравнения различного вида 3 недели
30 Решение неравенств Решение задач 12 Закрепить и углубить знания, развивать самостоятельность, ответственность, организованность Индивидуальная форма работы.
Форма работы: решение задач по образцу Проведение самостоятельной работы Обучающийся должен уметь решать неравенства различного вида 3 неделя
Комплект заданий для внеаудиторной самостоятельной работыЗадание №1
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Развитие понятия о числе (10 час )Тема учебного занятия Целые и рациональные числа (3 час)
Вид самостоятельной работы Составление компьютерной презентации на тему «Развитие понятия о числе»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя обучающегося1.___________________ 2._____________________
3.___________________ 4._____________________
Дата выполнения работы Заполните таблицу и оформите
полученные данные в виде компьютерной презентации
Вид числа Обозначение множества
чисел Примеры
чисел Для чего людям понадобились эти числа Действия, которые можно выполнять над числами
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Иррациональные
числа
Задание №2
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Тема 1. Развитие понятия о числе (10 час)
Тема учебного занятия Действительные числа (4 час)
Вид самостоятельной работы Метод-мини проектов. Тема проекта «Использование чисел и математических понятий в песнях и музыкальных произведениях»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя обучающегося1._____________________2._____________________
3._____________________4._____________________
Дата выполнения работы Таблица 3. Технологическая карта проекта
Этап проектной деятельности Вид деятельности преподавателя Вид деятельности учащихся
Поисково-исследовательский.
Тема проекта «Использование чисел и математических понятий в песнях и музыкальных произведениях» Постановка задачи: составить компьютерную презентацию, включающую в себя видеоряд с наложением песенного материала по разделам:
- натуральные числа;
- целые числа;
- рациональные числа;
- иррациональные числа; Выяснить, какие числа называются натуральными, целыми, рациональными и иррациональными;
подумать, какой видеоряд может соответствовать каждому виду числа
2.Технологический.
Накопление песенного материала
Постановка задачи:
найти в Интернете песни, в текстах которых имеются числа или математические термины;
записать найденные песни в формате МР 3 Выполнение задачи:
поиск песен в Интернете;
запись песен по заданной теме в формате МР 3
3.Практический.
Работа с учебной литературой, интернетом составление проекта слайда для каждого вида числа.
Классификация песенного материала Постановка задачи:
прослушать песни и классифицировать их по разделам: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, прозвучавшие в каждой песне;
разработать картинку слайда для каждого вида чисел;
выполнить наложение фрагмента песни на слайд Выполнение задачи:
прослушивание и классификация в зависимости от вида числа, прозвучавшего в тексте песни;
разработка картинки слайда для каждого вида чисел;
наложение звукового ряда
4.Заключительный.
Сравнение полученного продукта с запланированным.
Анализ всех этапов работы над презентацией.
Внесение необходимых изменений (по возможности) Постановка задачи:
просмотреть презентацию и сравнить полученный продукт с запланированным;
проанализировать все этапы работы над презентацией;
внести необходимые изменения, доработки Выполнение задачи:
просмотр презентации, анализ проделанной работы, сравнение получившегося продукта с запланированным;
анализ всех этапов работы над презентацией;
внесение изменений, доработка продукта
Итоговый.
Представление работы.
Самоанализ и взаимоанализ представленного проекта; Оценка выполненной работы Постановка задачи:
представить полученный продукт во время учебного занятия;
сравнить презентации всех групп;
провести самоанализ и взаимоанализ презентации Выполнение задачи:
представление презентации;
сравнение получившегося продукта с другими работами;
оценка работы каждой группы

Тема мини-проекта
«Использование чисел и математических понятий в песнях и музыкальных произведениях»
Проблема: отсутствие интереса к изучению темы «развитие понятия о числе» и к истории возникновения счета у человеческой цивилизации.
Характеристики проекта:
коллективный (принимают участие учащиеся гр. 1-303 МО);
продолжительность работы над проектом – 6 учебных занятий;
результат работы - компьютерная презентация, сопровождающаяся записями песен и музыкальных произведений, в которых звучат математические понятия или числа;
представление работы – учебное занятие, на котором каждая подгруппа показывает свою работу.
Основные направления мотивации учащихся при занятии проектной деятельностью:
вызвать интерес к предмету посредством эстетического воспитания через музыку;
желание соединить теоретические знания по математике со знанием современной песенной культуры;
показать, что на серьезный предмет можно посмотреть с улыбкой.
Цель проекта:
вызвать интерес к изучению темы о развитии понятия о числе; создать позитивное отношение к предмету.
Задачи:
формировать знания:
алгоритма поиска песни в Интернете;
видов чисел (натуральные, целые, рациональные, иррациональные);
2) формировать умения:
работать с Интернетом;
слышать математические термины и числа в песнях;
анализировать музыкальный материал;
систематизировать песни в зависимости от вида числа;
планировать деятельность;
работать в команде.
Задание №3
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Развитие понятия о числе (10 час)
Тема учебного занятия Решение задач на проценты (3 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________
Дата выполнения работы Решите задачи в тетради. Ответ запишите в таблицу
Текст задачи Ответ
1 Рулон обоев стоит 120 руб. 60 коп. Какое количество рулонов можно купить на 1000 рублей, если скидка составила 10%? 2 Маляр за смену может окрасить 25 м2 поверхности стен. Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 10%? 3 Банка масляной краски стоит 25 рублей. Какое максимальное количество банок краски можно будет купить на 160 рублей после повышения цены одной банки на 4 %? 4 Стоимость облицовки 1 м2 поверхности стен кафельной плиткой по ЕТКС составляет 240 руб. 60 коп. За 1 смену плиточник 4 разряда должен выложить 4м2. Премия за хорошее качество работы составляет 20%. Сколько денег он заработает за месяц, если в месяце 22 рабочих смены? 5 Теплоход рассчитан на 100 пассажиров и 40 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 45 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? 6 Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 42 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 380 рублей, а разовая поездка 10 рублей? 7 Больному прописали лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в сутки в течение 20 дней. Лекарство продается в упаковках по 16 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 8 В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3 шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 33 рубля. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 250 рублей? Задание №3
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Развитие понятия о числе (10 час)
Тема учебного занятия Решение задач на проценты (3 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________
Дата выполнения работы Решите задачи в тетради. Ответ запишите в таблицу
Текст задачи Ответ
1 Рулон обоев стоит 130 руб. 40 коп. Какое количество рулонов можно купить на 1000 рублей, если скидка составила 10%? 2 Маляр за смену может окрасить 30 м2 поверхности стен. Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 15%? 3 Банка масляной краски стоит 30 рублей. Какое максимальное количество банок краски можно будет купить на 140 рублей после повышения цены одной банки на 6 %? 4 Стоимость облицовки 1 м2 поверхности стен кафельной плиткой по ЕТКС составляет 220 руб. 40 коп. За 1 смену плиточник 4 разряда должен выложить 4м2. Премия за хорошее качество работы составляет 15%. Сколько денег он заработает за месяц, если в месяце 22 рабочих смены? 5 Теплоход рассчитан на 120 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 40 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? 6 Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 42 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 900 рублей, а разовая поездка 28 рублей? 7 Больному прописали лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 2 раза в сутки в течение 30 дней. Лекарство продается в упаковках по 15 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 8 В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3 шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 42 рубля. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 550 рублей? Задание №3
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Развитие понятия о числе (10 час)
Тема учебного занятия Решение задач на проценты (3 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________
Дата выполнения работы Решите задачи в тетради. Ответ запишите в таблицу
Текст задачи Ответ
1 Рулон обоев стоит 220 руб. 50 коп. Какое количество рулонов можно купить на 1000 рублей, если скидка составила 10%? 2 Маляр за смену может окрасить 55 м2 поверхности стен. Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 10%? 3 Банка масляной краски стоит 45 рублей. Какое максимальное количество банок краски можно будет купить на 260 рублей после повышения цены одной банки на 4 % ?4 Стоимость облицовки 1 м2 поверхности стен кафельной плиткой по ЕТКС составляет 245 руб. 50 коп. За 1 смену плиточник 4 разряда должен выложить 3м2. Премия за хорошее качество работы составляет 10%. Сколько денег он заработает за месяц, если в месяце 22 рабочих смены? 5 Теплоход рассчитан на 100 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 35 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? 6 Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 43 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 360 рублей, а разовая поездка 12 рублей? 7 Больному прописали лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в сутки в течение 20 дней. Лекарство продается в упаковках по 20 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 8 В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3 шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 350 рублей? Задание №3
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Развитие понятия о числе (10 час)
Тема учебного занятия Решение задач на проценты (3 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________
Дата выполнения работы Решите задачи в тетради. Ответ запишите в таблицу
Текст задачи Ответ
1 Рулон обоев стоит 320 руб. 20 коп. Какое количество рулонов можно купить на 1600 рублей, если скидка составила 10%? 2 Маляр за смену может окрасить 45 м2 поверхности стен. Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 8%? 3 Банка масляной краски стоит 75 рублей. Какое максимальное количество банок краски можно будет купить на 900 рублей после повышения цены одной банки на 10 % ?4 Стоимость облицовки 1 м2 поверхности стен кафельной плиткой по ЕТКС составляет 210 руб. 80 коп. За 1 смену плиточник 4 разряда должен выложить 4м2. Премия за хорошее качество работы составляет 15%. Сколько денег он заработает за месяц, если в месяце 22 рабочих смены? 5 Теплоход рассчитан на 120 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 25 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? 6 Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 34 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 880 рублей, а разовая поездка 26рублей? 7 Больному прописали лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в сутки в течение 22 дней. Лекарство продается в упаковках по 14 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 8 В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3 шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 22 рубля. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 250 рублей? Задание №3
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 1 Развитие понятия о числе (10 час)
Тема учебного занятия Решение задач на проценты (3 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________
Дата выполнения работы Решите задачи в тетради. Ответ запишите в таблицу
Текст задачи Ответ
1 Рулон обоев стоит 130 руб. 40 коп. Какое количество рулонов можно купить на 1000 рублей, если скидка составила 8%? 2 Маляр за смену может окрасить 35 м2 поверхности стен. Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 12%? 3 Банка масляной краски стоит 125 рублей. Какое максимальное количество банок краски можно будет купить на 1300 рублей после повышения цены одной банки на 4 %? 4 Стоимость облицовки 1 м2 поверхности стен кафельной плиткой по ЕТКС составляет 210 руб. 60 коп. За 1 смену плиточник 4 разряда должен выложить 5м2. Премия за хорошее качество работы составляет 10% . Сколько денег он заработает за месяц, если в месяце 22 рабочих смены? 5 Теплоход рассчитан на 95 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 18 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? 6 Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 42 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 980 рублей, а разовая поездка 28 рублей? 7 Больному прописали лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в сутки в течение 25 дней. Лекарство продается в упаковках по 16 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 8 В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3 шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 24 рубля. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 350 рублей? Задание №4
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 2 Корни, степени и логарифмы (19 час)
Тема учебного занятия Прямая и обратная пропорциональность.
Квадратичная и кубическая функции (6 час)
Вид работы Составление таблицы по теме «Прямая и обратная пропорциональность. Квадратичная и кубическая функции»
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________2._____________________
Дата выполнения работы Заполните таблицу на компьютере и затем распечатайте ее
Функция Уравнение функции Название графика функции График
функции Свойства функции
Прямая пропорциональность
Обратная пропорциональность
Квадратичная функция
Кубическая функция
Задание №5
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 2 Корни, степени и логарифмы (19 час)
Тема учебного занятия Корни и степени (8 час)
Вид работы Метод мини-проектов. Составление компьютерной презентации на тему «Корни, степени и логарифмы»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________2.______________________
3.______________________4. _____________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию
№№
слайдов Заголовок слайда Картинка
слайда Определение, формула, график функции Историческая справка Примеры
1-4 Корни (квадратный корень, кубический корень, корень n-й степени) 5-8 Степени 9-12 Логарифмы Таблица 4.Технологическая карта мини-проекта
Этап проектной деятельности Вид деятельности преподавателя Вид деятельности обучающихся
1 .Поисково-исследовательский.
Тема проекта «Корни, степени и логарифмы» Постановка задачи:
составить компьютерную презентацию, включающую в себя слайды:
- историческая справка о происхождении понятий;
- обозначение, график функции;
- примеры заданий по темам Выполнение задачи:
подобрать в библиотеке литературу по истории математики;
подобрать в кабинете математики задачники;
продумать дизайн слайдов
Технологический.
Накопление материала
Постановка задачи:
найти в книгах или в Интернете исторические сведения по данной теме;
подобрать задачи по теме Выполнение задачи:
поиск исторических данных в литературе и в Интернете;
подбор задач по каждому из понятий
Практический.
Работа с учебной литературой, Интернетом, составление проекта слайдов для каждого понятия.
Дизайн слайдов Постановка задачи:
разобраться с содержанием слайдов;
разработать картинку слайда для каждого понятия;
выполнить дизайн слайдов Выполнение задачи:
редактирование текста слайдов;
разработка картинки слайда для каждого из понятий;
работа над дизайном слайдов
Заключительный.
Сравнение полученного продукта с запланированным.
Анализ всех этапов работы над презентацией.
Внесение необходимых изменений (по возможности) Постановка задачи:
просмотреть презентацию и сравнить полученный продукт с запланированным;
проанализировать все этапы работы над презентацией;
внести необходимые изменения, доработки Выполнение задачи:
просмотр презентации, анализ проделанной работы, сравнение получившегося продукта с запланированным;
анализ всех этапов работы над презентацией;
внесение изменений, доработка продукта
Итоговый.
Представление работы.
Самоанализ и взаимоанализ представленного проекта. Оценка выполненной работы Постановка задачи:
представить полученный продукт во время учебного занятия;
сравнить презентации всех групп;
провести самоанализ и взаимоанализ презентации Выполнение задачи:
представление презентации;
сравнение получившегося продукта с другими работами;
оценка работы каждой группы
Задание №6
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 2 Корни, степени и логарифмы (19 час)
Тема учебного занятия
Решение задач на основные свойства логарифмов.
Решение логарифмических уравнений и неравенств (5 час)
Вид самостоятельной работы Решение задач
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________
Дата выполнения работы Выполните представленные задания
Уровень
сложности 1 уровень 2 уровень 3 уровень
1. Вычислите 2,3 log2,324,1 log4,17П logП5,24 2 log435 3 log5 212 2 log144313 log911615 log2514415log15162.
Вычислите log3log28log9lg1000log2log2216log12log5625log2log17149log9115 ∙ log113log218 + log23 - log2272log0,30,1 + log0,3100log963 - 2 log917 + log91343Решите уравнения log2х = 5,
log7 (5х)=5
log13х = - 2 log2(х-4) = 2,
ln 5-2х= 0,log5(7- х ) = 5log3(х-2) =
=log3(2х+5),
log2(х2-3) = =log2(3х-5),
log5х-1== log5х(х+1)Решите неравенства log5х > 2,
log3х < 1,
log12х > -1 log3(х+1) < 3,
lg 3х-2>0,
log12(7-5х) < 1
log3х < log3(2х-1),log12(3х-6) > log122х,
log2(2х-3)≤ log2(х+2)
Задание №7
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Геометрические фигуры на плоскости (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, заполните таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение Ответ
1 В треугольнике АВС угол С равен 900 , угол А равен 300 ,
АВ = 3. Найдите АС.
2 Найдите площадь прямоугольника АВСД. Размер каждой клетки 1см∙1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. А
В
С
Д
Рис. 1 3 Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат:
А(-2; 0), В(0; -2),
С(-3; -5),
Д(-5; -3).
4 Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами, равными 6 и 8 см. 5 Найдите площадь параллелограмма АВСД, если АВ = 13, АД = 8, ВД = 9.
6 Найдите отношение площади правильного шести угольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту же окружность. Задание №7
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Геометрические фигуры на плоскости (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, заполните таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение Ответ
1 В треугольнике АВС угол С равен 900 , АВ =5, АС = 4. Найдите sin А.
2 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см∙1см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. С
А
В Рис. 2 3 Найдите площадь квадрата, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат:
А(-3; 0), В(-6; 3),
С(-3; 6),
Д(0; 3). 4 Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4 см. 5 Найдите площадь ромба с диагоналями, равными 10 и 16.
6 Найдите отношение площади правильного четырехугольника, описанного около окружности, к площади правильного четырехугольника, вписанного в эту же окружность. Задание №7
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Геометрические фигуры на плоскости (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, заполните таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение Ответ
1 В треугольнике АВС угол С равен 900 , АВ =18, cos A = 0,5. Найдите АС.
2 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см∙1см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. А
С
В

Рис. 3 3 Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат: А(0; -2), В(1; 0),
С(7; -3), Д(6; -5). 4 Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами, равными 24 и 10 см.
5 Найдите площадь треугольника АВС, если
АС = 7, ВС = 8,
<ДСВ = 600.
А
В
С
Д

Рис. 4 6 Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, равна 4П. Найдите площадь правильного шестиугольника. Задание №7
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Геометрические фигуры на плоскости (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, заполните таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение Ответ
1 В треугольнике АВС АС = ВС =4, sin В=1910. Найдите АВ.
2 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см∙1см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. А
В
С
Д
Рис.5 3 Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат: А(0; -3), В(1; 0),
С(7; -2), Д(6; -5). 4 Найдите площадь круга, вписанного в квадрат с диагональю 102. 5 Найдите площадь треугольника NAM, если NA = 42, AM = 4,
<NAB = 300.
A
B
N
M

Рис. 6 6 Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, равна 4П. Найдите площадь правильного шестиугольника.
Задание №7
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Геометрические фигуры на плоскости (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, заполните таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение Ответ
1 В треугольнике АВС угол С равен 900 , угол А равен 60 0 , ВС = 3.
Найдите АС.
2 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см∙1см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. А
В
С
Рис. 7 3 Найдите площадь квадрата, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат:
А(0; 4), В(4; 7), С(7; 3), Д(3; 0). 4 Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9. 5 Найдите площадь треугольника NAM, если NA = 42, AM = 4, <NAB = 600.
A
B
N
M


Рис. 8 6 Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, равна 36П. Найдите площадь правильного шестиугольника. Задание №8
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Параллельность в пространстве. (2 час)
Вид работы Составление таблицы
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Заполните таблицу
Определения и аксиомы Определение, рисунок и краткая запись Определение, рисунок и краткая запись Определение, рисунок и краткая запись
Способы задания плоскости
Расположение двух плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости
Задание №9
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Параллельность в пространстве. (2 час)
Вид работы Составление таблицы (2 час)
Организация учебного занятия Групповая (по 2 чел)
Фамилия, имя
обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу, сопоставляя теоретические знания по данной теме с практическими действиями строителя
№ Практические действия Теоретические знания
1 Установка теодолита или нивелира Способ задания плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой
2 Установка столика в купе поезда
3 Расположение пола и потолка
4 Расположение пола и стены
5 Расположение линий пересечения стеновой панели с полом и потолком 6 Облицовка стены кафельной плиткой 7 Угол между стеновой панелью и потолком 8 Ступеньки лестничного марша
9 Расстояние между вершиной колонны и ее основанием Задание №10
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Прямые и плоскости в пространстве (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи. Решения занесите в таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение
1 Назовите плоскости, проходящие через:
а)прямую АС;
б)прямую ВС;
в)прямую АD A
B
D
K
С



Рис. 9 2 Прямая а пересекается с АВ в точке М, а с АС - в точке К. Докажите, что прямая а принадлежит плоскости АВС. А АС
К
М
B
а





Рис. 10 3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1 со стороной, равной 4 см. Найдите длину ломаной АВВ1D1D. 4 Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках А1, В1 и Р1. Найдите длину отрезка РР1, если АА1=9,4см, ВВ1=3, 2см. 5 Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β - в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2=1:3, В1В2=15см 6 В плоскости α лежат В и С, точка А лежит вне плоскости α. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если АВ=5см, АС=7см, ВС=6см. 7 Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6м, ВD=7м, СD=6м. Задание №10
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Прямые и плоскости в пространстве (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи. Решения занесите в таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение
1 Назовите плоскости, проходящие через:
а) прямую DK;
б) прямую ВС;
в) прямую BD A
C
B
D
K



Рис. 11 2 Прямая а пересекается с ВC в точке М, а с АС в точке К. Докажите, что прямая а принадлежит плоскости АВС. К
М
а
А АС
B





Рис. 12 3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1 со стороной, равной 4 см. Найдите длину ломаной АА1С1СD1. 4 Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость β точках А1, В1 и Р1. Найдите длину отрезка РР1, если АА1=5,8см, ВВ1=2, 6см. 5 Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β - в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2=1:3, В1В2=18см 6 Точки С и К лежат в плоскости β, а точка D вне плоскости β. Найдите расстояние от точки D до отрезка СК, если CD=CK=10см, а DK=45см. 7 Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=3м, ВD=4м, СD=12м. Задание №10
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Прямые и плоскости в пространстве. (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи. Решения занесите в таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение
1 Назовите плоскости, проходящие через:
а)прямую QF;
б)прямую PN;
в)прямую MQ M
N
G
F
P




Рис.13 2 Прямая а пересекается с АВ в точке М, а с BС - в точке К. Докажите, что прямая а принадлежит плоскости АВС. А АС
B
M
K
a




Рис.14 3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1 со стороной, равной 6 см. Найдите длину ломаной АВВ1D1D.
4 Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках А1, В1 и Р1. Найдите длину отрезка РР1, если АА1=5,7см, ВВ1=4, 5см. 5 Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β - в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2=2:3, В1В2=15см 6 В плоскости α лежат точки В и С, точка А лежит вне плоскости α. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если АВ=10см, АС=14см, ВС=12см. 7 Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=4м, ВC=7м, СD=1м. Задание №10
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Прямые и плоскости в пространстве. (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи. Решения занесите в таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение
1 Назовите плоскости, проходящие через:
а)прямую PF;
б)прямую KF;
в)прямую MP M
F
P
LF
K




Рис. 15 2 Прямая а пересекается с MQ в точке A, а с PQ - в точке B. Докажите, что прямая а принадлежит плоскости MPQ. M А
P
Q
A
B
a




Рис. 16
3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1 со стороной, равной 6 см. Найдите длину ломаной АCC1A1D1.
4 Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках А1, В1 и Р1. Найдите длину отрезка РР1, если АА1=11,7см, ВВ1=3, 5см.
5 Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β - в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2=2:3, В1В2=20см.
6 Точки К и С лежат в плоскости β, а точка А вне плоскости β. Найдите расстояние от точки D до отрезка СК, если CD=CK=9см, а DK=12см.
7 Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=12м, ВD=14м, СD=12м.
Задание №10
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 3 Прямые и плоскости в пространстве (24 час)
Тема учебного занятия Прямые и плоскости в пространстве. (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи. Решения занесите в таблицу
№ Условие задачи Чертеж Решение
1 Назовите плоскости, проходящие через:
а)прямую PF;
б)прямую KF;
в)прямую PL M
K
F
P
L




Рис. 17
2 Прямая а пересекается с MQ в точке A, а с PQ - в точке B. Докажите, что прямая а принадлежит плоскости MPQ. M А
P
Q
A
B
a




Рис. 18 3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1 со стороной, равной 5 см. Найдите длину ломаной АCBDD1C1.
4 Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках А1, В1 и Р1. Найдите длину отрезка РР1, если АА1=10,5см, ВВ1=7, 3см. 5 Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β - в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2=1:3,
В1В2=21см.
6 Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых равна 17см, а другая - 10см. Проекция большей наклонной равна 15см. Найдите проекцию меньшей наклонной.
7 Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если AD=BC=5м, CD=1м.
Задание №11
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 4 Элементы комбинаторики (12 час)
Тема учебного занятия Элементы комбинаторики (6 час)
Вид самостоятельной работы Составление компьютерной презентации на тему «Элементы комбинаторики» (6 час)
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя обучающегося1.___________________ 2._____________________
3.___________________ 4._____________________
Дата выполнения работы Заполните таблицу и оформите
полученные данные в виде компьютерной презентации
Комбинаторные конструкции Формула Картинка Историческая справка Примеры комбинаторных задач
Размещения
Перестановки
Сочетания
Формула бинома Ньютона Задание №12
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Декартовы координаты (6 час)
Вид работы Метод мини-проектов. Составление компьютерной презентации на тему «Декартовы координаты на плоскости и в пространстве»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя
обучающегося 1.___________________ 2._____________________
3.___________________ 4._____________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию по теме
«Декартовы координаты на плоскости и в пространстве»
№
слайда Заголовок слайда Картинка
слайда Определение, формула Историческая справка Пример
1 Декартова система координат на плоскости 2 Векторы на плоскости 3 Правило параллелограмма 4 Уравнение прямой, уравнение окружности 5 Декартова система координат в пространстве 6 Векторы в пространстве 7 Правило параллелепипеда
8 Уравнение плоскости, уравнение сферы 9 Связь между координатами и векторами Технологическая карта мини-проекта
Этап проектной деятельности Вид деятельности преподавателя Вид деятельности учащихся
1 .Поисково-исследовательский.
Тема проекта «Декартовы координаты на плоскости и в пространстве» Постановка задачи:
составить компьютерную презентацию, включающую в себя слайды:
- историческая справка о происхождении терминов и обозначений;
- примеры заданий по теме Выполнение задачи:
подобрать в библиотеке литературу по истории математики;
подобрать в кабинете математики задачники;
продумать дизайн слайдов
Технологический.
Накопление материала
Постановка задачи:
найти в книгах или в Интернете исторические сведения по данной теме;
подобрать рисунки и задачи по теме Выполнение задачи.
Подобрать материал:
1) декартова система координат на плоскости (рисунок, определение, историческая справка);
2)векторы на плоскости;
3)правило параллелограмма;
4)уравнение прямой, уравнение окружности;
5)декартова система координат в пространстве (рисунок, определение, историческая справка);
6)векторы в пространстве;
7)правило параллелепипеда;
8)связь между координатами и векторами;
9)уравнение плоскости, уравнение сферы
Практический.
Работа с учебной литературой, Интернетом, составление проекта слайдов для каждого термина.
Дизайн слайдов Постановка задачи:
разобраться с литературным содержанием слайдов;
разработать картинку слайда для каждого термина;
выполнить дизайн слайдов Выполнение задачи:
редактирование текста слайдов;
разработка картинки слайда для каждого вида чисел;
работа над дизайном слайдов
Заключительный.
Сравнение полученного продукта с запланированным.
Анализ всех этапов работы над презентацией.
Внесение необходимых изменений (по возможности) Постановка задачи:
просмотреть презентацию и сравнить полученный продукт с запланированным;
проанализировать все этапы работы над презентацией;
внести необходимые изменения, доработки Выполнение задачи:
просмотр презентации, анализ проделанной работы, сравнение получившегося продукта с запланированным;
анализ всех этапов работы над презентацией;
внесение изменений, доработка продукта
Итоговый.
Представление работы.
Самоанализ и взаимоанализ представленного проекта. Оценка выполненной работы Постановка задачи:
представить полученный продукт во время учебного занятия;
сравнить презентации всех групп;
провести самоанализ и взаимоанализ презентации Выполнение задачи:
представление презентации;
сравнение получившегося продукта с другими работами;
оценка работы каждой группы
Задание №13
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Координаты и векторы (4 час)
Вид работы Заполнение таблицы
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегосяДата выполнения работы Заполните таблицу на компьютере и распечатайте ее
№ Вопрос Ответ
1 Какие правила изображения векторов на плоскости вам известны? 2 В чем состоит правило параллелограмма? 3 В чем состоит правило многоугольника? 4 Как вычисляются координаты вектора? 5 Какова связь между координатами точек и векторами? 6 Как записывается уравнение прямой? 7 Как записывается уравнение окружности? 8 Определите координаты середины отрезка, если известны координаты концов? 9 В чем состоит правило параллелепипеда? 10 Какие векторы называются коллинеарными? 11 Какие векторы называются компланарными? 12 Как вычисляются координаты вектора в пространстве? 13 Как определяется скалярное произведение векторов? 14 Как вычисляется скалярное произведение в координатах? 15 Каковы основные свойства скалярного произведения? 16 Как вычисляется расстояние между двумя точками в пространстве с помощью координат? 17 Запишите уравнение плоскости. 18 Запишите уравнение сферы.
Задание №14
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Координаты и векторы (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, решение запишите в таблицу
№ Условие задачи Решение
1 Точка А имеет координаты (3; -2; -4). Найдите расстояния от точки А до оси Оу и от точки А до плоскости xOz. 2 CDEF – параллелограмм:
C(-4; 1; 5), D(-5; 4; 2), E(3; -2; -1), F(x; y; z). Найдите координаты точки F.
3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1. Найдите вектор, равный
АА1 + В1С – С1D1.
4 Даны координаты точек
А(-3; 2; -1), В(2; -1; -3),
С(1; -4; 3), D(-1; 2; -2).
Найдите 2АВ+3CD5 Даны координаты точек
С(3; -2; 1), D(-1; 2; 1),
M(2; -3; 3), N(-1; 1; -2).
Найдите косинус угла между векторами
CD и MN.
Задание №14
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Координаты и векторы (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, решение запишите в таблицу
№ Условие задачи Решение
1 Точка В имеет координаты
(-7; 4; -3). Найдите расстояния от точки В до оси Ох и от точки В до плоскости уOz.
2 АВCD – параллелограмм:
А(4; -1; 3), В(-2; 4; -5),
С(1; 0; -4), D(x; y; z). Найдите координаты точки D.
3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1. Найдите вектор, равный
АA1 + BС - D1С1.
4 Даны координаты точек
C(-4; -3; -1), D(-1; -2; 3)
M(2; -1; -2), N(0; 1; -3).

Найдите 3CD-2MN5 Даны координаты точек
A(1; -1; -4), B(-3; -1;0),
C(-1; 2; 5), D(2; -3; 1).
Найдите косинус угла между векторами
CD и AB.
Задание №14
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Координаты и векторы (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, решение запишите в таблицу
№ Условие задачи Решение
1 Известны координаты вершин треугольника АВС: А(2; -1; -3), В(-3; 5; -2), С(-2; 3; -5). ВМ – медиана треугольника АВС.
Найдите длину ВМ.
2 Координаты точек:
А(4; -3; 2), В(-1; -5; 4).
Найдите сумму координат точки С, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек
А и В. 3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1. Найдите вектор, равный
ВВ1 + А1D1 – СС1.
4 Даны координаты точек:
А(-3; 2; -1), В(2; -1; -3),
С(1; -4; 3), D(-1; 2; -2). Найдите
3АВ+2CD. 5 Даны координаты:
A(3; -2; 1), B(-1; 2; 1), M(2; -3; 3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами
AB и MN. Задание №14
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Координаты и векторы (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, решение запишите в таблицу
№ Условие задачи Решение
1 Известны координаты вершин треугольника СDE: C(-3; 4; 2), D(1; -2; 5), E(-1; -6; 4). DK – медиана треугольника CDE.
Найдите длину DK.
2 Координаты точек:
P(4; -5; 2), C(-1; 3; 1).
Найдите сумму координат точки K, лежащей на оси
Оz и равноудаленной от точек P и C.
3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1. Найдите вектор, равный
А D + ВВ1 – AВ.
4 Даны координаты точек:
M(-3; 2; -1), N(2; -1; -3), P(1; -4; 3), K(-1; 2; -2). Найдите
2MN+2PK5 Даны координаты:
A(2; -3; 1), B(-1; 2; 1), M(3; -2; 3), N(-1; 2; -3). Найдите косинус угла между векторами
AB и MN.
Задание №14
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 5 Координаты и векторы (25 час)
Тема учебного занятия Координаты и векторы (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Решите задачи, решение запишите в таблицу
№ Условие задачи Решение
1 Известны координаты вершин треугольника СDE: C(-5; 3; 2), D(2; -2; 4),
E(-1; -5; 4). DK – медиана треугольника CDE.
Найдите длину DK.
2 Координаты точек:
P(5; -4; 2), C(-2; 2; 1).
Найдите сумму координат точки K, лежащей на оси Оz и равноудаленной от точек P и C.
3 Дан куб ABCDAA1B1C1D1. Найдите вектор, равный
ВВ1 + А1D1 – С1D1.
4 Даны координаты точек:
M(-4;3; -1), N(2; -1; -2),
P(2; -3; 3), K(-1; 2; -2). Найдите 2MN+2PK5 Даны координаты:
A(2; -3; 3), B(-2; 2; 3),
M(2; -1; 3), N(-1; 2; -3). Найдите косинус угла между векторами
AB и MN.
Задание №15
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Выразите в радианной мере величины углов 10 =
600 =
1500 =
3300 =
2 Выразите в градусной мере величины углов π12 =
101π12 =
3 π =
3 Найдите числовое значение выражения cosπ2 + tg 2 π4 +sin 0 =
2 sin π3 -3 cos 0 + tg 2 π4=4 tg π4 – sin2 π6 + cos2 π2 =
4 Пусть
f(x) = cos 2x + sinx.
Найдите: f(0) =
f(π4) =
f(π6) =
5 Найдите значения трех других тригонометрических функций,
если cos ∝ = 45,
0< ∝ < π2Задание №15
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Выразите в радианной мере величины углов 150 =
450 =
1500 =
2400 =
2 Выразите в градусной мере величины углов 1. 3π =
2.- 31π6 =
1,5 π =
3 Найдите числовое значение выражения 1. cosπ2 + sin 2 π4 - sin 0 =
sin π3 -2 cos π + tg 2 π3=3 tg π4 – sin2 π + cos 0 =
4 Пусть
f(x) = 2cos 2x - 3 sinx. Найдите: f(0) =
f(π4) =
f(π6) =
5 Найдите значения трех других тригонометрических функций,
если cos ∝ =- 15,
π < ∝ < 3π2Задание №15
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Выразите в радианной мере величины углов 300 =
1350 =
2160 =
3300 =
2 Выразите в градусной мере величины углов 11π6 =
π8 =
3 π =
3 Найдите числовое значение выражения 2cosπ3 - tg 2 π6 +cos 0 =
2 sin π3 -3 cos 0 + tg 2 π4=3 tg π4 – 2sin2 π6 + cos π2 =
4 Пусть
f(x) = cos 2x - 3 sinx.
Найдите: f(0) =
f(π2) =
f(π6) =
5 Найдите значения трех других тригонометрических функций,
если sin ∝ = -0,6,
π < ∝ < 3π2. Задание №15
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Выразите в радианной мере величины углов 10 =
450 =
1200 =
2250 =
2 Выразите в градусной мере величины углов 1. π15 =
2. 2π3 =
3. 0,25 π =
3 Найдите числовое значение выражения 1. 3 cosπ6+ tg 2 π6 -2sin π =
2. 4sin π3 -2 sin 0 + tg 2 π4=3.3 tg π4 + sin2 π6 – cos π6 =
4 Пусть
f(x) = sin 2x + cos x.
Найдите: f(0) =
f(π4) =
f(π6) =
5 Найдите значения трех других тригонометрических функций,
если cos ∝ = - 513,
π2 < ∝ < πЗадание №15
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Выразите в радианной мере величины углов 100 =
600 =
1350 =
2400 =
2 Выразите в градусной мере величины углов π12 =
2. 11π12 =
3. 2,5 π =
3 Найдите числовое значение выражения 1. 2cos π4 + tg π4 +sin 0 =
2 sin π3 -3 cos 0 + tg 2 π4=4 tg π4 – sin2 π3 + cos2 π2 =
4 Пусть
f(x) = cos 2x - 3 sinx.
Найдите: f(0) =
f(π4) =
f(π6) =
5 Найдите значения трех других тригонометрических функций,
если sin ∝ =- 35,
0 < ∝ < π. Задание №16
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач (формулы приведения, сложения, удвоения, половинного угла). Вариант 1
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс 1200 sin 1200 =
cos 1200 =
tg 1200 =
сtg 1200 =
2 Упростите выражение sin (π2 – a) =
cos (π-a) =
3 Найдите значение выражения sin 150 cos 300+ cos 150 sin 300=
cos 1050 cos 150 + sin 1050 sin 150=
4 Упростите выражение sin 5a cos a – cos 5a sin a =
tg 5a-tga1+ tg 5a tg a =
5 Упростите выражение: sin1240sin620
sin1240sin620
cos 560 + sin2 280 =
6 Вычислите cos 150 =
sin 150 =
Задание №16
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач (формулы приведения, сложения, удвоения, половинного угла). Вариант 2
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс 1500 sin 1500 =
cos 1500 =
tg 1500 =
сtg 1500 =
2 Упростите выражение cos (π2 – a) =
cos (2π-a) =
3 Найдите значение выражения sin 750 cos 150- cos 750 sin 150=
cos 1650 cos 150 + sin 1650 sin 150=
4 Упростите выражение sin 7a sin a – cos 7a cos a =
tg 5a+tga1- tg 5a tg a =
5 Упростите выражение sin1280sin640 =
tg 1000 (1-tg2 500) =
6 Вычислите cos 220 30’ =
sin 220 30’=
Задание №16
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач (формулы приведения, сложения, удвоения, половинного угла). Вариант 3
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс 2250 sin 2250 =
cos 2250 =
tg 2250 =
сtg 2250 =
2 Упростите выражение sin (π2 – a) =
cos (2π+a) =
3 Найдите значение выражения sin 550 cos 350- cos 550 sin 350=
cos 1650 cos 150 + sin 1650 sin 150=
4 Упростите выражение sin 3a sin a – cos 3a cos a =
tg 5a+tga1- tg 5a tg a =
5 Упростите выражение sin1240sin620
cos 560 + sin2 280 =
6 Вычислите 2sin 150 cos 150 =
cos 2 π8 – sin2π 8 =
Задание №16
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач (формулы приведения, сложения, удвоения, половинного угла). Вариант 4
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс 2100 sin 2100 =
cos 2100 =
tg 2100 =
сtg 2100 =
2 Упростите выражение tg (3π2 – a) =
cos (2π+a) =
3 Найдите значение выражения sin 550 cos 350- cos 550 sin 350=
cos 1650 cos 150 + sin 1650 sin 150=
4 Упростите выражение sin 3a sin a – cos 3a cos a =
tg 5a+tga1- tg 5a tg a =
5 Упростите выражение sin1240sin620 =
cos 560 + sin2 280 =
6 Вычислите 2sin π8 cos π8 =
cos 2 π8 – sin2π8 =
Задание №16
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач (4 час)
Вид работы Решение задач (формулы приведения, сложения, удвоения, половинного угла). Вариант 5
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегося
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс 3150 sin 3150 =
cos 3150 =
tg 3150 =
сtg 3150 =
2 Упростите выражение ctg (3π2 – a) =
sin (2π+a) =
3 Найдите значение выражения sin 150 cos 300+ cos 150 sin 300=
cos 1050 cos 150 + sin 1050 sin 150=
4 Упростите выражение sin 3a sin a – cos 3a cos a =
tg 5a+tga1- tg 5a tg a =
5 Упростите выражение sinπ5cosπ5 =
cos 560 + sin2 280 =
6 Вычислите 2sin π8 cos π8 =
cos 2 π8 – sin2π8=
Задание №17
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 6 Основы тригонометрии (40 час)
Тема учебного занятия Тригонометрические функции (6 час)
Вид работы Метод мини-проектов. Составление компьютерной презентации на тему «Определение расстояния до недоступной точки. Определение высоты недоступного предмета».
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя
обучающегося 1.___________________ 2._____________________
3.___________________ 4._____________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию по теме
«Определение расстояния до недоступной точки.
Определение высоты недоступного предмета»
№
слайда Заголовок слайда Картинка
слайда Определение, формула Пример применения в строительстве Пример применения в жизненных обстоятельствах
1 Определение расстояния до недоступной точки. 2 Определение высоты недоступного предмета. Технологическая карта мини-проекта
Этап проектной деятельности Вид деятельности преподавателя Вид деятельности обучающихся
1 .Поисково-исследовательский.
Тема проекта «Определение расстояния до недоступной точки. Определение высоты недоступного предмета» Постановка задачи:
составить компьютерную презентацию, включающую в себя слайды:
- определение расстояния до недоступной точки ;- определение высоты недоступного предмета;
- примеры в строительстве по теме Выполнение задачи:
подобрать в учебниках литературу по данной теме;
подобрать в кабинете математики задачники;
подумать дизайн слайдов
Технологический.
Накопление материала
Постановка задачи:
найти в книгах или в интернете сведения по данной теме;
подобрать рисунки и примеры по теме Выполнение задачи:
подобрать материал:
1) «Определение расстояния до недоступной точки (рисунок, формула, расчет, пример в строительстве);
2)«Определение высоты недоступного предмета» (рисунок, формула, расчет, пример в строительстве)
Практический.
Работа с учебной литературой, Интернетом составление проекта слайдов для каждого термина.
Дизайн слайдов Постановка задачи:
разобраться с литературным содержанием слайдов;
разработать картинку слайда для каждого случая;
выполнить дизайн слайдов Выполнение задачи:
редактирование текста слайдов;
разработка картинки слайда;
работа над дизайном слайдов
Заключительный.
Сравнение полученного продукта с запланированным.
Анализ всех этапов работы над презентацией.
Внесение необходимых изменений (по возможности) Постановка задачи:
просмотреть презентацию и сравнить полученный продукт с запланированным;
проанализировать все этапы работы над презентацией;
внести необходимые изменения, доработки Выполнение задачи:
просмотр презентации, анализ проделанной работы, сравнение получившегося продукта с запланированным;
анализ всех этапов работы над презентацией;
внесение изменений, доработка продукта
Итоговый.
Представление работы.
Самоанализ и взаимоанализ представленного проекта. Оценка выполненной работы Постановка задачи:
представить полученный продукт во время учебного занятия;
сравнить презентации всех групп;
провести самоанализ и взаимоанализ презентации Выполнение задачи:
представление презентации;
сравнение получившегося продукта с другими работами;
оценка работы каждой группы
Задание №18
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 час)
Тема учебного занятия Задачи на нахождение области определения и множества значений функции (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 1
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, и мя
обучающегося Дата выполнения работы Заполните таблицу, выполнив действия
№ Вид функции Условие нахождения области определения функции Выполните задание
1 Линейные
функции
у = kx +b, k≠0 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 2x-3
у
х
Постройте график функции
При х=0 , у= ______
При у =0, х= ______
Найдите:
D = _____________
Е = _____________
2 Многочленные функции
(квадратичная или кубическая) D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 5x2 - 7x + 2
Графиком функции является _________________
Ветви направлены _____________________
Точки пересечения с осью Х ___________________
Координаты точки экстремума_________________
Область определения
D = _____________
Множество значений
Е = _____________
3 Рациональные функции
у = P(x)Q(x) где P(x), Q(x) - многочлены Q(x) ≠0, т.е. знаменатель дроби не равен нулю, т.к. на ноль делить нельзя Найдите область определения каждой из функций:
Y= 2-x3x+5 , x
D = ____________
Y= 2x3x2-12x , x D = ___________
Y= x2x2-8 , x D = ___________
Y= 6+x3x2+7x-6, x D=____________
4 Иррациональные функции
Y = xn-a,
Y = a-xn,
Y = 3xВыражение, стоящее под знаком корня, может быть
≥ 0 Найдите область определения каждой из функций:
Y = x+2 , x D = __________
Y = 3-x , x D = __________
Y = x2-16 , x D = __________
Y = 25-x2 , x D = __________
5 Тригонометрические функции
y=sinх,
y=cosxD = R или
D = (-∞; +∞)
Найдите область определения и область значений каждой из функций
y = 3cos(x-π 3)
D = ________
E = __________
y = 1 + 2sin(x+ π4)
D = ________
E = __________
6 Показательные функции y = a x
a>0, a≠1 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) Постройте график и найдите область определения каждой из функций
х
у
у = 2х

D = ________________ х
у
2. y = 0,4x

D = _______________
7 Логарифмические функции
y=logax, a>0, a≠1D = (0; +∞)
x – может принимать только положительные значения Найдите область определения каждой из функций
logπ(12-3x), x D = _________
log3(4-x2), x D = _________
log43x-6x-2, x D = _________
log0,9(-x2 +2x +8 ),
х D = _____________________
Задание №18
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 час)
Тема учебного занятия Задачи на нахождение области определения и множества значений функции (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 2
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя
обучающегося Дата выполнения работы Заполните таблицу, выполнив действия
№ Вид функции Условие нахождения области определения функции Выполните задание
1 Линейные
функции
у = kx +b, k≠0 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = - 2x + 5
у
х
Постройте график функции
При х=0 , у= ______
При у =0, х= ______
Найдите:
D = _____________
Е = _____________
2 Многочленные функции
(квадратичная или кубическая) D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 5x2 - 3x - 2
Графиком функции является _________________
Ветви направлены _____________________
Точки пересечения с осью Х ___________________
Координаты точки экстремума _________________
Область определения
D = _____________
Множество значений
Е = _____________
3 Рациональные функции
у = P(x)Q(x) где P(x), Q(x) - многочлены Q(x) ≠0, т.е. знаменатель дроби не равен нулю, т.к. на ноль делить нельзя Найдите область определения каждой из функций:
Y= 4-2x3x-6 , x D = ____________
Y= 2x4x2-12x, x D = ___________
Y= x3x2-27 , x D = ___________
Y= -2+x3x2+8x-3 , x D=____________
4 Иррациональные функции
Y = xn-a,
Y = a-xn,
Y = 3xВыражение, стоящее под знаком корня, может быть
≥ 0 Найдите область определения каждой из функций:
Y = x-3 , x D = ___________
Y = 5-x , x D = ___________
Y = 2x2-32, x D = __________
Y = 16-x2 , x D = __________
5 Тригонометрические функции
y=sinх,
y=cosxD = R или
D = (-∞; +∞)
Найдите область определения и область значений каждой из функций
y = 2cos(x-π 3),
D = _______
E = __________
y = 1 + 3sin(x+ π4),
D =_________
E = __________
6 Показательные функции y = a x
a>0, a≠1 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) Постройте график и найдите область определения каждой из функций
х
у
у = 0,7х

D = ________________ х
у
2. y = 3,2x

D = _______________
7 Логарифмические функции
y=logax, a>0, a≠1D = (0; +∞)
x – может принимать только положительные значения Найдите область определения каждой из функций
1. logπ(15-5x), x D = _________
2. log3(4-2x2), x D = __________
log42x-63x-12 , x D = _________
log0,9(-x2 +7x -10)
х
D = _____________________
Задание №18
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 час)
Тема учебного занятия Задачи на нахождение области определения и множества значений функции (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 3
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегосяДата выполнения работы Заполните таблицу, выполнив действия
№ Вид функции Условие нахождения области определения функции Выполните задание
1 Линейные
функции:
у = kx +b, k≠0 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = - x + 5
у
х
Постройте график функции
При х=0 , у= ______
При у =0, х= ______
Найдите:
D = _____________
Е = _____________
2 Многочленные функции
(квадратичная или кубическая) D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 6x2 + x - 1
Графиком функции является _________________
Ветви направлены _____________________
Точки пересечения с осью Х ___________________
Координаты точки экстремума _________________
Область определения
D = _____________
Множество значений
Е = _____________
3 Рациональные функции:
у = P(x)Q(x) где P(x), Q(x) - многочлены Q(x) ≠0, т.е. знаменатель дроби не равен нулю, т.к. на ноль делить нельзя Найдите область определения каждой из функций:
Y= 1-2x7x-14 , x
D = ____________
Y= 3x2x2+2x , x D = ___________
Y= 5x2x2-32, x
D = ___________
Y= -2-xx2+3x+1 , x D=____________
4 Иррациональные функции:
Y = xn-a,
Y = a-xn,
Y = 3xВыражение, стоящее под знаком корня, может быть ≥ 0 Найдите область определения каждой из функций:
Y = 2x-3 , x D = ________
Y = 4-4x , x D = ________
Y = 2x2-8, x D = _________
Y = 4-36x2 , x D = _________
5 Тригонометрические функции:
y=sinх,
y=cosxD = R или
D = (-∞; +∞)
Найдите область определения и область значений каждой из функций:
y = 1- 2cos(x-π 6),
D = _________
E = __________
y = 3sin(x+ π3),
D = __________
E = __________
6 Показательные функции: y = a x
a>0, a≠1 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) Постройте график и найдите область определения каждой из функций:
у = 0,5хх
у
х
у


D = ____________ 2. y = πx


D = ______________
7 Логарифмические функции:
y=logax, a>0, a≠1D = (0; +∞)
x – может принимать только положительные значения Найдите область определения каждой из функций:
1. log6(1-5x), x
D = _________
log3(4x-2x2), x D = ________
log45x-12x-7 , x D = _________
log0,9(x2 +3x +1) ,
х
D = _________________
Задание №18
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 час)
Тема учебного занятия Задачи на нахождение области определения и множества значений функции (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 4
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегосяДата выполнения работы Заполните таблицу, выполнив действия
№ Вид функции Условие нахождения области определения функции Выполните задание
1 Линейные
функции:
у = kx +b, k≠0 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 4x - 5
Постройте график функции:

При х=0 , у= ______
х
у
При у =0, х= ______
Найдите:
D = _________
Е = __________
2 Многочленные функции
(квадратичная или кубическая) D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 2x2 - 9x + 4
Графиком функции является _________________
Ветви направлены _____________________
Точки пересечения с осью Х ___________________
Координаты точки экстремума _________________
Область определения
D = _____________
Множество значений
Е = _____________
3 Рациональные функции:
у = P(x)Q(x) ,где P(x), Q(x) - многочлены Q(x) ≠0, т.е. знаменатель дроби не равен нулю, т.к. на ноль делить нельзя Найдите область определения каждой из функций:
Y= 5-8xx-7 , x D = ____________
Y= 3x3x2-15x, x D = ___________
Y= -x3x2-75 , x D = ___________
Y= 2+3x5x2-8x-4 , x D=____________
4 Иррациональные функции:
Y = xn-a,
Y = a-xn,
Y = 3xВыражение, стоящее под знаком корня, может быть ≥ 0 Найдите область определения каждой из функций:
Y = 3x-6 , x ,
D = ___________
Y = 3-2x , x D = ___________
Y = 2x2-50 , x D = ___________
Y = 36-x2 , x D = __________
5 Тригонометрические функции:
y=sinх,
y=cosxD = R или
D = (-∞; +∞)
Найдите область определения и область значений каждой из функций:
y = 1- 2cos(x-π 3),
D = __________
E = __________
y = 2 - sin(x+ π4) ,
D = __________
E = _________
6 Показательные функции y = a x
a>0, a≠1 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) Постройте график и найдите область определения каждой из функций:
х
у
у = 0,5х

D = ____________ 2. y = 3,4xх
у


D = ____________
7 Логарифмические функции:
y=logax, a>0, a≠1D = (0; +∞)
x – может принимать только положительные значения Найдите область определения каждой из функций:
1. log2(21-7x), x
D = _________
log0,5(2x2-2), x D = ________
log42x-65x-20 , x D = _________
log7(5x2 -8x +3)
х
D = _____________________
Задание №18
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 час)
Тема учебного занятия Задачи на нахождение области определения и множества значений функции (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 5
Организация учебного занятия Индивидуальная
Фамилия, имя обучающегосяДата выполнения работы Заполните таблицу, выполнив действия
№ Вид функции Условие нахождения области определения функции Выполните задание
1 Линейные
функции:
у = kx +b, k≠0 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 4x - 3
Постройте график функции
при х=0 , у= ______,
при у =0, х= ______
х
у

Найдите:
D = _____________
Е = _____________
2 Многочленные функции
(квадратичная или кубическая) D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) y = 2x2 + 3x - 2
Графиком функции является _________________
Ветви направлены _____________________
Точки пересечения с осью Х ___________________
Координаты точки экстремума ______________
Область определения
D = _____________
Множество значений
Е = _____________
3 Рациональные функции:
у = P(x)Q(x) где P(x), Q(x) - многочлены Q(x) ≠0, т.е. знаменатель дроби не равен нулю, т.к. на ноль делить нельзя Найдите область определения каждой из функций:
Y= 9-2x4x-6 , x D = ____________
Y= 2,74x2+20x , x D = ___________
Y= x3x2-15, x D = ___________
Y= 5-2x6x2+x-1 , x D=____________
4 Иррациональные функции:
Y = xn-a,
Y = a-xn,
Y = 3xВыражение, стоящее под знаком корня, может быть ≥ 0 Найдите область определения каждой из функций:
Y = 3x-1 , x D = _________
Y = 4-2x, x D = _________
Y = 4-36x2, x D = _________
Y = 3x+12x2 , x D = _______
5 Тригонометрические функции:
y=sinх,
y=cosxD = R или
D = (-∞; +∞)
Найдите область определения и область значений каждой из функций:
y = 1,5cos(x+π 6),
D = __________
E = __________
y = 1 -2sin(x- π3),
D = __________
E = __________
6 хуПоказательные функции y = a x
хуa>0, a≠1 D = R или
D = (-∞; +∞)
(x может принимать любые значения) Постройте график и найдите область определения каждой из функций:
у =1,2хх
у


D = ____________ 2. y = 0,6xу
х


D = _______________
7 Логарифмические функции:
y=logax, a>0, a≠1D = (0; +∞)
x – может принимать только положительные значения Найдите область определения каждой из функций:
1. logπ12-4x, x D = _________
log3(8-2x2), x D = __________
log42x-66x-18 , x D = _________
log0,5(2x2 -5x + 3),
х
D = _____________________
Задание №19
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики(30ч)
Тема учебного занятия Исследование функции (6 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Проведите по схеме исследование каждой из функций, результаты
занесите в таблицу
№ Схема исследования f(x) =
=4x - 3 f(x) =
= 2x2 +3x -2 f(x) = x3 - 1 f(x) = 1x-3f(x)= x-21 Область определения функции D 2 Нули функции
f(x) =0 3 Промежутки постоянства знака
f(x) >0,
f(x) <0 4 Промежутки монотонности
f(x) ↑, f(x) ↓5 Точки экстремума
X max
X min 6 Наибольшее и наименьшее значение функции
У наиб. ,
У наим. 7 Область значений
Е 8 График функции Задание №19
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Исследование функции (6 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Проведите по схеме исследование каждой из функций, результаты занесите в таблицу
№ Схема исследования f(x) =
3x - 4 f(x) =
2x2 +3x -5 f(x) = x3 - 2 f(x) = 1x+1f(x)= x+21 Область определения функции D 2 Нули функции
f(x) =0 3 Промежутки постоянства знака
f(x) >0, f(x) <0 4 Промежутки монотонности f(x) ↑, f(x) ↓5 Точки экстремума
X max,X min 6 Наибольшее и наименьшее значение функции
У наиб. , У наим. 7 Область значений
Е 8 График функции
Задание №19
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 час)
Тема учебного занятия Исследование функции (6 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Проведите по схеме исследование каждой из функций, результаты занесите в таблицу
№ Схема исследования f(x) =
3 – 4x f(x) =
2x2 -5x +3 f(x) = x3 + 1 f(x) = 1x-3 f(x) = x-41 Область определения функции D 2 Нули функции
f(x) =0 3 Промежутки постоянства знака
f(x) >0,
f(x) <0 4 Промежутки монотонности f(x) ↑,
f(x) ↓5 Точки экстремума
X max, X min 6 Наибольшее и наименьшее значение функцииУ наиб. , Унаим. 7 Область значений
Е 8 График функции
Задание №19
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Исследование функции (6 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 4
Организация учебного занятия
Групповая (по 2 человека)
Фамилия, Имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Проведите по схеме исследование каждой из функций, результаты
занесите в таблицу
№ Схема исследования f(x) =
5x - 4 f(x) =
3x2 +8x -3 f(x) = x3 + 2 f(x) = 1x-1f(x) = x+31 Область определения функции D 2 Нули функции
f(x) =0 3 Промежутки постоянства знака
f(x) >0,
f(x) <0 4 Промежутки монотонности f(x) ↑,
f(x) ↓5 Точки экстремума
X max, X min 6 Наибольшее и наименьшее значение функцииУ наиб. , У наим. 7 Область значений
Е 8 График функции
Задание №19
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Исследование функции (6 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Проведите по схеме исследование каждой из функций, результаты
занесите в таблицу
№ Схема исследования f(x) =
2 – 4x f(x) =
x2 -5x -1 f(x) = x3 + 2 f(x) = 1x+3f(x) = x-31 Область определения функции D 2 Нули функции
f(x) =0 3 Промежутки постоянства знака
f(x) >0,
f(x) <0 4 Промежутки монотонности
f(x) ↑,
f(x) ↓5 Точки экстремума
X max, X min 6 Наибольшее и наименьшее значение функции
У наиб.,Унаим. 7 Область значений
Е 8 График функции
Задание №20
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Свойства функций (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы В последний столбик таблицы впишите букву, которая соответствует правильному ответу
№ Вопрос Варианты ответов Правиль-ный ответ
А Б В Г 1 Какая из функций возрастает на всей области определения? y=(х+1)2 y=х2 y= sinxy=2x2 Какая из функций убывает на всей области
определения? y=xy=3xy= sin2x y=log13(x-1)3 Какая из функций возрастает на отрезке -π2; π2? y=sinxy=cosxy=-2-xy=-x4 Найдите промежуток возрастания функции
у = log3х-1-∞;+∞1;+∞0;+∞-3;+∞5 Найдите промежуток возрастания функции
y=(x-1)2-1;+∞)1;+∞)0;+∞-∞;+∞6 Найдите четную
функцию y = sinxy=xy= (x+1)2 y=x2 7 Найдите наименьший положительный период функции
y = 3sin2xπ2π23ππ3Задание №20
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Свойства функций (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы В последний столбик таблицы впишите букву, которая соответствует правильному ответу
№ Вопрос Варианты ответов Правильный ответ
А Б В Г 1 Какая из функций возрастает на всей области определения? y=xy= ctg x y=x +cosxy=ln x 2 Какая из функций убывает на всей области определения? y=x2 y=sinxy=-2xyу=-x+53 Какая из функций возрастает на отрезке -π2; π2? y=3-xy=2sinxy= ctg x y=cosx4 Найдите промежуток возрастания функции
у = log3х-8-8;+∞-∞;+∞8;+∞0;+∞5 Найдите промежуток возрастания функции
y=(x+3)2-∞;+∞(-∞;-30;+∞-3;+∞)6 Найдите четную функцию y=xy=3xy= sin2x у =
log3х-17 Найдите наименьший положительный период функции
y = 2tg 3x π2π2ππ3Задание №20
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Свойства функций (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы В последний столбик таблицы впишите букву, которая соответствует правильному ответу
№ Вопрос Варианты ответов Правильный ответ
А Б В Г 1 Какая из функций возрастает на всей области определения? y=0,5x y=(x3 +1)5 y=sin4x y= -x3 2 Какая из функций убывает на всей области определения? y=x3 y=(x+1)2 y=log23xy= π x 3 Какая из функций убывает на отрезке 0;π?
y=-1,5xy= 1xy=cosxy = sinx4 Найдите промежуток убывания функции
у =
log0,3х+10;+∞-1;+∞-∞;0,3-∞;+∞5 Найдите промежуток возрастания функции
y=(x+2)2(-∞;-2-2;+∞)-∞;+∞0;+∞6 Найдите нечетную функцию y=3xy=(x+1)2y=x3 y= sin4x
7 Найдите наименьший положительный период функции
y = 2cos3xπ3π22π23πЗадание №20
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики (30 ч)
Тема учебного занятия Свойства функций (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы В последний столбик таблицы впишите букву, которая соответствует правильному ответу
№ Вопрос Варианты ответов Правильный ответ
А Б В Г 1 Какая из функций возрастает на всей области определения? y=3xy=
ctg x y= sin2x y=2x2 2 Какая из функций убывает на всей области определения?
y=log6xy=- x3 y= 2xy=-2,5x3 Какая из функций возрастает на отрезке -π2; π2?
y=cosxy=
ctg x y=x2 -1,2sinx4 Найдите промежуток возрастания функции
у = log32х-2-∞;+∞0;+∞-2;+∞1;+∞5 Найдите промежуток убывания функции
y=(x+1)2-1;+∞)(-∞;1(-∞;-1-∞;+∞6 Найдите четную функцию
y = sinxy=xy= (x+1)2 y=x2 7 Найдите наименьший положительный период функции
y = 3tg 2x ππ323ππ2Задание №20
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 7 Функции и их свойства и графики(30ч)
Тема учебного занятия Свойства функций (4 час)
Вид работы Решение примеров. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы В последний столбик таблицы впишите букву, которая соответствует правильному ответу
№ Вопрос Варианты ответов Правильный ответ
А Б В Г 1 Какая из функций возрастает на всей области определения? y=log15xy=x y= x +cosxy=0,4x 2 Какая из функций убывает на всей области определения?
y= - xy=x5 y= cos x y= logπx3 Какая из функций убывает на отрезке 0;π?
y=2cosxy=x2 y = sinxy= ctg x 4 Найдите промежуток убывания функции
у =
log0,45х+10-2;+∞-∞;0,4-∞;+∞0;+∞5 Найдите промежуток убывания функции
y=(x-4)2-∞;+∞(-∞;-44;+∞)(-∞;46 Найдите нечетную функцию
y=5xy = sinxy=3xy=cosx7 Найдите наименьший положительный период функции
y = 2sin3x23π2πππ3Задание №21
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 8 Многогранники (30 час)
Тема учебного занятия Формулы боковой и полной поверхности многогранников. (6 час)
Вид работы Составление компьютерной презентации на тему: «Формулы боковой и полной поверхности многогранников»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя обучающегося1._________________2._________________
3._________________4. _________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию
№№
слайдов Заголовок
слайда Картинка
слайда,
элементы фигуры Определение, свойства фигуры Боковая и
полная поверхность фигуры Примеры применения в строительстве
1-4 Призма
прямая
наклонная
правильная
Найти в Интернете чертеж,
подписать элементы фигуры Дать определение фигуры,
описать ее свойства Написать формулы боковой и
полной поверхности фигуры Привести примеры применения многогранников в строительстве или в практической жизни
5-8 Параллелепипед
прямой
прямоугольный
куб 9-12 Пирамида
правильная
усеченная правильная
неправильная Замечание: творческий подход при разработке содержания и дизайна слайдов приветствуется.
Задание №22
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 9 Тела и поверхности вращения (14 час)
Тема учебного занятия Формулы боковой и полной поверхности тел вращения (4 час)
Вид работы Составление компьютерной презентации на тему «Формулы боковой и полной поверхности тел вращения»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, Имя
обучающегося 1.__________________2.___________________
3.__________________4. ___________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию
№№
слайдов Заголовок
слайда Картинка
слайда,
элементы фигуры Определение, свойства фигуры Боковая и
полная поверхность фигуры Примеры применения в строительстве
1-4 Цилиндр Найти в Интернете чертеж, подписать элементы фигуры Дать определение фигуры, описать ее свойства Написать формулы боковой и полной поверхности фигуры Привести примеры применения тел вращения в строительстве или в практической жизни
5-8 Конус, усеченный конус
9-12 Шар,
сфера
Замечание: творческий подход при разработке содержания и дизайна слайдов приветствуется.
Задание №23
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Правила и формулы дифференцирования. (6 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Функция
f(x) Производная
f ’(x) Точка
X0 Значение проиводной f ’(x0)
1 f(x) = x3 + 2x2 - 3 -2 2 f(x) = 2x5 - 4x3 – 6x +1 2 3 f(x) = 1x + 5x2 – 2x -1 4 f(x) = (x4 -1) (3-5x) 3 5 f(x) = x ∙x9 6 f(x) =(7x – 8) ∙x4 7 f(x) = x31+ x2-2 8 f(x) = 2x4-1x3 9 f(x) = cosx2π210 f(x) = tg 3x π411 f(x) = ctg (3x + π4) π1212 f(x) = 2x ∙sinx0 13 f(x) = (5x – 4) ∙cosxπ214 f(x) = 2cosxsinx2π315 f(x) = (2x-3)62 16 f(x) = (8-x)46 17 f(x) =( x5+8)410 18 f(x) = x3-521 19 f(x) = 10- x412 20 f(x) =sinxπ24Задание №23
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Правила и формулы дифференцирования. (6 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Функция
f(x) Производная
f ’(x) Точка
X0 Значение проиводной f ’(x0)
1 f(x) = x4 + 7x3 – 2x 3 2 f(x) = 2x + 3x3 – x +10 2 3 f(x) = x33 + 3x + 1 10 4 f(x) = (2x3 -3) (x2 - 5x) 3 5 f(x) = x ∙x9 6 f(x) = x (5x2 – 6) 1 7 f(x) = 2x+3x4 8 f(x) = 3x3-12x2 9 f(x) = tg 3x π410 f(x) = ctg (3x + π4) π1211 f(x) = sinx - cosxπ412 f(x) = 5x ∙cosx0 13 f(x) = (2x – 4) ∙cosxπ214 f(x) = 2x-3sinxπ415 f(x) = (6x-3)32 16 f(x) = (5-2x)45 17 f(x) =( x5+7)210 18 f(x) = x5-425 19 f(x) = x sin(3x- π3 ) π620 f(x) =sinxπ6Задание №23
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Правила и формулы дифференцирования (6 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Функция
f(x) Производная
f ’(x) Точка
X0 Значение проиводной f ’(x0)
1 f(x) = - x3 + 4x2 - 5 2 2 f(x) = x - 4x +3x 16 3 f(x) = x44 + 1x + 2x 1 4 f(x) = (5x5 -2) (2x2 - 3x) 2 5 f(x) = -x ∙2x4 6 f(x) = 5x-32x3 7 f(x) = 3x3-12x2 8 f(x) = 3sinx + cosxπ39 f(x) =ctg 3x π410 f(x) = tg (3x + π4) 011 f(x) = 10x ∙cosx0 12 f(x) = sinx (3x2 – 5) 0 13 f(x) = (3x – 1) ∙cosxπ214 f(x) = 3x-2sinxπ415 f(x) = (3x-4)3-2 16 f(x) = (7-2x)53 17 f(x) =( x4+6)312 18 f(x) = x3-518 19 f(x) = 3x sin(x- π3 ) π620 f(x) =sinxπ4Задание №23
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Правила и формулы дифференцирования (6 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Функция
f(x) Производная
f ’(x) Точка
X0 Значение производной f ’(x0)
1 f(x) = -2x3 - 3x2 + 3x -4 -2 2 f(x) = x22 + 3x3 + 1 1 3 f(x) = 2x -1,5x2 – x 4 4 f(x) = (3x3 -2) (4-2x) 3 5 f(x) = x ∙x9 6 f(x) =(3x2 – 2) ∙x4 7 f(x) = x-21- 2x2 -2 8 f(x) = 2x+ x2 x4 9 f(x) = cosx2π210 f(x) = tg 2x 0 11 f(x) = ctg (3x + π4) π1212 f(x) = 2x ∙sinx0 13 f(x) = (4x – 3) ∙cosxπ214 f(x) = 3x2sinxπ215 f(x) = x+32-1 16 f(x) = (8-x)46 17 f(x) =( x5+2)410 18 f(x) = x4-628 19 f(x) = 10- x412 20 f(x) =3x x-11 Задание №23
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Правила и формулы дифференцирования (6 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающегося 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Функция
f(x) Производная
f ’(x) Точка
X0 Значение производной
f ’(x0)
1 f(x) = -3x3 + 2x2 + 2x - 1 -2 2 f(x) = x – 3x2 + 2x4 3 f(x) = x -2,5x2 – 2x 9 4 f(x) = (5x3 -2) (10-3x) -2 5 f(x) = 5x ∙x4 6 f(x) =(3x2 – 2) ∙x1 7 f(x) = 2x-21- 2x2 2 8 f(x) = 2x-2 x2 x16 9 f(x) = 2cosx2π210 f(x) = 3tg 2x 0 11 f(x) = ctg (3x + π4) π1212 f(x) = 2x ∙sinx0 13 f(x) = (5x – 2) ∙2cosxπ214 f(x) = 4x2sinxπ215 f(x) = (x-6)2-1 16 f(x) = (12-x)410 17 f(x) =( x5+2)210 18 f(x) = x4-628 19 f(x) = 10- x412 20 f(x) =3x x-14 Задание №24
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Применение производной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите производную функции
fx=4sinx - ex в точке x0 = 0
2 Найдите производную функции
fx=x+1x-1 в точке x0 = 0
3 Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции
y = 4 – x2 в точке x0 = -1
4 Решите уравнение:
f`(x) = 0, если
fx= x3 – 3x2 + 3x +5
5 Решите уравнение:
fx= f`(x),
если fx= 3x3
6 Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx=x3+ 8 в точке x0 = 10?
7 Точка движется прямолинейно по закону
st = 2 + 20t – 5t2. Найдите мгновенную скорость и ускорение в момент t = 1с
Задание №24
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Применение производной (4 час)
Вид работы
Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите производную функции
fx= ex-ex в точке x0 = 1
2 Найдите производную функции
fx=x2x2+2 в точке x0 = -2
3 Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = 4x2 – 7x в точке x0 = 2
4 Решите уравнение: f`(x) = 0, если
fx= x3 – 6x2 + 12x -1
5 Решите уравнение: fx= f`(x), если fx= 2x4
6 Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx=sinx в точке x0 = π47 Точка движется прямолинейно по закону st = 4t – t2. Найдите мгновенную скорость и ускорение в момент t = 2с
Задание №24
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Применение производной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите производную функции
fx=lnx+2x2 в точке x0 = 1
2 Найдите производную функции
fx=2x2+11+3x в точке x0 = -1
3 Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = 3x2 – x3 в точке x0 = 2
4 Решите уравнение: f`(x) = 0, если
fx= x3 + 3x2 + 3x +2
5 Решите уравнение: fx= f`(x), если fx= 2x3 – 4x2
6 Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx=cosx в точке x0 = π2?
7 Точка движется прямолинейно по закону
st = 4 - 10t + 3t2.
Найдите мгновенную скорость и ускорение в момент t = 1
Задание №24
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Применение производной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите производную функции
fx=2tgx + ex в точке x0 = 0
2 Найдите производную функции
fx=2x-31-3x в точке x0 = -5
3 Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = x3 – 5x в точке x0 = 2
4 Решите уравнение:
f`(x) = 0, если
fx=13 x3 – 32x2 + 2x -1
5 Решите уравнение:
fx= f`(x),
если fx= x+1 2
6 Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx=tg x в точке x0 = 4?
7 Точка движется прямолинейно по закону
st = 7 + 12t – 3t2. Найдите мгновенную скорость и ускорение в момент t = 2.
Задание №24
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Применение производной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите производную функции
fx=2cosx - ex в точке x0 = 0
2 Найдите производную функции
fx=2x+3x+1 в точке x0 = 3
3 Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = 4x2 – 2x3 в точке x0 = 2
4 Решите уравнение: f`(x) = 0, если
fx= x33 – 32x2 - 4x +2
5 Решите уравнение: fx= f`(x),
если fx= 2sinx
6 Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx=ctg 9x в точке x0 = 5?
7 Точка движется прямолинейно по закону
st = t3 + 3t2 Найдите мгновенную скорость и ускорение в момент t = 1
Задание №25
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Решение задач на нахождение первообразной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя
обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 3x2 + 2x - 1
2 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 2cosx - 3sinx3 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 3x-244 Известно, что F(x) - первообразная для функции f(x) = 2x3 + 4x и
F(0) = 1. Найдите F(2)
5 Для функции f(x) = 6x2 - 2sinx укажите первообразную F(x), график которой проходит через точку М (0;4)6 Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону V(t) = 6t + 4. В момент времени t = 2 тело находится на расстоянии S=18 от начала отсчета. Напишите формулу, которой может задаваться зависимость расстояния от времени.
Задание №25
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Решение задач на нахождение первообразной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) =2 – 4x - 3x2
2 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 4sinx+3cosx3 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = e3x+14 Известно, что F(x) - первообразная для функции f(x) = 2x3 - 6x2 и
F(0) = 1. Найдите F(-2)
5 Для функции F(x) = 2x3 + sinx укажите первообразную F(x), график которой проходит через точку М (0;1)6 Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону V(t) = 3t2 – 2t. В момент времени t = 2 тело находится на расстоянии S=10 от начала отсчета. Напишите формулу, зависимости расстояния от времени.
Задание №25
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Решение задач на нахождение первообразной (4 час)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 4x3 - 6x5
2 Найдите первообразную F(x) для функции
f(x) = 2sin3x-43 Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = ex+ 1sin25x4 Известно, что F(x) - первообразная для функции
f(x) = x и
F(0) = 1. Найдите F(1)
5 Для функции F(x) = 2x - 3sinx укажите первообразную F(x), график которой проходит через точку М (0;3)6 Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону V(t) = 6t – 3. В момент времени t = 2 тело находится на расстоянии S=24 от начала отсчета. Напишите формулу, которой может задаваться зависимость расстояния от времени. Задание №26
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 10 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Понятие производной и первообразной (6час)
Вид работы Составление компьютерной презентации на тему «Мое представление о производной и первообразной функции»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя
обучающегося 1.__________________2.________________
3.__________________4. ________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию
№№
слайдов Заголовок
слайда Определение, понятие Картинка, рисунок Историческая справка, характерные особенности Пример использования понятия
1-3 Производная 4-5 Геометрический смысл производной 6-7 Механический смысл производной 8-10 Правила дифференцирования -
11-12 Первообразная 13-14 Свойства первообразной15-16 Как вычисляют первообразную? 17-18 Что такое интеграл? Замечание: творческий подход при разработке содержания и дизайна слайдов приветствуется.
Задание №27
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 11 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Площадь криволинейной трапеции (4 ч)
Вид работы Решение задач. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся1. 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x2 + 1, y = 0, x = 0, x = 1
2 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x2 – 4x, y = 0,
x = - 32, x= -123 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у = cosx, y = 0,
x = - π4, x = π44 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у = (x + 1)2, y = 0, x = 0
Задание №27
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 11 Начала математического анализа (40 час)
Тема учебного занятия Площадь криволинейной трапеции (4 ч)
Вид работы Решение задач. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x2 - 1, y = 0, x = 1, x = 2
2 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = 4x - x2, y = 0
3 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у =sinx, y = 0, x = π3,
x = π4 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у = x2, y = x
Задание №27
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 11 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Площадь криволинейной трапеции (4 ч)
Вид работы Решение задач. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = 3x2 + 2x + 2, y = 0,
x = 0, x = 2
2 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = 3x - x2, y = 0,
x = 0 , x= 13 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у = cos2x, y = 0,
x = - π4, x = π44 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x3, y = 1, x = 0
Задание №27
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 11 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Площадь криволинейной трапеции (4 ч)
Вид работы Решение задач. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = 3x2 +2, x = 0, x = 5, y = 0
2 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y =1x+12, y = 0, x = 1, x= 23 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у = sinx2, y = 0, x = π2, x = 3π24 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x3, y = x, x = 0, x = 1
Задание №27
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 11 Начала математического анализа (40 ч)
Тема учебного занятия Площадь криволинейной трапеции (4 ч)
Вид работы Решение задач. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Заполните таблицу
№ Задание Решение и ответ
1 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
Y = 1x-12, y = 0, x = 0, x = - 1
2 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y =1x+1, x = - 34, x= 0, y = 1
3 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = sinx, y = - sinx, x = 0, x = π4 Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x, y =1x2, x = 2
Задание №28
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 12 Элементы теории вероятностей и математической статистики (12 час)
Тема учебного занятия Теория вероятностей. Элементы математической статистики (6 час)
Вид работы Составление компьютерной презентации на тему «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
Организация учебного занятия Групповая (по 4 человека)
Фамилия, имя
обучающегося 1.______________________2.______________________
3.______________________4. _____________________
Дата выполнения работы Составьте компьютерную презентацию
№№
слайдов Заголовок слайда Определение понятие Картинка, рисунок Историческая справка Пример использования понятия
1-3 Что такое вероятность события? 4-5 Формула вероятности события 6-7 Повторные испытания 8-10 Случайная величина -
11-12 Какие числовые характеристики можно связать со случайной величиной? 13-14 Происхождение теории вероятностей
Замечание: творческий подход при разработке содержания и
дизайна слайдов приветствуется.
Задание №29
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение уравнений (12 час)
Вид работы Решение уравнений. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите уравнения в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Решение и ответ
I Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям
-5x + 2 = 3x -14 0,8x – 8 = 9,2 2(x – 1) -3 (2x + 5) = 5 - x II Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
(x + 2)(x – 3) = 14 X4 – 21 x2 – 100 = 0 (1x + 2)2 + 1x = 10 III Рациональные уравнения x-1x+2 = 2-xx+1x-1x + 3x2x-2 = - 251-x1+x2- 1-x1+x = 20 IY Иррациональные уравнения
x+1 = 5 x2+ x-4 = 4 9-4x = 1 - x Y Показательные уравнения
2x-4 = 8 32-x + 3-x = 30 343x-4= 434x-3YI Логарифмические уравнения
log6x-3 = 2 log4x+1 = log43x-4log4x2+2x+49=3 YII Тригонометрические уравнения 2sinx +1=0 2sin2x – 5sin x – 3 =0 3 tg-4x+ π4 = -1 Задание №29
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение уравнений (12 час)
Вид работы Решение уравнений. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите уравнения в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Решение и ответ
I Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям
-6x + 3 = 4x -15 2x-3 = - 1 (x + 3) (x -7) = x2 - 1 II Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
2x (x – 3) = (3x – 5)(x -3) 6x2 – x – 1 = 0 X4 + x32 -3x2 + x2 + 1 = 0 III Рациональные уравнения 3-xx+3 = x-1x+1x3x3+2 - 1x3+3 =1xx+12+ x+1x2= 174IY Иррациональные уравнения
1-2x = 3 16x2+ 16x+29 = 5 x+1 = x - 1 Y Показательные уравнения
27x-1 = 9 2x+2 - 2x-1 = 112 8x + 18x = 2∙27xYI Логарифмические уравнения
log55-2x = 3 log25x+4=log2x+5log2x2-2x+8=4 YII Тригонометрические уравнения 3 ctg x + 3 =0 3cos2 x + 10cos x + 3 =0 3 tg-4x- 4π7 = -3 Задание №29
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение уравнений (12 час)
Вид работы Решение уравнений. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите уравнения в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Решение и ответ
I Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям
-6x + 2 = 3x -25 2x-5 = 2 (x + 4) (x -8) = x2 - 2 II Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
5x - 3x-1 = 2x+2х2 + x – 42 = 0 х4 – 21 x2 – 100 = 0 III Рациональные уравнения 2-xx+1 = x-1x+2 x3x3+2 - 1x3+3 =135x+2 - 6x-2 = 43-xIY Иррациональные уравнения
3x+73x+17 = 1 9x2- 12x+85 = 9 x+1 = x - 1 Y Показательные уравнения
3x+5 = - 194x + 2x+1 = 8 42x - 3 ∙ 4x – 4 = 0 YI Логарифмические уравнения
log123x+1 = - 2 log43x-4 = log4x+1log25x-73 -2=log23YII Тригонометрические уравнения 23 tg x – 6 =0 Cos2x – 2sin x + 2 =0 3 tg3x+ 3π4 +1 =0 Задание №29
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение уравнений (12 час)
Вид работы Решение уравнений. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите уравнения в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Решение и ответ
I Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям
-4x - 3 = 3x + 18 5x+3 = 2 (x - 3) (x +5) = x2 - 1 II Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
х2 – 6x = 4x - 25 1x+6 + 7x-3 = 5x-62x4 – 19x2 + 9 = 0 III Рациональные уравнения x-1x+1 = 3-xx+3x-1x + 3x2x-2 = - 2535x+2 - 43-x= 6x-2 IY Иррациональные уравнения
3x+25x+22 = - 1 x+16 – x + 4 = 0 x2-6 = -5xY Показательные уравнения
35x+2 = 81x-153x = 1353x+2 + 3x-1 = 28 YI Логарифмические уравнения
log5x-3 = 2 log2x2- 3 = log23x-5log2x+14 + log2x+2 = 6 YII Тригонометрические уравнения cos2x = 0,5 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0 3 tg-2x+ π7 + 3 =0 Задание №29
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение уравнений (12 час)
Вид работы Решение уравнений. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите уравнения в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Ответ
I Уравнения, приводящиеся к линейным уравнениям
-7x + 1 = 2x +19 22x-5 = - 1 5(x – 2) -2 (2x + 7) = 4 - x II Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям
2x2+9xx-3 = 0 1x-6 + 4x+6 = 3x-43x4 – 13x2 + 4 = 0 III Рациональные уравнения x-1x+2 = 2-xx+11-x1+x2- 1-x1+x = 20 1x2 +2x - 1x2 +2x+1 = 112IY Иррациональные уравнения
5x+1 = 7x-93x2-2x = 2 2x2- 2 = 5 – x2Y Показательные уравнения
25x-4 = 16x+323x = 1423∙2x+3 - 2x+5 = - 4 YI Логарифмические уравнения
log3x+1 = 4 log5x-1=log5x1+xlog3x-7+ log3x+7 =1 YII Тригонометрические уравнения sin4x = 325sin2 x + 4sin π2+ x= 4 5sin3x+ 5 = -1 Задание №30
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение неравенств (12 час)
Вид работы Решение неравенств. Вариант 1
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите неравенства в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Ответ
I Линейные неравенства
-6x + 2 ≤ 3x -25 2x-5 < 0 (x + 4) (x -8) ≥x2 - 2 II Кусочно-линейные неравенства
1-x>2 2x-5>1 1- x2≥2 III Квадратные и степенные неравенства
X2 – 21 x – 100 ≤ 0 X2 + x > 42 x+13<8 IY Показательные неравенства
2x+1<4 3x+5 ≤ 192x≥2 Y Логарифмические неравенства
log123x+1 > - 2 log43x-4 ≤ log4x+1log25x-73 -2>log23Задание №30
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение неравенств (12 час)
Вид работы Решение неравенств. Вариант 2
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите неравенства в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Ответ
I Линейные неравенства
1 -7x < 2x +19 22x-5 > - 1 5(x – 2) -2 (2x + 7) ≤4 - x II Кусочно-линейные неравенства
2-x>6 2x-7>1 1- x2≥4 III Квадратные и степенные неравенства
2x2+9x > 0 3x2 – 13x + 4 ≥ 0 x+13<27 IY Показательные неравенства
25x-4 > 16x+323x < 1424x2>12 Y Логарифмические неравенства
log3x+1 ≤ 4 log5x-1>log5x1+x log3x-7+ log3x+7 <1 Задание №30
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение неравенств (12 час)
Вид работы Решение неравенств. Вариант 3
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите неравенства в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Ответ
I Линейные неравенства
2-5x ≥ 3x -14 0,8x – 8 < 9,2 2(x – 1) -3 (2x + 5) ≤5 - x II Кусочно-линейные неравенства
1-2x>4 2x+5>1 1- x3≥7 III Квадратные и степенные неравенства
(x + 2)(x – 3) ≤14 X4 – 21 x2 – 100 > 0 x+13<64 IY Показательные неравенства
2x-4 > 8 32-x + 3-x ≤ 30 343x-4< 434x-3Y Логарифмические неравенства
log6x-3 > 2 log4x+1 ≤ log43x-4log4x2+2x+49>3 Задание №30
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение неравенств (12 час)
Вид работы Решение неравенств. Вариант 4
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, Имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите неравенства в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Ответ
I Линейные неравенства
1 -7x ≥ 2x +19 22x-5 < - 1 5(x – 2) -2 (2x + 7) ≤4 - x II Кусочно-линейные неравенства
3-x>2 2x-3>1 1- x2≥6 III Квадратные и степенные неравенства
2x2+9x < 0 3x2– 13x + 4 ≥ 0 x+24≤1 IY Показательные неравенства
3x-1<27 25x-4 ≤ 16x+323x > 142Y Логарифмические неравенства
log3x+1 < 4 log5x-1>log5x1+x log3x-7+ log3x+7 ≤1 Задание №30
для внеаудиторной самостоятельной работы
Модуль 13 Уравнения и неравенства (44 час)
Тема учебного занятия Решение неравенств (12 час)
Вид работы Решение неравенств. Вариант 5
Организация учебного занятия Групповая (по 2 человека)
Фамилия, Имя обучающихся 2.
Дата выполнения работы Решите неравенства в тетради, ответ запишите в таблицу
№ Задание Ответ
I Линейные неравенства
3 -6x ≤ 4x -15 2x-3 > - 1 (x + 3) (x -7) <x2 - 1 II Кусочно-линейные неравенства
2-2x>4 2x-5>3 1- x2≥2 III Квадратные и степенные неравенства
2x (x – 3) >(3x – 5)(x -3) 6x2 – x – 1 ≤ 0 x+24>1 IY Показательные неравенства
27x-1 > 9 12x< 32 101-x≤ 100 Y Логарифмические неравенства
log55-2x > 3 log25x+4≤log2x+5 log2x2-2x+8>4 Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №3
Решение задач на проценты
Определение. Одну сотую часть величины называют процентом этой величины (1%).
Например, 1% от 3500 рублей – это 1100 часть от 3500 рублей:
1100· 3500 = 3500100 = 350 рублей.
Сама величина составляет 100 сотых или 100% от самой себя.
№ задания Условие и план решения Решение
1 Условие задачи. Рулон обоев стоит 140 руб. 60 коп. Какое количество рулонов можно купить на 1500 рублей, если скидка составила 10%? Сколько рублей составила скидка? (Найдём 10% от 140,6 рублей) 10100 · 140,6 = 14,06 рублей скидка на рулон обоев
Стоимость рулона обоев после скидки. 140,6
- 14,06 = 126,54 рублей
Какое количество рулонов можно купить после скидки? 1500 ∶ 126,54 = 11 рулонов
Ответ: 11 рулонов можно купить на 1500 рублей, если скидка составит 10% от первоначальной стоимости.
2 Условие задачи.
Маляр за смену может окрасить 35 м2 поверхности стен. Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 10%? Найдем 10% от 35 м210100 · 35 = 3,5 м2Сколько м2 он может окрасить за смену, если увеличит свою производительность труда на 10%? 35 + 3,5 = 38,5 м2Ответ.
Увеличив производительность труда на 10% , маляр за смену покрасит 38,5 м23 Условие задачи.
Банка масляной краски стоит 115 рублей. Какое максимальное количество банок краски можно будет купить на 1400 рублей после повышения цены одной банки на 4 %? На сколько рублей увеличилась стоимость краски после повышения цены (найдем 4% от 115 рублей)? 4100 · 115 = 4,6 рублей
Стоимость банки краски после повышения цены 115 + 4,6 = 119,6 рублей
Какое максимальное количество банок можно купить за 1400 рублей? 1400 ∶ 119,6 = 11 банок
Ответ.
11 банок краски можно купить за 1400 рублей после повышения цены
4 Условие задачи.
Стоимость облицовки 1 м2 поверхности стен кафельной плиткой по ЕТКС составляет 345руб. 60 коп. За 1 смену плиточник 4 разряда должен выложить 6 м2. Премия за хорошее качество работы составляет 20%. Сколько денег он заработает за месяц, если в месяце 21 рабочая смена? Стоимость облицовки поверхности стен кафельной плиткой за 1 смену. 345,6 · 6 = 2 073,6 рублей
Премия за хорошее качество работы (20% от 2073,6 рублей) 20100 · 2073,6 = 414,72 рублей
Зарплата за смену вместе с премией составляет 2073,6
+414,72 = 2 488,32 рублей
Заработок за месяц (21 рабочую смену) 2488,32 · 21 = 52 254,72 рубля
Ответ.
Заработок за месяц составляет 52 254,72 рубля
5 Условие задачи.
Теплоход рассчитан на 130 пассажиров и 35 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 40 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? На сколько человек рассчитан теплоход? 130 + 35 = 165 человек
Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы все могли спастись? 165 ∶ 40 = 4 (5 человек осталось)
Ответ.
Чтобы все могли спастись на теплоходе, должно быть
5 шлюпок.
6 Условие задачи.
Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 46 поездок. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 900 рублей, а разовая поездка 28 рублей? Сколько денег потратила бы Аня, покупая билет на разовую поездку? 46 · 28 = 1288 рублей
Сколько рублей она сэкономила? 1288
-900 = 388 рублей
Ответ.
Купив месячный билет на автобус, Аня сэкономила 388 рублей
7 Условие задачи. Больному прописали лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 4 раза в сутки в течение 14 дней. Лекарство продается в упаковках по 12 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? Сколько лекарства потребуется больному на курс лечения? 0,5 г · 4 · 14 = 28 г
Сколько граммов лекарства в упаковке? 0,25 г · 12 = 3 г
Какое наименьшее количество упаковок хватит на весь курс лечения? 28 г ∶ 3 г = 9 полных упаковок и еще 1 г
Ответ. На весь курс лечения потребуется 10 упаковок.
8 Условие задачи. В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3 шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 38 рублей. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 450 рублей? Сколько шоколадок можно купить? 450 рублей ∶ 38 рублей = 11
Сколько шоколадок покупатель получит по акции? 11 ∶ 2 = 5 шоколадок
Всего шоколадок. 11 + 5 = 16
Ответ.
16 шоколадок получит покупатель за 450 рублей
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №6
Решение задач на основные свойства логарифмов.
Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Теория.
Определение. Логарифмом числа b основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b.
ax = b ⟺ x= logab, где a >0, а≠ 1, b > 0.
аlogab = b - основное логарифмическое тождество.
loga1 = 0
logaa = 1
logax ∙ y = logax + logay
logaxy = logax - logay
logaxp=p∙ logax
logaan = n
logax = logbx logba Натуральный логарифм ln x = logex
№ зада-нияУсловие и решение Ссылки на формулы
1 Вычислите: 5,2log5,23 = 3 2
2 Вычислите:14,3log14,39 = 9 2
3 Вычислите:62log64 = =6log642 = 42 = 16.
Ответ. 16 2
4 Вычислите:112log1217 = =11log11272 =11log117=7Ответ. 7 2
5 Вычислите: 14log16125 = 4-1∙log4 15 =
= 4log4 15-1 = 15-1 = 5.
Ответ. 5 2
6 Вычислите:17log1725= 1712log1725= 17log1725 = = 25 = 5.
Ответ. 5 2
7 Вычислите:log4log381=log44 = 1,
log381= 4, так как 34 = 81,
log44 = 1, так как 41 = 4.
Ответ. 1 1, 4
8 Вычислите:log25log232= log255 = 12,
log232= 5, так как 25 = 32,
log255 = 12, так как 2512 = 52∙12 = =51.
Ответ. 121, 4
9 Вычислите:log3log3327 = log327 = 3,
так как 33= 27
Ответ. 3 7, 1
10 Вычислите:log13log327 = log13 3 = -1,
1) log327 = 3, так как 33 = 27,
log13 3 = -1, так как 13-1= 3.
Ответ. 3
1
11 Вычислите: log3log161216= log33=2log161216=3 , так как 163= 1216,log33=2, так как 32=3.Ответ. 2
1
12 Вычислите: log4127·log122== 7·log4 12∙ log42 log4 12 = 7 · log42 =
=7· 12=3,5.
Ответ. 3,5 7,1
13 Вычислите:
log4 72 + log4 3 - log4 54 =
= log4 72∙354 = log4 4 = 1, так как 41 =4.
Ответ. 4 5, 6, 4
14 Вычислите:
3· log0,4 0,1 +log0,4 1000 =
=log0,4 0,13·1000 = log0,4 1 = 0,
так как 0,40 = 1.
Ответ. 1 7, 5, 3
15 Вычислите:
log16 48 - 2·log16 13 + log16 127 =
= log16 48 - log16 132 + log16 127 =
log16 48÷19 · 127 = log16 48·9·127 =
=log16 16 = 1, так как 161 = 16.
Ответ. 1. 7, 6, 5, 4
16 Решите уравнение.
log3х=4.По определению логарифма имеем
х = 34 = 81.
Ответ. 81 17 Решите уравнение.
log69х=5.По определению логарифма имеем
х = 65 = 7776.
Ответ. 7776 18 Решите уравнение.
log16х=-2.По определению логарифма имеем
х = 16-2 = 36.
Ответ. 36 19 Решите уравнение.
log3(х-64)=3.По определению логарифма имеем
х – 64 = 43,х – 64 = 64, х = 64 +64 = 128.
Ответ. 128 20 Решите уравнение.
ln(13-3х)=0.
По определению логарифма имеем
13-3х = e0,13-3х = 1,
-3х = 1 – 13,
- 3х = - 12,
х = -12 : (-3) = 4.
Ответ. 4 21 Решите неравенство.
log7х > 1.
Решение.
log7х > log771Так как D(log7) = (0; +∞), то х > 0 и
при а = 7 >1 функция возрастает, то х > 7.
Имеем
х > 0 х > 70
7
х


Ответ. (7; +∞) 22 Решите неравенство.
log5х < 2.
Решение.
log5х < log752Так как D(log5) = (0; +∞), то х > 0 и
при а = 5 >1 функция возрастает, то х < 25.
Имеем
х > 0 х < 250
25
х


Ответ. (0; 25 ) 23 Решите неравенство.
log16х >- 2.
Решение.
log16х> log1616-2Так как D(log16) = (0; +∞), то х > 0 и
при а = 16 <1 функция убывает, то
х < 36.
Имеем
х > 0 х < 360
36
х



Ответ. (0; 36 ) 24 0
Решите неравенство.
log6х+1< 2.
Решение.
log6х+1 < log662Так как D(log6) = (0; +∞), то х > 0 и
при а = 6 >1 функция возрастает,
то х + 1 < 36.
Имеем
х > 0
х+1 < 360
х
35
х > 0
х < 35Ответ. (0;35 ) 25 Решите неравенство.
log47-х< 3.
Решение.
log47-х < log443Так как D(log4) = (0; +∞),
то 7 - х > 0 и
при а = 4 >1 функция возрастает,
то 7 - х < 64
Имеем
7- х > 0 7-х < 64 х < 7
х >- 57 - х > -7
- х < 57-57
7
х


Ответ. (-57;7 ) 26 Решите неравенство.
log139-4х < 1.
Решение.
log139-4х < log13131Так как D(log13) = (0; +∞), то 9-4х > 0 и
при а = 13 <1 функция убывает,
то 9-4х > 13.
Имеем
9-4х > 0 9-4х > 13 х < 94
х<-823÷-4 -4 х > -9
-4 х >-823
х < 214 х<216 216 214 х

Ответ. ( - ∞;216 ) 27 Решите неравенство:
log5х < log5(4х-2)Решение.
Так как D(log5) = (0; +∞), то
х > 0
4х – 2 >0и при а = 5 >1 функция возрастает,
то х < 4х - 2.
Имеем
х > 0 х >0 4х – 2 >0 4х > 2
х < 4х – 2 -3х < -2
х > 0 х > 0
х > 24 х > 12 х > 23 х > 230
12230
х

Ответ 23; +∞28 Решите неравенство:
log34х-5 ≤ log3(3х+4).
Решение.
Так как D(log3) = (0; +∞), то
4х-5 > 0
3х + 4 >0и при а = 3 >1 функция возрастает, то 4х-5 ≤ 3х + 4.
Имеем
4х-5 > 0 4х > 5 3х + 4 >0 3х >-4 4х-5 ≤ 3х + 4 4х-3х ≤4 +5
х > 54 х > 214 х >-43 х >-113 х ≤ 9 х ≤ 9
- 113 214 9

х

Ответ. (214;929 Решите неравенство:
log135х-8 > log13(7х)Решение.
Так как D(log13) = (0; +∞), то
5х-10 > 0
7х >0и при а = 13 <1 функция убывает,
то 5х-10 < 7х.
Имеем:
5х-10 > 0 5х > 10 7х >0 х >0 5х-10 < 7х 5х-7х <10 х > 2
х >0 -2х < 10
х > 2
х >0 х > -5
- 5
0
2
х

Ответ. (2;+∞) Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №7
Геометрические фигуры на плоскости
Формулы площадей плоских фигур

Рис. 19
№ задания Условие и план решения или решение. Рисунок
1 Условие задачи. В треугольнике АВС угол С равен 900 , угол А равен 300, АВ = QUOTE . Найдите АС.
Указание.
Для нахождения неизвестного катета используем определение косинуса. 2 Условие задачи. В треугольнике АВС угол С равен 900 , АВ =5, АС = 4. Найдите sin А.
Указание.
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
По теореме Пифагора найдем неизвестный катет. 3. Условие задачи. В треугольнике АВС угол С равен 900 , АВ =18, cos A = 0,5. Найдите АС.
4 Условие задачи. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рис. 20
План решения задач :
1) достроить фигуру до прямоугольника или прямоугольного треугольника;
2) найти S1 полученной фигуры (прямоугольника или треугольника);
3) найти S2 добавленных частей;
4) S нужной фигуры = S1 – S2 Решение.1) Достроим до квадрата:

Рис. 21
2), 3), 4)
Sтреугольника = Sквадрата - S1- S2- S3,
Sтреугольника = 6·6 - 12 4·5 - 12 2·6 - 12 1·6 =
= 36 – 10 – 6 – 3 = 17
Ответ. 17 5 Условие задачи.
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9)

Рис.22
Решение.

Рис. 23
Достроим до квадрата.
2), 3), 4) Sискомая = Sквадрата - 2Sжелтого∆Sискомая = 7·7 - 2·12 ·7·5 = 49 -35 = 14
Ответ. 14
Второй способ решения.
Данная фигура параллелограмм.
Основание параллельно оси оу и равно 2, высота перпендикулярна оси оу и равна 7.
Sискомая = 2 · 7 = 14.
6 Условие задачи. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 см. Решение.
C = 2πR, R – радиус описанной окружности.
Так как окружность описана около прямоугольного треугольника, то гипотенуза является диаметром окружности.
АВ2 = АС2 + АВ2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
АВ = 2R = 25 = 5.
С = 5π = 15,7.
Ответ. 15,7 А
С
В

Рис.24
7 Условие задачи.
Найдите площадь параллелограмма АВСД, если АВ = 13,
АД = 14, ВД = 15.
А
В
С
Д

Рис.25
Решение.
SАВСД = 2 SАВД.
SАВД=рр-ар-в(р-с),
где р – полупериметр треугольника,
а,в, с- стороны треугольника.
Р = а+в+с2 = 13+14+152 =21,
SАВД=2121-1321-14(21-15) =
=21·8·7·6 =7·3·2·4·7·2·3 =
= 7·3·2·2 =84,
SАВСД = 2 · 84 = 168
Ответ. 168
8 Условие задачи.
Найдите площадь ромба с диагоналями равными 14 и 18.
А
Д
В
С

Рис.26
Решение.
SАВСД= 12· АС · ВД = 12 14· 18 = 126
Ответ. 126 9 Условие задачи.
Найдите площадь треугольника NAM, если NA = 6 QUOTE , AM = 6, ∠NAB = 600.
N
B A M
Рис.27
Решение.
1. ∠NAB – внешний угол треугольника, следовательно ∠NAM = 1800 - 600 = 1200.
2. S∆NAM= 12·AN· AM = 12 ·62 ·6 = 182.
Ответ. 182Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №10
Прямые и плоскости в пространстве.
Теория
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
Длина ломаной равна сумме длин ее звеньев.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
№ задания Условие и план решения или решение Рисунок
1 Указание. Используйте первое теоретическое предложение (две точки указаны на прямой, третья точка является вершиной многогранника). 2 Указание. Используйте первое и второе теоретические предложения. 3. План решения.
Сделайте рисунок
Проведите ломаную
Посмотрите, сколько сторон ломаной являются ребром куба, а сколько - диагоналями грани куба.
Диагональ грани куба найдите по теореме Пифагора.
Посчитайте длину ломаной. 4. Условие задачи. Через концы отрезка АВ и его середину Р проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках А1, В1 и Р1. Найдите длину отрезка РР1, если АА1 = 19,4см, ВВ1 = 8,2 см.
А
А1В1РВ
Р1
Рис.28
Решение.
АА1 ∥ ВВ1 по условию, следовательно четырехугольник АА1В1В трапеция.
РР1 = АА1 +ВВ12 = 19,4 +8,22 = 13,8 см.
Ответ. 13,8 см. 5 Условие задачи.
Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и в, проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а плоскость β в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2 = 2:5, В1В2 = 25см. А1В2А2К
В1
Рис.29
Решение.
А1В1 ∥ А2В2, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
∆ А1В1К ∞ ∆ А2В2К по двум равным углам
(∠ А1КВ1 = ∠ А2КВ2 как вертикальные углы,
(∠ А1В1К = ∠ А2В2К как внутренние накрест лежащие)
Так как А1К:А1А2 = 2:5, то А1К:КА2 = 2:3.
Обозначим КВ1 = х,
то КВ2 = 25 - х
У подобных фигур соответственные стороны пропорциональны:
А1ККА2 = КВ1КВ2; 23 = х25-х ;
Используя основное свойство пропорции, имеем:
2·(25 – х) = 3х,
50 – 2х = 3х,
5х = 50, х = 10.
Ответ. КВ1 = 10 см. 6. Условие задачи.
В плоскости α лежат В и С, точка А лежит вне плоскости α. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если
АВ = 8см, АС = 10см, ВС = 8см. В
D
С
А

Рис.30
Решение.
Обозначим DС = х, тогда DВ = 8 – х.
Из двух треугольников АВD и АСD выразим искомое расстояние АD по теореме Пифагора.
∆АВD: АD2 = АВ2 - ВD2,
АD2 = 82 - (8 – х)2.
∆АСD: АD2 = АС2 – СD2;
АD2 = 102 – х2.
82 - (8 – х)2 = 102 – х2,
64 – 64 + 16х – х2 = 100 - х2,
16х = 100,
х = 10016 = 6,25 см.
Находим АD2 = 102 – 6,252 =
= 100 – 39 = 61,
АD2 = 61 = 7,8 см.
Ответ. 7,8 см. 6(а) Условие задачи.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых равна 6 см, а другая 5 см. Проекция меньшей наклонной равна 3 см. Найдите проекцию большей наклонной. В
А
D
C


Рис.31
Решение задачи.
Из ∆АDС по теореме Пифагора имеем
АD2 = АС2 – DС2 = 52 -32 =
=25 – 9 = 16,
Из ∆АВD по теореме Пифагора имеем
ВD2 = АВ2 – АD2 = 62 – 16 =
= 36 – 16 = 20,
ВD = 20 = 4,5 см.
Ответ. ВD = 4,5 см. 7. Условие задачи.
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если
АС = 21 м, ВD = 6 м, СD = 8 м.
Рис.32
Решение задачи.
∆СВD, уголD = 900, по теореме Пифагора имеем
CB2 = CD2 + BD2 =
= 82 + 62 = 100.
∆АСВ, уголС = 900, по
теореме Пифагора имеем
AB2 = AC2 + CB2 =
= √212 + 100 = 121,
AB = 121 = 11 (м).
Ответ. AB = 11 м. Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №14
Координаты и векторы
№ задания Условие и план решения или решение
1 Условие задачи.
Известны координаты вершин треугольника АВС:
А(-7; 2; -3), В(-1; 4; 1), С(-2; 3; 4).
СК – медиана треугольника АВС.
Найдите длину СК.
Решение.
Найдем координаты точки К как середины отрезка АВ:
Хк =ХА+ХВ2 = -7-12 = -4,
Yк = YА+YВ2 = 2+42 = 3,
Zк = ZА+ZВ2 = -3+12= -1
К(-4, 3, -1)
Найдем длину СК по формуле:
СК = хк-хс2+yк-yс2+zк-zс2,СК =-4--22+3-32+-1-42=
=22+02+-52 =4+25 = 29.
Ответ. СК = 292 Условие задачи.
АВСК – параллелограмм.
А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2), С(1; 2; 3), К(x; y; z).
Найдите координаты точки К.
Решение.
1. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
2. Найдем координаты середины диагонали АС.
Ох = ха+ хс2 = 3+12 =2,
Оy=yа+ yс2 = -4+22 -1,
Оz= zа+ zс2 = 7+32=5,
О(2; -1; 5)
3.Середина диагонали ВК имеет те самые координаты.
Ох = хв+ хк2 =-5+ хк2 = 2, -5+ хк=4, хк= 9,
Оy=ув+ ук2 = 3+ук2 = -1, 3+ук = -2, ук = -5,
Оz= zв+ zк2 = -2+zк2=5, -2+zк = 10, zк= 12.
К(9; -5; 12)
Ответ. К(9; -5; 12).
3. Условие задачи.
Дан куб АВСDА1В1С1D1. Найдите вектор, равный
АВ + В1С – С1D1.
План выполнения.
Постройте куб.
Отметьте на нем векторы согласно условию задачи.
Для нахождения искомого вектора используйте определение равных векторов, определение противоположных векторов, правила сложения и вычитания векторов.
4 Даны координаты точек:
M(4; -3; -1), N(-2; -1; 2), P(-2; -3; -3), K(1; -1; 2).
Найдите ∣2MN +3 PK∣Решение.
Найдем координаты вектора MN:
х = хN- хM = -2 – 4 = -6
у = уN-уM = -1- (-3) = 2
z = zN-zM = 2- (-1) = 3
MN = (-6; 2; 3),
2MN =(-6·2; 2·2; 3·2) = (-12; 4; 6).
Найдем координаты вектора PK:
х = хK- хP = 1 – (-2) = 3
у = уK-уP = -1- (-3) = 2
z = zK-zP = 2- (-3) = 5
PK = (3; 2; 5),
3PK = (3·3; 2·3; 5·3) = (9; 6; 15)
Найдем координаты вектора 2MN +3 PK:
2MN = (-12; 4; 6)
3PK = (9; 6; 15)
2MN +3 PK =(-12+9; 4+6; 6+15) = (-3; 10; 21).
Найдем:
∣2MN +3 PK∣ =х2+у2+z2 =
= -32+102+212 =
= 9+100+441 = 550 = 23,5
Ответ. 23,5.
5 Условие задачи.
Даны координаты:
А(1; -3; -4), В(-1; 0; 2), M(2; -4; 6), N(2; -3; 1).
Найдите косинус угла между векторами

АВ и MN.
Решение.
Найдем координаты вектора АВ:
х = хВ- хА = -1 – 1 = -2
у = уВ-уА = 0- (-3) = 3
z = zВ-zА = 2- (-4) = 6
АВ = (-2; 3; 6),
∣ АВ∣ = х2+у2+z2 = -22+32+62 =
4+9+36 =49 = 7
Найдем координаты вектора MN:
х = хN- хM = -2 – 2 = 0
у = уN-уM = -3 - (-4) = 1
z = zN-zM = 1- 6 = -5
MN = (0; 1; -5),
∣MN∣ = х2+у2+z2 = 02+12+-52 =
1+25 =26 .
По формуле скалярное произведение векторов выразим косинус угла между ними:

cosφ= АВ · MN ∣ АВ∣ ·∣MN∣ = х1х2+у1у2+z1z27 · 26 =
= -2·0+3·1+6·(-5)7 · 26 = 3-307 · 26 =-2736 = - 0,75.
Ответ. – 0,7
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №15
Основы тригонометрии
№ задания Условие и решение Указание
1 Выразите в радианной мере величины углов.
30 = 30 · π1800 = π60,
1450 = 1450 · π1800 = 29π36,
3100 = 3100 · π1800 = 31π18,
750 = 750 · π1800 = 5π12, 1800= π рад
10 = π180 рад
2 Выразите в градусной мере величины углов.
π8 = π8 · 180π = 22,50,
103π18 = 103π18 · 180π = 10300,
5π = 5π· 180π = 9000. 1 рад = 1800π3. Найдите числовое значение выражения.
2sinπ3 + tgπ4 = 2· 32 + 1=3 + 1.
2sinπ - 2cos3π2 + 3tgπ4 -сtgπ4=
= 2·0 - 2·0 + 3·1- 1 = 2,
sin2π4 + sin2π3 = 222+ 322=
= 24 + 34 = 54 =114. Используем значение тригонометрических функций некоторых углов
4 А) Пусть fх= cos3х + sinх.
Найдите:
f0= cos3·0 + sin0 =
= cos0 + 0 = 1 + 0 = 1,
fπ6= cos2·π6 + sinπ6 =
= cosπ3 + 12 = 12 + 12 = 1.fπ3= cos3·π3 + sinπ3 =
= cosπ + 32 = 0 +32 = 32.
В) Пусть fх=2· cosх - 3· sin2х.
Найдите:
f0= cos0 + 3sin2·0 =
=1 +3· 0 = 1 + 0 = 1,
fπ4= 2·cosπ4 +3· sin2·π4 =
= 2·22 +3· sinπ2 = 2 + 3 .fπ6= 2·cosπ6 + 3·sin2·π6 =
= 2·32 +3·sinπ3 = 3 + 3· 32 =
= 532. Используем значение тригонометрических функций некоторых углов
5. А) Найдите значения трех других тригонометрических функций, если
cosα = 35, 0<α<π2.
Решение.
Так как 0<α<π2 – находится в 1 четверти, то sinα >0,
tgα >0, ctgα>0 sin2α + cos2α = 1,
sin2α = 1 - cos2α = 1 - 352 =
= 1 - 925 = 1625,
sin2α = 1625, sinα = 45.
tgα= sinαcosα = 45 ÷ 35 = 45 · 53 = 43,
ctgα = 1 ÷ tgα = 1 ÷ 43 = 34.
Ответ. sinα = 45, tgα = 43, ctgα = 34.В) Найдите значения трех других тригонометрических функций, если
sinα =- 513, π<α<3π2.
Решение.
Так как π<α<3π2 – находится в 3 четверти, то cosα <0,tgα >0, ctgα>0 sin2α + cos2α = 1,
cos2α = 1 - sin2α = 1 - -5132 =
= 1 - 25169 = 144169,
cos2α = 144169, cosα = -1213.
tgα= sinαcosα = -513 ÷ -1213 =
= 513 · 1312 = 512,
ctgα = 1 ÷ tgα = 1 ÷ 512 = 125.
Ответ. cosα = -1213, tgα = 512, ctgα = 125Используем знаки тригонометрических функций по четвертям,
основные тригонометрические формулы
Образцы решения заданий и указания
для внеаудиторной самостоятельной работы №16.
Решение примеров с использованием тригонометрических формул
№ задания Условие и решение Указание
1 Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс 2400.
sin 2400 =
cos 2400 =
tg 2400 =
ctg 2400 = Выясним, в какой четверти находится угол 2400 (3 четверть).
Определим границы четверти 900<α<1800.
Запишем
2400 = 1800 + 600 или 2400=2700 - 300
Применим формулы приведения
2 Упростите выражения:
sinπ2+ α =
cos3π2-α =
tgπ2-α =
sinπ+ α =
cosπ-α =
tgπ2+α=ctgπ-α = Применим правило запоминания формул приведения: функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол α является углом 1 четверти;
для углов π±α и 2π±α название исходной функции сохраняется; для углов
π2±α и 3π2±α название исходной функции заменяется на кофункцию.
3. Найдите значение выражения:
а) sin220∙ cos230+sin230∙ cos220= = sin220+ 230= sin450 = 22.
б) cos1100∙cos200+sin1100∙sin200 = cos1100-200 = cos900 = 0. Используем формулы сложения
4 Упростите выражения:
а) sin9α ∙ cosα- cos9α ∙ sinα =
б) sin15α ∙ sinα- cos15α ∙ cosα=в) tg9α -tgα 1+ tg9α ∙ tgα = tg9α+α = tg10αг) tg12α+tgα 1- tg12α ∙ tgα = tg12α-α = tg11αИспользуем формулы сложения
5 Упростите выражения:
а) sin1300cos650 = 2sin650cos650cos650 = 2sin650.б) sinπ7cosπ7 = tgπ7в) cos640 + sin2320=
= cos2320 - sin2320+sin2320 =
= cos2320
г) tg800∙ 1-tg2400 =

2∙tg4001-tg2400 ∙(1-tg2400) = 2∙tg400Используем формулы двойного аргумента
6 Вычислите:
а) 2sin22030΄cos223030΄ = sin450=22б) cos2π12 - sin2π12 = sin2π12 = sinπ6 = 12.в) sin750 = sin300+450 =
= sin300∙ cos450 + cos300∙sin450=
= 12 ∙22 + 32 ∙ 22 = 24 1+ 3Используем формулы двойного аргумента и формулы сложения
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №18.
Нахождение области определения и множества значений функции
№ задания Условие и план решения или решение
1 Линейные функции y = kx + b, k ≠0.
D(y) = R или D(y) = -∞; +∞.Графиком линейной функции является прямая.
Чтобы построить прямую, надо найти две точки, лежащие на прямой.
2. Квадратичная функция y = ax2+ bx+c a ≠0 D(y) = R или D(y) = -∞; +∞.
Задание. Постройте график функции y = 5x2- 7x+2.
Решение.
1. Графиком функции является парабола.
2. Ветви параболы направлены вверх, так как a =5>0.
3. Найдём точки пересечения с осью х, для этого решим уравнение:
5x2- 7x+2=0а =5; b= -7; c=2,D = b2 - 4ac = (- 7)2 - 4∙5∙2 = 49 – 40 = 9,
D = 9 = 3,
x = -b ±D2a = --7 ±32∙5 = 7 ±310;
x1 = 7+310 = 1; x2 =7-310 = 410 = 0,4.
4. Координаты точки экстремума (координаты вершины)
xb= - b2a = - -72∙5 = 0,7;
yb = 5∙xb2- 7∙xb+2 = 5∙0,72- 7∙0,7+2 =
=5 ∙0,49- 4,9+2 = - 0,45
Координаты вершины (0,7; -0, 45) – точка минимума.
х
у

Рис.33
5. Область определения D(y) = -∞; +∞.
6. Множество значений Е(у) = [ - 0,45; +∞ ).
3 Рациональные функции у = P(x)G(x), где Px, G(x) – многочлены.
Областью определения функции является множество действительных чисел, кроме нулей знаменателя G(x) ≠0.Задание. Найдите область определение функций:
у = 13-4х5х-15Решение.
Знаменатель 5х – 15 ≠ 0.
Найдём нули знаменателя 5х – 15 = 0
5х = 15
х = 153 = 5.
В область определения данной функции входят все действительные числа, кроме х = 5.
Ответ. D(y) = -∞; 5;) ∪ (5;+∞.
Задание. Найдите область определение функций:
у = 8х6х2+48хРешение.
Знаменатель 6х2+48х ≠ 0.
Найдём нули знаменателя 6х2+48х = 0 (неполное квадратное уравнение)
6х(х + 8) = 0
х = 0; х + 8 = 0,
х = - 8
В область определения данной функции входят все действительные числа, кроме х = 0 и х = - 8.
Ответ. D(y) = -∞;-8) ∪(-8;0)∪ (0;+∞.
Задание. Найдите область определение функций:
у = 9х7х2-98Решение.
Знаменатель 7х2-98 ≠ 0.
Найдём нули знаменателя 7х2-98 = 0 (неполное квадратное уравнение)
7х2-98 = 0
7х2=98
х2 = 987 = 14
х = ± 14В область определения данной функции входят все действительные числа, кроме х = - 14 и х = +14.
Ответ. D(y) = -∞;-14) ∪(-14;14)∪ (14;+∞3. Задание. Найдите область определение функций:
у = -5- 9х3х2-11х – 4Решение.
Знаменатель 3х2-11х – 4 ≠ 0.
Найдём нули знаменателя 3х2-11х – 4 = 0 (полное квадратное уравнение)
3х2-11х – 4 =0а =3; b= -11; c=-4,D = b2 - 4ac = (- 11)2 - 4∙3∙(- 4) = 121 + 48 = 169,
D = 169 = 13,
x = -b ±D2a = --11 ±132∙3 = 11±136;
x1 = 11+136 = 246=4; x2 = 11-136 = - 26 = -13.
В область определения данной функции входят все действительные числа, кроме х = 4 и х = -13.
Ответ. D(y) = -∞;-13) ∪(-13;4)∪ (4;+∞.
Иррациональные функции у = хn-а; у=3х.
Выражение, стоящее под знаком корня должно быть ≥ 0.
Задание. Найдите область определения функции:
у = х+9.
Решение. Так как D() = [0; +∞),
то х + 9 ≥ 0 (линейное неравенство),
х ≥ - 9.
Ответ. D(у) = [ - 9; +∞).
4 Задание. Найдите область определения функции у = 5х2-80.
Решение. Так как D() = [0; +∞), то
5х2-80 ≥ 0 (квадратное неравенство)
Рассмотрим функцию: у = 5х2-80,Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а = 5 > 0.
Выясним, как парабола расположена относительно оси х, для этого решим уравнение: 5х2-80 = 0,
5х2=80
х2= 805 = 16,
х = ±16 = ±4, парабола пересекает ось х в двух точках х = ±4.
Изобразим схематически расположение параболы в координатной
плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х.
х
+4
-4



Рис.34
Ответ. (-∞; -4] ∪[4; +∞)Задание. Найдите область определения функции у = 25-49х2.Решение. Так как D() = [0; +∞), то
25-49х2≥ 0 (квадратное неравенство).
Рассмотрим функцию у = 25-49х2.Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как а = - 49 <0.
Выясним, как парабола расположена относительно оси х, для этого решим уравнение 25-49х2 = 0,
-49х2≥ -25
х2= -25-49 = 2549,
х =±2549 = ±27. Парабола пересекает ось х в двух точках х = ±27.Изобразим схематически расположение параболы в координатной плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х.

-27
27
Рис.35
Ответ. х = -27; 27.
5 Тригонометрические функции. Основные тригонометрические функции y = sinx, y = cosx определены при всех значениях аргумента х (D = -∞; +∞).
Задание. Найдите область определения и множество значений данной функции: у = 5cos(х-π8).
Решение. Так как Е(cosх) = -1;1, то
-1 <cos(х-π8)<1-5<5cos(х-π8)<5Ответ. Е5cos(х-π8) = -5;5,
Задание. Найдите область определения и множество значений данной функции: у = 9 - 7sinх- π9.Решение. Так как Е(sinх) = -1;1, то
-1 <sinх- π9<1-7 <7sinх- π9<7-7 <-7sinх- π9<79-7<9-7sinх- π9<9+72<9-7sinх- π9<16Ответ. Е9-7sinх- π9 = 2;16Логарифмические функции. у = logax, а>0, а ≠ 1.
D(y) = (0; +∞), то есть х может принимать только положительные значения.
Задание. Найдите область определения данных функции
у=logπ12-3x
Решение. Так как D(logπ) = (0; +∞), то
12-3x>0 - 3х > - 12
х < -12-3 х < 4
х
4

Ответ. D(y) = (-∞;4)6. Задание. Найдите область определения данной функции:
у = log0,5-2х2+ 9х+5Решение. Так как D(logπ) = (0; +∞), то
-2х2+ 9х+5>0 (квадратное неравенство).
Рассмотрим функцию: у = -2х2+ 9х+5.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как а = - 2 < 0.
Выясним, как расположена парабола относительно оси х, для этого решим уравнение:
-2х2+ 9х+5=0
а =-2; b= 9; c=5,D = b2 - 4ac = (9)2 - 4∙(-2)∙(5) = 81 + 40 = 121,
D = 121 = 11,
x = -b ±D2a = - 9 ±112∙(-2) = - 9 ±11-4 ;
x1 = -9 +11-4 = 2-4= -12; x2 = - 9 -11- 4 = - 20-4 = 5,
парабола пересекает ось х в двух точках х = 5, х = - 12 .
Изобразим схематически расположение параболы в координатной плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х.
5
- 12

Рис.36
Ответ. -12;5Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №23.
Правила и формулы дифференцирования
Формулы производной.
kx+b΄ = k
c΄ = 0
х΄ = 12х1х΄ = - 1х2xn΄ = n· xn-1sinx΄ = cosxcosx΄ = - sinxtgx΄ = 1cosx2ctgx΄ = - 1sinx2ex΄ = exax΄ = ax∙ lna
lnx΄ = 1x u+v΄ = u΄ + v΄
u-v΄ = u΄ - v΄
u1+u2+…+ un΄ = u1΄+u2΄+…+ un΄ u∙v΄ = u΄∙v+ u∙v΄ c∙u΄ = c∙u΄ uv΄= u΄∙ v- u ∙ v΄v2 Производная сложной функции
(g(f(x)))΄ = g΄(f(x))∙f ΄(x)
№ зада-нияУсловие и решение Ссылки на формулы
1 Условие. Найдите значение производной функции fx=2х5-9х4+ 2х3- 6 в точке
x0 = - 2.
Решение.
f ΄x = (2х5-9х4+ 2х3- 6)΄ =
= 2х5΄-9х4΄+ 2х3΄- 6΄ =
= 2∙5∙х4- 9∙4х3+ 2∙3х2- 0= = 10х4- 36х3+ 6х2f ΄-2= 10∙-24-36∙-23+ 6∙-22= = 10∙16+ 36∙8+6∙4=160 + 288 + 24 = 472 Ответ. f ΄-2= 47215
17, 5
2 Условие. Найдите значение производной функции fx=-4х3-5х2+ 8х-13 в точке x0 = 3.
Решение.
f ΄x = (-4х3-5х2+ 8х-13 )΄ =
= -4х3΄-5х2΄+ 8х΄- 13΄ =
= - 4∙3∙х2- 5∙2х+8- 0= = - 12∙х2- 10х+8f ΄3 = - 12∙32- 10∙3+8 =
= - 12∙9 - 30 + 8 = - 108 – 30 + 8 = 86
Ответ. f ΄3 = - 130 15
17, 5
3 Условие. Найдите значение производной функции fx=5х2 -4х + 5х в точке x0 = 25.
Решение.
f ΄x = (5х2 -4х + 5х)΄ =
= (5х2 )΄-4х ΄ + 5х΄== 5∙2х - 4∙12х + -5х2 = 10х - 2х - 5х2f ΄25 = 10∙25 - 225 - 5252 =
= 250 - 25 - 5625 = 250 - 51125 = 24974125.
Ответ. f ΄25 = 2497412515
3, 4, 5
4 Условие. Найдите значение производной функции fx=2х +8х2 + 3х2 в точке x0 = 1.
Решение.
f΄x = (2х +8х2 + 3х2)΄=
= (2х )΄+(8х2 )΄ + 3х2΄=
= 2∙12х+ 8∙2х + 3х-2΄ =
= 1х + 16х + 3∙-2∙х-3 =
= 1х + 16х - 6х3.
f΄1 = 11 + 16∙1 - 613 = 1 + 16 – 6 = 11
Ответ. f΄1 = 11 15
3, 4, 5
5 Условие. Найдите значение производной функции fx= 3х4- 5∙ 9-7х в точке x0 = 2.
Решение.
f ΄x = 3х4- 5∙ 9-7х΄== 3х4- 5΄∙ 9-7х + 3х4- 5∙ 9-7х΄=
= 3∙4х3∙ 9-7х + 3х4- 5∙ (-7) =
= 108х3- 84х4 - 21х4 + 35 = 108х3- 105х4 + 35.
f ΄2 = 108∙23- 105∙24 + 35 = - 781
Ответ. f ΄2 = - 781 16
1, 2, 5
6 Условие. Найдите значение производной функции fx = 2х5- 3∙ 3х2-4х в точке x0 = -2.
Решение.
f ΄x =(2х5- 3∙ 3х2-4х)΄ =
= 2х5- 3΄∙ 3х2-4х + 2х5- 3∙ 3х2-4х΄ =
= 2∙5х4∙ 3х2-4х + 2х5- 3∙ (3∙2х-4) =
= 10х4∙3х2-4х + 2х5- 3∙ (6х-4) =
= 30х6- 40х5 + 12х6- 18х - 8х5+ 12 =
= 42х6- 48х5- 18х + 12.
f ΄-2 = 42∙(-2)6- 48∙(-2)5- 18∙ (-2) + 12 =
= 42∙64 - 48∙(-32) + 36 +12 = 4272
Ответ. f ΄-2= 4272
16
1, 2, 5
7 Условие. Найдите значение производной функции fx=(4х2- 2)∙х в точке x0 = 1.
Решение.
f ΄x = ((4х2- 2)∙х )΄=
= ((4х2- 2))΄∙х + 4х2- 2∙(х )΄
= (4∙2х) ∙х + 4х2- 2∙12х =
= 8хх + 4х22х - 22х = 8хх + 2 хх - 1х =
= 10хх - 1х.
f ΄1 = 10∙11 - 11 = 10 – 1 = 9.
Ответ. f ΄1 = 9. 16
2, 3, 5
8 Условие. Найдите значение производной функции fx=8хх в точке x0 =25.
Решение.
f ΄x = (8хх)΄ = 8х32΄ = 8∙32 ∙х = 12∙хf ΄25 = 12∙25 = 300.
Ответ. f ΄25 = 300. 5
9 Условие. Найдите значение производной функции fx= 5х-42-3х2 в точке x0 = 2.
Решение.
f ΄x = 5х-42-3х2΄= 5х-4΄2-3х2-5х-42-3х2΄(2-3х2)2 =
=52-3х2-5х-4-3∙2х΄(2-3х2)2 = 10-15х2 + 30х2 – 24х (2-3х2)2 =
= 10+15х2 – 24х (2-3х2)2
f ΄2 = 10+15∙22 – 24∙2 (2-3∙22)2 = 10+60 – 48 (-10)2 = 22100 = 0,22
Ответ. f ΄2= 0,2218
1, 5
10 Условие. Найдите значение производной функции fx=х41+х3 в точке x0 = - 2.
Решение.
f ΄x = х41+х3΄ = х4΄∙1+х3 - х4 ∙(1+х3)΄ (1+х3)2 =
= 3х3∙1+х3 - х4 ∙(3х2) (1+х3)2 = 3х3+ 3х6 - 3х6 (1+х3)2 = 3х3 (1+х3)2
f ΄-2 = 3(-2)3 (1+(-2)3)2 = 3∙ (-8)(1-8)2 = -2449 = - 2449Ответ. f ΄-2 = - 2449 . 18
13, 5
11 Условие. Найдите значение производной функции fx= tg8х+ π4 в точке x0 = 0.
Решение.
f ΄x = tg8х+ π4΄ = 1cos (8х+ π4)2 ∙ 8х+ π4 ΄ = 8cos (8х+ π4)2
f ΄0 =8cos (8∙0+ π4)2 = 8cos (π4)2 =
= 8222 = 8∙42 = 16.
Ответ. f ΄0 =16. 8, 19
12
Условие. Найдите значение производной функции fx=3cosх3 в точке x0 = π2.
Решение.
f ΄x = 3cosх3΄ = - sinх3∙(х3)΄ = - 13 sinх3f ΄π2 = - 13 sinπ23 = - 13sinπ6 = - 13 ∙12 = - 16.
Ответ. f ΄π2 = - 16. 7, 19, 1
13 Условие. Найдите значение производной функции fx= ctg8х+ π4 в точке x0 = π32.
Решение.
f ΄x= ctg8х+ π4΄=-1sin8х+ π42 8х+ π4΄= =-8sin8х+ π42 f ΄π32 = =-8sin8∙π32+ π42 = - 8sin π22 = - 812 = - 8
Ответ. f ΄π32 = - 8 9, 19, 1
14 Условие. Найдите значение производной функции fx=9х ∙cosх в точке x0 = 0.
Решение.
f ΄x = 9х ∙cosх΄ = 9х΄ ∙cosх + 9х ∙cosх΄ =
= 9 ∙cosх + 9х ∙-sinх = 9 ∙cosх - 9х ∙sinх .
f ΄0 = 9 ∙cos0 - 9∙0 ∙sin0= 9.
Ответ. f ΄0 = 9. 16, 7, 1
15 Условие. Найдите значение производной функции fx=sinх∙5х2-3 в точке x0 = 0.
Решение.
f ΄x = sinх΄∙5х2-3+ sinх∙5х2-3΄ =
= cosх∙ 5х2-3 + sinх ∙ 10х.
f ΄0 = cos0∙ 5∙02-3 + sin0 ∙ 10∙0 =
= 1∙ (-3) = -3
Ответ. f ΄0 = - 3. 16 Условие. Найдите значение производной функции
fx =13х-24 6 в точке x0 = 2.
Решение.
f ΄x = 13х-24 6΄ =
= 6∙ 13х-24 5∙(13х-24)΄=
= 6∙13∙13х-24 5= 78∙13х-24 5f ΄2 = 78∙13∙2-24 5 = 78 ∙ 25 = 78∙32 =2496
Ответ. f ΄2 =2496. 5, 19, 1
17 Условие. Найдите значение производной функции
fx =х+10 2 в точке x0 = -1.
Решение.
f ΄x = х+10 2΄ = 2∙х+10∙(х+10)΄=
= 2∙х+10.
f ΄-1=2∙-1+10 = 2∙9 = 18
Ответ. f ΄-1 = 18. 5, 19, 1
18 Условие. Найдите значение производной функции
fx= (17-3х)5 в точке x0 = 3.
Решение.
f ΄x = (17-3х)5΄ = 5(17-3х)4∙ (17 - 3х)΄=
= 5(17-3х)4∙ (-3) = -15(17-3х)4f ΄3 = -15(17-3∙3)4 = -15∙ 84 = - 61440.
Ответ. f ΄3= - 61440 5, 19, 1
19 Условие. Найдите значение производной функции
fx=х9+134 в точке x0 = 9.
Решение.
f ΄x =х9+134΄= 4∙х9+133∙ х9+13΄=
= 4∙х9+133∙19 = 49∙х9+133f ΄9 = 49∙99+133= 49∙(14)3 = 121959.
Ответ. f ΄9= 121959.5, 19, 1
20 Условие. Найдите значение производной функции
fx=х6-9 в точке x0 = 60.
Решение.
f ΄x =х6-9΄ = 12∙х6-9∙ х6-9΄= 12∙х6-9∙16 =
= 112∙1х6-9f ΄60 = 112∙1606-9 = 112∙11 = 112Ответ. f ΄60 = 1123, 19, 1
21 Условие. Найдите значение производной функции
fx= 15-х4 в точке x0 = 24.
Решение.
f ΄x =15-х4΄= 1215 - х4∙15-х4΄=
=1215 - х4∙-14 = -18∙115 - х4f ΄24 = -18∙115 - 244 = -18∙19 = -18∙13 = -124Ответ. f ΄24 = -1243, 19, 1
22 Условие. Найдите значение производной функции
fx= cosх в точке x0 = π4.
Решение.
f ΄x = cosх΄ = 12cosх∙cosх΄=
= 12cosх ∙ -sinх = - sinх2cosхf ΄(π4) = - sinπ42cosπ4 = - 22÷222= - 22∙ 2242 =-2442 =
=- 1242Ответ. f ΄(π4) = - 12423, 19, 7
23 Условие. Найдите значение производной функции
fx=4х ∙х-3 в точке x0 = 81.
Решение.
f ΄x = 4х ∙х-3΄ =
= 4х΄∙х-3 + 4х ∙х-3΄=
= х14΄∙х-3+ 4х ∙ 12х =
= 14∙х-34∙ х-3 + 124х = х-344х3+ 124хf ΄81 = 81-344813+ 12481 = 64∙27 + 16 = 118 + 16 =1+318 = 418 = 29Ответ. f ΄81 = 2916, 5, 2
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №24
Применение производной
Формулы производной.
kx+b΄ = k
c΄ = 0
х΄ = 12х1х΄ = - 1х2xn΄ = n· xn-1sinx΄ = cosxcosx΄ = - sinxtgx΄ = 1cosx2ctgx΄ = - 1sinx2ex΄ = exax΄ = ax∙ lna
lnx΄ = 1x u+v΄ = u΄ + v΄
u-v΄ = u΄ - v΄
u1+u2+…+ un΄ = u1΄+u2΄+…+ un΄ u∙v΄ = u΄∙v+ u∙v΄ c∙u΄ = c∙u΄ uv΄= u΄∙ v- u ∙ v΄v2 Производная сложной функции
(g(f(x)))΄ = g΄(f(x))∙f ΄(x)
Геометрический смысл производной
Угловой коэффициент касательной к графику функции равен
производной этой функции вычисленной в точке касания.
k = f ΄x0 = tgα, где x0 –абсцисса точки касания, α - угол наклона касательной с положительным направлением оси абс цисс.
Физический смысл производной
Производная – это скорость изменения функции.
Пусть st - закон движения материальной точки, vt - мгновенная
скорость изменения движения, at – ускорение, тогда
vt= s΄t , at = v΄t№ зада-нияУсловие и решение Ссылки на формулы
1 Условие. Найдите производную функции
fx = 5∙sinx + 3cosx - ex в точке x0 = 0.
Решение.
f ΄x = 5∙sinx + 3cosx - ex΄ =
= 5∙sinx΄ + 3cosx΄ - ех΄ =
= 5cosx - 3sinx - ех.
f ΄0 = 5cos0 - 3sin0 - е0 =
= 5∙1 - 3∙0 - 1 = 4.
Ответ. f ΄0 = 4. 13
4, 5, 8
2 Условие. Найдите производную функции
fx = lnx + 4x2 в точке x0 = 1.
Решение.
f ΄x = lnx + 4x2΄ =
= lnx ΄+ 4x2΄ =
= 1x + 4∙2x = 1x+ 8x.
f ΄1 = = 11+ 8∙1 = 9.
Ответ. f ΄1 = 9. 11
10, 15, 3
3 Условие. Найдите производную функции
fx= 5x-93-4x в точке x0 = - 2.
Решение.
f ΄x= 5х-93-4х΄ =
= 5х-9΄∙3-4х-5х-9∙3-4х΄3-4х2 =
= 5∙3-4х-5х-9∙-43-4х2 =
= 15 - 20х + 20х + 363-4х2 = 513-4х2.
f ΄-2= 513-4∙22 = 5125.
Ответ. f ΄-2 = 512516, 1
4 Условие. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции
fx = 5x2 - 9x - 5x3 в точке x0 = 2.
Решение.
tgα = f ΄x0.f ΄x = 5x2 - 9x - 5x3΄ =
=5x2΄ - 9x΄ - 5x3΄ =
= 5∙2х - 9 - 5∙3х2 = 10х – 9 - 15х2.
f ΄2 = 10∙2 – 9 - 15∙22 = 20 – 9 – 60 = - 49
Ответ. tgα = - 49 13
15, 3
5 Условие. Решите уравнение: fx= f ΄x, если
fx = 3sinx.
Решение.
f ΄x = 3sinx΄ = 3cosxПо условию fx= f ΄x, следовательно
3sinx = 3cosx3sinx - 3cosx = 0
3(sinx - cosx) = 0
sinx - cosx = 0, так как sinx и cosx одновременно нулю не равны, то разделим обе части уравнения на cosx.
Получим: sinxcosx - cosxcosx = 0
tg х -1 = 0
tg х = 1
х = arctg1 + πn, n∈Z arctg1 = π4 + πn, n∈Zx = π4 + πn, n∈ZОтвет. x = π4 + πn, n∈Z4
6 Условие. Решите уравнение: fx= f ΄x, если
fx = 3x5.
Решение.
f ΄x = 3x5΄ = 3∙5х4= 15∙х4По условию fx= f ΄x, следовательно,
3x5 = 15∙х43x5 - 15∙х4= 0
3х4(х – 5) = 0, следовательно,
х4= 0 или х – 5 = 0
х = 0 или х = 5
Ответ. х = 0, х = 5 15, 3
7 Условие. Решите уравнение: fx= f ΄x, если
fx = x+52.
Решение.
f ΄x = (x+52)΄ = 2x+5∙ x+5΄ =
= 2x+5По условию fx= f ΄x, следовательно,
x+52 = 2x+5x+52 - 2x+5 = 0
x+5x+5-2 = 0
x+5x+3 = 0
x+5 = 0 или x+3 = 0
x = - 5 или x=-3Ответ. x = - 5 или x=-33, 17
8 Условие. Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx = 2∙ sinx в точке x0 = π3?
Решение.
tgα = f ΄x0f ΄x = (2∙ sinx)΄ = 2cosxf ΄x0 = 2cosπ3 = 2 ∙ 12 = 1
tgα = 1> 0, следовательно, угол α - острый
Ответ. угол α – острый. 4, 15
9 Условие. Какой угол (тупой, острый или прямой) образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции fx = ctg5x в точке x0 = 3?
Решение.
tgα = f ΄x0f ΄x = (ctg5x)΄ = -1(sin5х)2 ∙(5х)΄ =
= -5(sin5х)2 < 0, так как 5 > 0 и
(sin5х)2 > 0, следовательно,
угол α – тупой.
Ответ. угол α - тупой. 7, 17, 1
10 Условие. Точка движется прямолинейно по закону st = 3 + 14t – 6t2. Найдите мгновенную скорость и ускорение в момент t = 1.
Решение.
vt= s΄t ,
at = v΄tvt= s΄t = (3 + 14t – 6t2)΄ =
= (3)΄ + (14t)΄ –( 6t2)΄ =
= 0 + 14 - 6∙2 t = 14 - 12 tv1 = 14 - 12∙1 = 2
at = v΄t=(14 - 12 t)΄ = - 12
a1 = - 12
Ответ. v1 = 2, a1 = - 12 13
2, 1, 3
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №25
Нахождение первообразной
Таблица первообразных
№ п/п Функция fxОбщий вид первообразных Fx1 k (постоянная) kx + C
2 xnxn+1n+1 + C
3 1x 2x + C
4 sinx-cosx + C
5 cosxsinx + C
6 1cosx2 tgx + C
7 1sinx2ctgx + C
8 exex+ C
9 axaxlna + C
Три правила нахождения первообразных fxFxg(x) G(x)
10 fx + g(x) Fx + G(x)
11 k∙fxk∙Fx
12 fkx+b, где k ≠0, k b-1k∙Fkx+b№ зада-нияУсловие и решение Ссылки на формулы
1 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx = 12х5- 3х2+ 2
Решение. Fx=12∙х66 - 3 ∙ х33 + 2х + C =
= 2х6 - х2 - 2х + C
Ответ. Fx= 2х6 - х2 - 2х + C 2, 10, 11
2 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx = 10х4- 2х - 3
Решение. Fx=10 ∙ х55- 2 ∙х22 - 3х + C =
= 2х5 - х2 - 3х + C
Ответ. Fx = = 2х5 - х2 - 3х + C
2, 10, 11
3 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx = -9cosх + 4sinхРешение. Fx= -9sinх - 4cosх + C
Ответ. 4, 5, 10
4 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx= ex - x4Решение. Fx= ex-х55 + C
Ответ. Fx= ex-х55 + C 8, 2, 10
5 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx= 5sin(8х - 4)
Решение. Fx= 18∙5cos(8х - 4) + C
Ответ. 4, 12
6 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx = e14x +1Решение. Fx= 114∙ e14x +1+ C
Ответ. Fx= 114∙ e14x +1+ C 8, 12
7 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx= ex- 1sin9x2Решение. Fx= ex + 19 ∙ctg9х + С
Ответ. Fx= ex + 19 ∙ctg9х + С 8, 7, 12
8 Условие. Найдите первообразную Fx функции для fx= 8x-34Решение. Fx= 18∙ (8х-3)55+ С = (8х-3)405+ СОтвет. Fx= (8х-3)405+ С2, 12
9 Условие. Известно, что Fx – первообразная для функции для fx=6х5+ 8х3 и
F0=1. Найдите F3.
Решение.
Fx=6∙х66 + 8∙х44 + С = х6 +2 х4 + С
F0 = 06 + 2∙04 + С = 1
С = 1
Fx = х6 +2 х4 + 1
F3 = 36 + 2∙34 + 1 = 892
Ответ. F3 = 892. 2, 10, 12
10 Условие. Для функции fx= 5х3 + 2sinх укажите первообразную Fx, график которой проходит через точку М(0; 6).
Решение.
Fx = 5∙х44+ 2cosх + С =
= 5х44 + 2cosх + С
F0 = 5∙044 + 2cos0 + С = 6
2 + С = 6
С = 6 – 2 = 4
Ответ. Fx = 5х44 + 2cosх + 4 11 Условие. Для функции fx=9х2- 3sinх укажите первообразную Fx, график которой проходит через точку M(0; 4)
Решение.
Fx = 9∙х33- 3cosх + С =
= 3х3 - 3cosх + С
F0 = 3∙03 - 3cos0 + С = 4
- 3 + С = 4
С = 4 + 3 = 7
Ответ. Fx = 3х3 - 3cosх + 7. 12 Условие. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = 8t – 9. В момент времени t = 2 тело находится на расстоянии s = 24 от начала отсчета. Напишите формулу, которой может задаваться зависимость расстояния от времени.
Решение.
v(t) = 8t – 9
s (t) = 8∙t22 - 9∙t + С =
= 4t2 - 9∙t + С
s (2) = 4∙22 - 9∙2 + С = 24
16 – 18 + С = 24
- 2 + С = 24
С = 24 + 2 = 26
s (t) = 4t2 - 9∙t + 26
Ответ. s (t) = 4t2 - 9∙t + 26 13 Условие. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = 6t2 – 10t. В момент времени t = 1 тело находится на расстоянии s = 13 от начала отсчета. Напишите формулу, которой может задаваться зависимость расстояния от времени.
Решение.
v(t) = 6t2 – 10 ∙t
s (t) = 6∙t33 - 10∙t22 + С =
= 2t3 - 5∙t2 + С
s (1) = 2∙12 – 5 ∙1 + С = 13
2 – 5 + С = 13
- 3 + С = 13
С = 13 + 3 = 16
s (t) = 2t3 - 5∙t2 + 16
Ответ. s (t) = 2t3 - 5∙t2 + 16 Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №26
Площадь криволинейной трапеции
Таблица первообразных
№ п/п Функция fxОбщий вид первообразных Fx1 k (постоянная) kx + C
2 xnxn+1n+1 + C
3 1x 2x + C
4 sinx-cosx + C
5 cosxsinx + C
6 1cosx2 tgx + C
7 1sinx2ctgx + C
8 exex+ C
9 axaxlna + C
Три правила нахождения первообразных fxFxg(x) G(x)
10 fx + g(x) Fx + G(x)
11 k∙fxk∙Fx
12 fkx+b, где k ≠0, k b-1k∙Fkx+b Определение криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная
графиком функции у = fx, прямыми х = а и х = в и осью абсцисс.
S = Fв - Fа, где Fx - первообразная для функции fx.
Рис.37
№ зада-нияУсловие и решение Ссылки на формулы
1. Задание. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = х2 + 2, у = 0, х = 0, х = 2.
Х
У
2
2
У = х2+2
0
Решение. 1. Построим графики данных линий.

Рис.38
2. Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией.
3. S = Fв - Fа, где Fx - первообразная для функции fx = х2 + 2, в = 2, а = 0.
S = F2 - F0,
Fx = х33 + 2х,
S = 233 + 2∙2 - 033 + 2∙0 = 83 + 4 – 0 =
= 223 + 4 = 623.
Ответ. S = 623. 1, 2, 10
2 Задание. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = 5х-х2,
у = 0, х = 0, х = 2.
Решение.
1. Построим графики данных линий.
У
Х
у = 5х- х20
5

Рис.39
2. Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией.
3. S = Fв - Fа, где Fx - первообразная для функции fx = 5х-х2, в = 5, а = 0.
S = F5 - F0,
Fx = 5∙х22- х33 = 2,5х2 - х33,
S = 2,5∙52 - 533- 2,5∙02 - 033 =
= 2,5∙ 25 - 1253 = 62,5 - 4123 = 6212 - 4123 =
= 2056.
Ответ. S = 20562, 10, 11
3 Задание. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = cosх,
у = 0, х = - π4, х = π4.
Решение. 1. Построим графики данных линий.

Рис.40
2. Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией.
3. S = Fв - Fа, где Fx - первообразная для функции fx = cosх, в = π2, а = -π4.
S = Fπ2 - F-π4,
Fx = sinх,
S = sinπ2 - sin-π4 = 0 + 22 = 22.
Ответ. S = 22. 5
4 Задание. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = sinх,
у = 0, х = π2, х = π.
Решение. 1. Построим графики данных линий.

Рис.41
2. Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией.
3. S = Fв - Fа, где Fx - первообразная для функции fx = sinх, в = π2, а = -π4.
S = Fπ2 - F-π4,
Fx = -cosх,
S = -cosπ2 - -cos(-π4) = 0 + 22 = 22.Ответ. S = 22.2
4
5 Задание. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = х2,
у = 4.
Решение.
Построим графики данных линий
А
В
У
Х
4
у = х22
- 2

0

Рис.42
Заштрихованная фигура не является криволинейной трапецией.
Sзаштр= S-2АВ2 - Sкр.тр.,S-2АВ2 = 4∙4 = 16,
Sкр.тр. = Fв - Fа, где Fx - первообразная для функции fx = х2, в = 2, а = -2Fx = х33,
Sкр.тр. = F2 - F-2,Sкр.тр. = 233 – (-2)33 = 83 - -83 = 83 + 83 = 163 = 513Sзаштр = 16 - 513 = 1013.
Ответ. Sзаштр= 1013. 2
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №29
Решение уравнений
Определение 1. Линейным уравнением с одной переменной х
называется уравнение вида aх = b, где a, b – действительные числа, а ≠0.
Определение 2. Квадратным уравнением называется уравнение вида
aх2 + bх + c = 0, где a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.
Определение 3. Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если
f(x) и g(x) - рациональные выражения. Если f(x) и g(x) – целые
выражения, то уравнение называется целым, если хотя бы одно из
выражений f(x) или g(x) являются дробными, то уравнение
называют дробным.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на
общий знаменатель;
решить полученное целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в ноль
общий знаменатель.
Определение 4. Уравнение, содержащее переменную под знаком
радикала или под знаком возведения в дробную степень,
называется иррациональным.
При решении иррационального уравнения необходимо избавиться
от радикала. При возведении обеих частей иррационального
уравнения в степень могут появиться посторонние корни, поэтому
необходима проверка или наложение условий.
Определение 5. Уравнение, содержащее переменную в показателе
степени, называется показательным (ax = b – простейшее
показательное уравнение, x = logab).
Определение 6. Уравнение, содержащее переменную под знаком
логарифма или в основании логарифма, называется
логарифмическим (logafx=b – простейшее логарифмическое
уравнение, а >0, а ≠ 1, fx>0, fx = ab).
Определение 7. Уравнение, содержащее переменную под знаком
тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения.
1.cosх = a, a≤ 1,
x =± arccos a + 2πn, n∈ Z.
Частные случаи:
а) cosх = 1, х = 2πn, n∈ Z;
б) cosх = 0, х = π2 + πn, n∈ Z;
в) cosх = - 1, х = -π + 2πn, n∈ Z
2. sinх = a, a≤ 1,
х = -1n∙arcsina + πn, n∈ Z;
Частные случаи:
а) sinх = 1, х = π2 + 2πn, n∈ Z;
б) sinх = 0, х = πn, n∈ Z
в) sinх = -1, х =- π2 + 2πn, n∈ Z;
3.tg x = a,
x = arctg a + πn, n∈ Z.
№ задания Условие и план решения или решение
1 Уравнения, приводимые к линейным.
Задание. Решите уравнения:
2х + 5 = 3(х + 1) + 11
Решение.
2х + 5 = 2(х + 1) + 11,
2х + 5 = 3х + 2 + 11,
2х – 3х = 13 – 5,
-х = 8,
х = - 8.
Ответ. х = - 8.
2 Задание. Решите уравнения:
4 4х-8 = 2.
Решение.
4х – 8 ≠ 0, следовательно, 4х ≠ 8, х ≠ 2.
Умножим обе части уравнения на 4х – 8, получим:
4 = 2(4х – 8),
4 = 8х – 16,
8х = 20,
х = 208 = 2,5.
Ответ. х = 2,5.
3 Задание. Решите уравнения:
(х – 4)∙(х + 9) = х2 - 6.
Решение.
(х – 4)∙(х + 9) = х2 – 6,
х2 - 4х + 9х – 36 = х2 - 6,
5х = 36 – 6,
5х = 30,
х = 6.
Ответ. х = 6.
4 Уравнения, приводимые к квадратным.
Задание. Решите уравнения:
№1. 3х4 - 13х2 + 4 = 0 – биквадратное уравнение.
Решение.
Пусть х2=t, t≥0, тогда получим уравнение
3t2 - 13t + 4 = 0
а =3; b= -13; c=4,D = b2 - 4ac = (- 13)2 - 4∙3∙4 = 169 – 48= 121,
D = 121 = 11,
t = -b ±D2a = --13 ±112∙3 = 13±116;
t1 = 13+116 = 246=4; t2 = 13-116 = 26 = 13,
х2=4, следовательно, х = ± 2,
х2=13, следовательно, х = ± 13.
Ответ. х = ± 2, х = ± 13.
5 Задание. Решите уравнения:
2х4 + 3х3 - 16х2 + 3х + 2 = 0.
Возвратное уравнение четвертой степени. Разделим каждый член уравнения на х2 ≠ 0 .
2х4х2 + 3х3 х2 - 16х2х2 + 3хх2 + 2х2 = 0,
2х2 + 3х – 16 + 3х + 2х2 = 0,
Сгруппируем члены уравнения:
2х2+ 2х2 + 3х + 3х - 16 = 0,
2х2+ 1х2 + 3х + 1х - 16 = 0,
Пусть х + 1х = t, тогда
х + 1х2= х2+ 2∙х∙1х + 1х2 = х2+ 2 + 1х2 = t2,
х2 + 1х2 = t2 – 2, и данное уравнение относительно t
принимает вид:
2(t2 – 2) + 3 t – 16 = 0,
2t2 + 3 t – 20 = 0
а =2; b= 3; c=-20,D = b2 - 4ac = (3)2 - 4∙2(-20) = 9 + 160 =169,
D = 169 = 13,
t = -b ±D2a = -3 ±132∙2 = -3 ±134 ;
t1 = -3+134 = 104=52; t2 = -3-134 = -164 = - 4.
х + 1х = 52 или
2х2 + 2 = 5х,
2х2 - 5х + 2 = 0
а =2; b= -5; c=2,D = b2 - 4ac = (- 5)2 - 4∙2∙2 = 25 – 16 = 9,
D = 9 = 3,
x = -b ±D2a = --5 ±32∙2 = 5 ±34;
x1 = 5+34 = 2; x2 = 5-34= 24 = 0,5.
х + 1х = - 4
х2+ 1 + 4х = 0
х2 + 4х + 1 = 0
а =1; b= 4; c=1,D = b2 - 4ac = 42 - 4∙1∙1 = 16 – 4 = 12,
D = 12 = 4∙3 = 23,x = -b ±D2a = -4 ±232∙1 = -4 ±232 = - 2±3Ответ. x1= 2, x2 = 0,5, х = -2±3.
6 Рациональные уравнения.
Задание. Решите уравнения:
1х-7 - 1х-1 = 1х-10 - 1х-9Решение.
1х-7 - 1х-1 = 1х-10 - 1х-9Приведем дроби стоящие слева и справа к общему знаменателю.
х-1- (х-7)х-7∙(х-1) = х-9-(х-10)х-10∙(х-9),
х-1-х+7х-7∙(х-1) = х-9-х-10х-10∙(х-9),
6х2-7х-х+7 = 1х2-10х-9х+90,6х2-8х+7 = 1х2-19х+90, используя свойство пропорции получим:
6∙х2-19х+90 = 1∙х2-8х+7,
6х2-6∙19х+6∙90 = х2-8х+7,
6х2-114х+540 - х2+8х-7 = 0,
5х2-106х+533 = 0 (полное квадратное уравнение),
а =5; b= -106; c=533,D = b2 - 4ac = (- 106)2 - 4∙5∙533 = 11236 – 10660 = 576,
D = 576 = 24,
x = -b ±D2a = 106 ±242∙5 = 106 ±2410 ;
x1 = 106+2410 = 13010=13; x2 = 106-2410= 8210 = 8,2,
при найденных значениях неизвестной знаменатели ни одной из дробей нулю не равны, следовательно, х = 13 и х = 8,2 являются корнями данного уравнения.
Ответ. х = 13, х = 8,2
7 Иррациональные уравнения.
Задание. Решите уравнения:
№1. х2-5 = 2.
Решение.
Возведём в квадрат обе части данного уравнения:
х2-52 = 22, получим:
х2-5 = 4,
х2= 9, х = ± 3.
Так как при возведении обеих частей иррационального уравнения в степень могут появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка или наложение условий.
Проверка.
х = - 3,
(-3)2-5 = 2,
9-5 = 2,
4 = 2, 2 = 2 – верно, следовательно, х = - 3 является решением данного уравнения.
х = 3,
(3)2-5 = 2,
9-5 = 2,
4 = 2, 2 = 2 – верно, следовательно, х = 3 является решением данного уравнения.
Ответ. х = ± 3.
8 Задание. Решите уравнения:
6х2- 3х-1 = 2х-1Решение.
6х2- 3х-12 = 2х-12, 6х2- 3х-1 = 2х-1 2х-1 ≥ 0
решаем первое уравнение и
делаем проверку выполнения второго условия.
6х2- 5х = 0 (неполное квадратное уравнение)
х6х-5 = 0,
х = 0 или 6х – 5 = 0
6х = 5
х = 56.
Проверка.
х = 0
2∙0 – 1 ≥ 0,
- 1 ≥ 0 – неверно, следовательно, х = 0 не является решением данного уравнения.
2) х = 562∙56 – 1 ≥ 0,
53 - 1 ≥ 0,
23 ≥ 0 – верно, следовательно, х = 56 является решением данного уравнения.
Ответ. х = 56.
9 Задание. Решите уравнения:
2 + 2х-1 = х.
Решение.
2х-12 = х - 22.
2х-1 = х2 - 2∙х∙2 + 4,
х – 2 ≥ 0
решаем первое уравнение и
делаем проверку выполнения второго условия.
х2 – 4х + 4 – 2х + 1 = 0,
х2 – 6х + 5 = 0 (полное квадратное уравнение)
а =1; b= -6; c=5,D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4∙1∙5 = 36 – 20= 16,
D = 16 = 4,x = -b ±D2a = 6 ±42∙1 .
х1 = 6+42∙1= 102 = 5, х2 = 6-42∙1 = 22 = 1.
Проверка.
х1 = 5
5 – 2 ≥ 0, 3 ≥ 0 – верно, следовательно, х = 5 является решением данного уравнения.
х2 = 1
1 – 2 ≥ 0
- 1 ≥ 0 – неверно, следовательно, х = 1 не является решением данного уравнения.
Ответ. х = 5.
10 Задание. Решите уравнения:
4246+23х+5х2 = 4.
Решение.
(4246+23х+5х2)4 = 44,
246+23х+5х2 = 256,
246+23х+5х2 – 256 = 0,
5х2 + 23х – 10 = 0 (полное квадратное уравнение)
а =5; b= 23; c=-10,D = b2 - 4ac = (23)2 - 4∙5∙(-10) = 529 + 200 = 729,
D = 729 = 27,x = -b ±D2a = -23 ±272∙5 = -23 ±2710.
х1 = -23+2710= 410 = 0,4; х2 = -23-2710 = -5010 = -5.
Ответ. х1 = 0,4; х2 = -5.
11 Показательные уравнения.
Задание. Решите уравнения:
34х = 153.
Решение.
34х = 3-15;
4х = - 15.
х = - 15 ÷4 = - 15 ∙ 14 = - 120.
Ответ. х = - 120.
12 Задание. Решите уравнения:
45х-3 = 64х-2.
Решение.
45х-3 = 64х-2,
45х-3 = 43х-2,
45х-3 = 43∙х-2,
5х – 3 = 3∙х-2,
5х – 3 = 3х – 6,
5х – 3х = - 6 + 3,
2х = - 3,
х = - 32 = - 1,5.
Ответ. х = - 1,5.
13 Задание. Решите уравнения:
64х-4 = 16.
Решение.
64х-4 = 16,
43х-4 = 42,
43∙(х-4)= 42,
3∙(х-4) = 2,
3х – 12 = 2,
3х = 14,
х = 143 = 423.
Ответ. х = 423.
14 Задание. Решите уравнения:
10∙5х-1 + 5х+1 = 7.
Решение.
10∙5х-1 + 5х+1 = 7,
в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель
(степень с меньшим показателем) 5х-1,
5х-1∙(10 + 5х+1-х+1 ) = 7,
5х-1 ∙(10 + 52) = 7,
5х-1∙35 = 7,
5х-1 = 735,
5х-1 = 15,
5х-1 = 5-1,
х – 1 = -1,
х = - 1 + 1 = 0.
Ответ. х = 0.
15 Задание. Решите уравнения:
32х- 2∙3х- 3=0.
Решение.
32х- 2∙3х- 3=0
пусть 3х = t >0, тогда 32х = 3х2 = t2.
Данное уравнение принимает вид:
t2 - 2∙t - 3 = 0 (полное квадратное уравнение)
а =1; b= -2; c=-3,D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4∙1∙(-3) = 4 + 12 =16,
D = 16 = 4,
t = -b ±D2a = 2 ±42∙1 = 2 ±42 ;
t1 = 2 + 42 = 3; t2 = 2 - 42 = -22 = - 1.
3х = 3, х = 1.
3х = - 1 не удовлетворяет условию t >0.Ответ. х = 1.
16 Задание. Решите уравнения:
27х+ 48х= 2∙64х
Решение.
27х+ 48х= 2∙64х
33х + 3∙42х = 2∙43х,
разделим каждый член уравнения на 43х ≠ 0, получим:
33х43х + 3∙42х43х = 2∙43х43х,
343х + 34х - 2 = 0.
Пусть 34х = t >0, тогда имеем:
t 3+ t - 2 = 0.
t 3 - 1 + t - 1 = 0,
t - 1 ∙t 2+t +1 + t - 1 = 0.
t - 1 ∙ t 2+t +1+1 = 0,
t - 1 ∙ t 2+t +2 = 0,
t – 1 = 0 или t 2+t +2 = 0
t= 1 а =1; b= 1; c=2, D = b2 - 4ac = 12 - 4∙1∙2 = 1- 8 = - 7 < 0 корней нет.
34х = 1
34х = 340,
х = 0.
Ответ. х = 0.
17 Логарифмические уравнения.
Задание. Решите уравнения:
log23х+1 = 3,
по определению логарифма имеем:
3х + 1 = 23,
3х = 8 – 1,
3х = 7,
х = 73.
Проверка.
х = 73log23∙ 73+1 = 3,
log27+1 = 3.
log28 = 3,
3 = 3 – верно, следовательно, х = 73 является корнем данного уравнения.
Ответ. х = 73.
18 log7х2- 2х-8 = 1.
Решение.
По определению логарифма имеем:
х2- 2х-8 = 71,
х2- 2х-8 - 7 = 0,
х2- 2х-15 = 0 (полное квадратное уравнение)
а =1; b= -2; c=-15,D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4∙1∙(-15) = 4 + 60 = 64,
D = 64 = 8,x = -b ±D2a = 2 ±82∙1 = 2 ±82.
х1 = 2+ 82= 5; х2 = 2-82= -62 = -3.
Проверка.
х1 = 5log752- 2∙5-8 = 1.
log77 = 1,
1 = 1 – верно, следовательно, х = 5 является корнем данного уравнения.
х2 = -3
log7(-3)2- 2∙(-3)-8 = 1.
log77 = 1.
1 = 1 – верно, следовательно, х = -3 является корнем данного уравнения.
Ответ. х = 5, х = -3.
19 log15х2- 6х+22 = log156х-5.
Решение.
log15х2- 6х+22 = log156х-5 х2- 6х+22 = 6х-5 6х-5 >0Решаем первое уравнение и делаем проверку выполнения неравенства.
х2- 6х+22 - 6х+5 = 0.
х2- 12х+27 = 0
а =1; b= -12; c=27,D = b2 - 4ac = (-12)2 - 4∙1∙27 =144 – 108 = 36,
D = 36 = 6,x = -b ±D2a = 12 ±62∙1 = 12 ±62.
х1 = 12+62= 9; х2 = 12-62 = 62 = 3.
Проверка.
х1 = 96∙9-5 >054-5 >049 >0 - верно, следовательно, х = 9 является корнем данного уравнения.
х2 = 3
6∙3-5 >018-5 >013 >0 - верно, следовательно, х = 3 является корнем данного уравнения.
Ответ. х = 9, х = 3.
20 log10х-9 + log102х-1 = 2.
Решение.
log10х-9 + log102х-1 = 2,
log10х-9∙ 2х-1 = 2 по определению логарифма имеем:
х-9∙ 2х-1 = 102,
2х2 - 18х – х + 9 -100 = 0,
2х2 - 19х - 91 = 0,
а =2; b= -19; c=-91,D = b2 - 4ac = (-19)2 - 4∙2∙(- 91) =361 + 728 = 1089,
D = 1089 = 33,x = -b ±D2a = 19 ±332∙2 = 19 ±334 .
х1 = 19+334 = 524=13; х2 = 19-334 = -144 = -3,5.
Проверка.
х = 13
log1013-9 + log102∙13-1 = 2
log104 + log1025 = 2
log104∙25 = 2
log10100 = 2
2 = 2 – верно, следовательно, х = 13 является корнем данного уравнения.
х = - 3,5
log10-3,5-9 + log102∙(-3,5)-1 = 2,
log10-12,5 + log10-8 = 2 – неверно, так как логарифмы отрицательных чисел не существуют.
Ответ. х = 13.
21 Тригонометрические уравнения.
Задание. Решите уравнения:2sinх = 2.
Решение.
2sinх = 2,
sinх= 22,
х = -1n∙arcsin22 + πn, n∈ Z,
arcsin22 = π4 , так как 1) π4 ∈ - π2; π2 и 2) sinπ4 = 22.
Ответ. х = -1n∙π4 + πn, n∈ Z.
22 Задание. Решите уравнения:sin6х= 32.
Решение.
sin6х= 32,
6х = -1n∙arcsin32 + πn, n∈ Z,
arcsin32 = π3 , так как 1) π3 ∈ - π2; π2 и 2) sinπ3 = 32,
6х = -1n∙π3 + πn, n∈ Z,
х = -1n∙π3∙6 + πn6, n∈ Z,
х = -1n∙π18 + πn6, n∈ Z.
Ответ. х = -1n∙π18 + πn6, n∈ Z.
23 Задание. Решите уравнения: cos9х = 12.
Решение.
cos9х = 12,
9x =± arccos 12 + 2πn, n∈ Z,
arccos 12 = π3, так как 1) π3 ∈ 0; π и 2) cosπ3 = 12,
9x =± π3 + 2πn, n∈ Z,
х = =± π3∙9 + 2πn9, n∈ Z,
х = ± π27 + 2πn9, n∈ Z.
Ответ. х = ± π27 + 2πn9, n∈ Z.
24 Задание. Решите уравнения:43tg- 5x + 7π9 = 0.
Решение.
43tg- 5x + 7π9 – 12 = 0,
43tg- 5x + 7π9 = 12,
tg- 5x + 7π9 = 1243,
tg- 5x + 7π9 = 33 = 3,
- 5x + 7π9 = arctg 3 + πn, n∈ Z,
arctg 3 = π3 , так как 1) π3 ∈- π2; π2 и 2) tgπ3 = 3- 5x + 7π9 = π3 + πn, n∈ Z,
- 5x = π3 + πn - 7π9, n∈ Z,
- 5x = 3π9 + πn - 7π9, n∈ Z,
- 5x = - 4π9 + πn, n∈ Z,
x = - 4π9∙-5 + πn-5, n∈ Z,
x = 4π45 - πn5, n∈ Z,
Ответ. x = 4π45 - πn5, n∈ Z.
25 Задание. Решите уравнения:4sin2х - 12sinх+ 5 = 0
Решение.
4sin2х - 12sinх+ 5 = 0,
пусть sinх = у, тогда имеем
4у2 - 12у + 5 = 0 (полное квадратное уравнение),
а =4; b= -12; c=5,D = b2 - 4ac = (-12)2 - 4∙4∙5 =144 – 80 = 64,
D = 64 = 8,у = -b ±D2a = 12 ±82∙4 = 12 ±88,
у1 = 12+88= 208= 52 ; у2 = 12-88 = 48 = 12 .
sinх = 52 - решений нет, так как sin⁡х≤ 1,
sinх = 12х = -1n∙arcsin12 + πn, n∈ Z,
arcsin12 = π6 , так как 1) π6 ∈ - π2; π2 и 2) sinπ6 = 12,
х = -1n∙π6 + πn, n∈ Z.
Ответ. х = -1n∙π6 + πn, n∈ Z.
26 Задание. Решите уравнения:4cos2х + 4cosх - 3 = 0
Решение.
4cos2х + 4cosх - 3 = 0
пусть cosх = у, тогда имеем:
4у2 + 4у - 3 = 0 (полное квадратное уравнение),
а =4; b= 4; c=-3,D = b2 - 4ac = 42 - 4∙4∙(-3) =16 + 48 = 64,
D = 64 = 8,у = -b ±D2a = -4 ±82∙4 = -4 ±88,
у1 = -4+88= 48= 12 ; у2 = -4-88= -128 =- 32 .
cosх = 12,
x =± arccos 12 + 2πn, n∈ Z,
arccos 12 = π3 , так как 1) π3 ∈ 0; π и 2) cosπ3 = 12,x =± π3 + 2πn, n∈ Z;
2)cosх = 52 - решений нет, так как cosх≤ 1.
Ответ. x =± π3 + 2πn, n∈ Z.
27 Задание. Решите уравнения:cos2х + 6 sinх- 6 = 0.
Решение.
cos2х + 6 sinх- 6 = 0,
выразим cos2х через sin2х по формуле cos2х + sin2х = 1,
cos2х = 1 - sin2х, тогда
1 - sin2х + 6 sinх- 6 = 0,
- sin2х + 6 sinх- 5 = 0,
пусть sinх = у, тогда имеем:
-у2 + 6 у – 5 = 0 (полное квадратное уравнение)
а =-1; b= 6; c=-5,D = b2 - 4ac = 62 - 4∙(-1)∙(-5) =36 - 20 = 16,
D = 16 = 4,у = -b ±D2a = -6 ±42∙(-1) = -6 ±4- 2 ,
у1 = -6+4- 2 = -2-2=1; у2 = -6-4- 2 = -10-2 = 5 .
sinх = 1 (частный случай)
х = π2 + 2πn, n∈ Z;
sinх = 5 - решений нет, так как sin⁡х≤ 1.
Ответ. х = π2 + 2πn, n∈ Z
28 Задание. Решите уравнения:2sin2х + 7cosх+2 = 0.
Решение.
2sin2х + 7cosх+2 = 0, заменим sin2х = 1- cos2х получим:
2(1- cos2х) + 7cosх+2 = 0,
2 - 2cos2х + 7cosх+2 = 0,
- 2cos2х + 7cosх+4 = 0,
Пусть cosх = у, тогда имеем:
-2у2 + 7 у + 4 = 0 (полное квадратное уравнение),
а =-2; b= 7; c=4,D = b2 - 4ac = 72 - 4∙(-2)∙4 =49 + 32 = 81,
D = 81 = 9,у = -b ±D2a = -7 ±92∙(-2) = -7 ±9-4 ,
у1 = -7+9-4 = 2-4=-12; у2 = -7-9-4 = -16-4 = 4 ,
cosх = -12,
x =± arccos -12 + 2πn, n∈ Z,
arccos -12 = 2π3 , так как 1) 2π3 ∈ 0; π и 2) cos2π3 =- 12,x =± 2π3 + 2πn, n∈ Z;
2)cosх = 4 - решений нет, так как cosх≤ 1.
Ответ. x =± 2π3 + 2πn, n∈ Z.
Образцы решения заданий
для внеаудиторной самостоятельной работы №30
Решение неравенств
Указание к решению линейных неравенств
Раскройте скобки (если они присутствуют в неравенстве).
Перенесите все выражения с переменной в левую часть неравенства, следите за знаками, числа – в правую часть.
Приведите подобные слагаемые в обеих частях.
Получите значение переменной, разделив обе части неравенства на коэффициент при переменной, помните, что при делении на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное – знак меняется.
Совет: не выполняйте сразу несколько действий в уме!
Определение модуля.
f(x), если f(x) ≥ 0,
f(x) =
- f(x), если f(x) < 0.
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком
модуля, иногда бывает полезно пользоваться геометрической
интерпретацией модуля чисел, согласно которой х означает расстояние
от точки х числовой прямой до начала отсчета, а х-а означает
расстояние на числовой прямой между точками х и а.
№ задания Условие и план решения или решение
1
Линейные неравенства.
Задание. Решите неравенство:
-7х + 3 ≤ 5х – 21.
Решение.
-7х – 5х ≤ - 21 – 3,
- 10х ≤ - 24,
х ≥ -24-10,
х ≥ 2,4.
х
2,4

Ответ. х∈ [2,4; ∞ )2 Задание. Решите неравенство:
9х – 2(2х – 3) < 3(х - 5).
Решение.
9х – 4х + 6 < 3х - 15,
5х – 3х < -15 – 6,
2х < - 21,
х < -212,
х < - 10,5.
-10,5
х

Ответ. х∈ (-∞; -10,5).3
Задание. Решите неравенство:
(х + 5)(х – 8) < х2 - 4.
Решение.
х2 + 5х – 8х – 40 < х2 – 4,
- 3х < - 4 + 40,
- 3х < 36
х > 36- 3,
х > -12.
х
- 12

Ответ. х∈ (- 12;∞).4 Задание. Решите неравенство:
5х-9 < 0.
Решение.
5х-9 < 0, дробь меньше нуля когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Так как 5 > 0, то х – 9 < 0,
следовательно х < 9.
х
9

Ответ. х∈ (-∞; 9).5 Задание. Решите неравенство:
3х-4 > - 1.
Решение.
3х-4 > - 1,
3х-4 + 1> 0,
3+х-4х-4 > 0, х-1х-4 > 0,
Решаем неравенство методом интервалов.
Нули числителя: х – 1 = 0, х = 1.
Нули знаменателя: х – 4 = 0, х = 4.
Отметим на числовой прямой нули числителя и знаменателя и определим знак левой части неравенства в каждом интервале и запишем ответ согласно условию примера.
4
1
х
-
+
+

Ответ. х∈ (-∞; 1) ∪ (4;∞).6 Кусочно-линейные неравенства.
Задание. Решите неравенство:
3-3х > 6.
Решение.
1 случай.
3 – 3х > 0, тогда 3-3х = 3 – 3х, имеем
3 – 3х > 0
3 – 3х > 6
– 3х > - 3
– 3х > 6 – 3
х < - 3- 3 х < 3- 3 х < 1
х < -1х
1
- 1

Ответ для 1 случая. х∈ (-∞; - 1).2 случай.
3 – 3х < 0, тогда 3-3х = - (3 – 3х) = 3х - 3, имеем
3 – 3х < 0
3х – 3 > 6,
– 3х < - 3
3х > 6 + 3,
х > - 3-3 х > 93 ,
х > 1х
1
3
х > 3,

Ответ для 2 случая. х∈ (3;∞).Решением данного неравенства является объединение решений 1 случая и 2 случая.
Ответ для данного неравенства. х∈ (-∞; - 1) ∪ (3;∞).7 Задание. Решите неравенство:
4х+2 > 1.
Решение.
1 случай.
4х+2 > 0, тогда 4х+2 = 4х+2, имеем
4х+2 > 0
4х+2 > 1,
4х > - 2
4х > 1 – 2,
х > - 24 х > - 14,
х > -12 х > - 14,
х
- 14- 12
Ответ для 1 случая х∈ (- 14; ∞).2 случай.
4х+2 < 0, тогда 4х+2 = - 4х+2=-4х-2 , имеем
4х+2 < 0
-4х-2 > 1,
4х < - 2
-4х > 1 + 2,
х < - 24 х < 3- 4,
х < -12 х < -3 4,
х
- 12- 34
Ответ для 2 случая. х ∈ (-∞; - 34).
Решением данного неравенства является объединение решений 1 случая и 2 случая.
Ответ для данного неравенства.
х∈ (-∞; - 34) ∪ (- 14;∞).8 Задание. Решите неравенство:
1- х4 ≥ 5.
Решение.
1 случай.
1- х4 > 0, тогда 1- х4 = 1- х4, имеем:
1- х4 > 0
1- х4 ≥ 5,
- х4 > - 1
- х4 ≥ 4,

х < 4
х ≤ 16
х
4
16

Ответ для 1 случая х∈ ( - ∞;4).2 случай. 1- х4 < 0,
тогда 1- х4 = - 1- х4= х4- 1, имеем:
1- х4 < 0
х4- 1 ≥ 5
- х4 < - 1
х4 ≥ 5 + 1
х > 4
х ≥ 24
х
4
24

Ответ для 2 случая. [24; ∞).
Решением данного неравенства является объединение решений 1 случая и 2 случая.
Ответ для данного неравенства.
х∈ (-∞; 4) ∪ [24;∞).9 Квадратные и степенные неравенства.
Задание. Решите неравенство:
6х2 - 13х + 5 ≤ 0.
Решение.
6х2 - 13х + 5 ≤ 0(квадратное неравенство).
Рассмотрим функцию: у = 6х2 - 13х + 5 .
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а = 6 > 0.
Выясним, как расположена парабола относительно оси х, для этого решим уравнение:
6х2 - 13х + 5 =0
а = 6; b=-13; c=5,D = b2 - 4ac = (-13)2 - 4∙(6)∙(5) = 169 - 120 = 49,
D = 49 = 7,
x = -b ±D2a = 13 ±72∙6 = 13 ±712 ;
x1 = 13+712 = 2012= 123; x2 = 13-712 = 612 = 12 ,
Парабола пересекает ось х в двух точках х = 123, х = 12 .
Изобразим схематически расположение параболы в координатной плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси х.
х
12123+
-
+


Рис.43
Ответ. 12;1232 способ решения.
6х2 - 13х + 5 ≤ 0(квадратное неравенство).
Разложим левую часть неравенства на множители по формуле: ах2 + вх + с = ах-х1∙х-х2, где х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + вх + с.
Найдём корни квадратного трехчлена, решив уравнение:
6х2 - 13х + 5 =0
а = 6; b=-13; c=5,D = b2 - 4ac = (-13)2 - 4∙(6)∙(5) = 169 - 120 = 49,
D = 49 = 7,
x = -b ±D2a = 13 ±72∙6 = 13 ±712 ;
x1 = 13+712 = 2012= 123; x2 = 13-712 = 612 = 12 .
Имеем 6х2 - 13х + 5 = 6х-123∙х-12.
12312х+
-
+
Решим неравенство 6х-123∙х-12≤ 0 методом интервалов.
Ответ. 12;123.
10 Задание. Решите неравенство:
х+13 < 125.
Решение.
х+13 < 53, так как функция у = tn возрастает на всей области определения, то х +1 < 5, х < 4.
4
х

Ответ. х∈ (-∞; 4)11 Показательные неравенства (приведение обеих частей неравенства к одному основанию).
Задание. Решите неравенство:
6х-5 > 36.
Решение.
6х-5 > 62, так как а = 6 > 1, то функция 6t возрастает, следовательно, х – 5 > 2,
х
7
х > 7.
Ответ. х∈(7;∞).12 Задание. Решите неравенство:
3х+2 < 27.
Решение.
3х+2 < 33, так как а = 3 > 1, то функция 3t - возрастает, следовательно, х + 2 < 3,
х < 1.
х
1

Ответ. х∈ (-∞; 9).13 Задание. Решите неравенство:
28х-9 ≤ 165х+9.
Решение.
28х-9 ≤ 245х-9,
28х-9 ≤ 24∙(5х-9), так как а = 2 > 1, то функция 2t - возрастает, следовательно,
8х – 9 ≤ 4∙(5х-9),
8х – 9 ≤ 20х – 36,
8х – 20х ≤ - 36 + 9,
- 12х ≤ -27,
х ≥ - 27- 12, х ≥ 2312, х ≥ 214, х ≥ 2,25.
х
2,25

Ответ. х∈(2,25;∞).Задание. Решите неравенство:
15х < 125.
Решение.
15х < 15-3, так как а = 15 < 1, то функция 15t - убывает, следовательно, х > - 3.
х
- 3

Ответ. х∈(- 3;∞).14 Задание. Решите неравенство:
76х < 147 .
Решение.
76х < 7-14, так как а =7 > 1, то функция 7t - возрастает, следовательно, 6х < -14,
х < -14 ÷6,
х < -124 ,х
-124
Ответ. х∈ -∞; - 124.15 Задание. Решите неравенство:
41-х + 4- х ≤ 80.
Решение (решаем способом вынесения общего множителя за скобки).
41-х + 4- х ≤ 80,
4-х (41 + 1) ≤ 80,
4-х ∙5 ≤ 80,
4-х ≤ 805, 4-х ≤ 16,
4-х ≤ 42, так как а = 4 > 1, то функция 4t возрастает, следовательно, – х ≤ 2, х ≥ 2.
х
2

Ответ. х∈(2;∞).16 Логарифмические неравенства.
Задание. Решите неравенство:
log35х-6 - 3 < log32.
Решение.
log35х-6 < log32 + 3,
log35х-6 < log32 + log333,
log35х-6 < log32∙33
log35х-6 < log354,
Так как Dlogах=(0; ∞), то
5х-6 > 0.
Так как а = 3 > 1, то функция log3t – возрастает, следовательно, 5х-6 < 54.
Имеем 5х-6 > 0
5х-6 < 54,
5х > 6
5х < 54 + 6,
х > 65 х < 605,
х > 1,2 х < 121,2
12
х

Ответ. (1,2; 12)
17 Задание. Решите неравенство:
log2х-1 + log2х < 1.
Решение.
Так как Dlogах=(0; ∞), то
х -1> 0,
х > 0.
log2(х-1∙х) < log221;
так как а = 2 > 1, то функция log2t – возрастает, следовательно, х-1∙х < 21;имеем: х -1> 0,
х > 0
х-1∙х < 21,
х > 1
х > 0
х2- х-2< 0 (квадратное неравенство).
Рассмотрим функцию: у = х2 - х - 2 .
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а = 1 > 0.
Выясним, как расположена парабола относительно оси х, для этого решим уравнение:
х2 - х - 2 =0
а=1; b=-1; c=-2,D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4∙(1)∙(-2) = 1 + 8 = 9,
D = 9 = 3,
x = -b ±D2a = -(-1) ±32∙1 = 1 ±32 ;
x1 = 1+32 = 42= 2; x2 = 1-32 = -22 =- 1 ,
парабола пересекает ось х в двух точках х = 2, х = 1 .
Изобразим схематически расположение параболы в координатной плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси х.
х
2
-1
+
-
+

Рис.44
Ответ для квадратного неравенства (-1; 2).
Найдём ответ для системы неравенств:
х > 1
х > 0
-1 < х < 2
- 1
0
1
2
х

Ответ. (1; 2).
18 Задание. Решите неравенство:
log4х2+ 2х-8 < 2.
Решение.
log4х2+ 2х-8 < log442,
так как Dlogах=(0; ∞), то х2+ 2х-8 > 0;
так как а = 4 > 1, то функция log4t – возрастает, следовательно, х2+ 2х-8 < 16;имеем:
х2+ 2х-8 > 0 (1 неравенство)
х2+ 2х-8 < 16 (2 неравенство).
Решим 1 неравенство:
х2+ 2х-8 > 0
Рассмотрим функцию: у = х2 +2х - 8 .
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а = 1 > 0.
Выясним, как расположена парабола относительно оси х, для этого решим уравнение:
х2 +2х - 8 =0
а=1; b=2; c=-8,D = b2 - 4ac = (2)2 - 4∙(1)∙(-8) = 4 + 32 = 36,
D = 36 = 6,
x = -b ±D2a = -2 ±62∙1 = -2 ±62 ;
x1 = -2+62 = 42= 2; x2 = -2-62 = -82 =- 4 ,
парабола пересекает ось х в двух точках х = - 4, х = 2 .
Изобразим схематически расположение параболы в координатной плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х.
+
--
+

х
-4

2

Рис.45
Ответ для 1 неравенства: (-∞; -4) ∪ (2; ∞).
Решаем 2 неравенства:
х2+ 2х-8 < 16,х2+ 2х-8-16 < 0,х2+ 2х-24< 0Рассмотрим функцию: у = х2 +2х - 24 .
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а = 1 > 0.
Выясним, как расположена парабола относительно оси х, для этого решим уравнение:
х2 +2х - 24 =0
а=1; b=2; c=-24,D = b2 - 4ac = (2)2 - 4∙(1)∙(- 24) = 4 + 96 = 100,
D = 100 = 10,
x = -b ±D2a = -2 ±102∙1 = -2 ±102 ;
x1 = -2+102 = 82= 4; x2 = -2-10 2 = -122 =- 6 ,
парабола пересекает ось х в двух точках х = - 6, х = 4 .
Изобразим схематически расположение параболы в координатной плоскости и найдем на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси х.
- 6
4
х
+
_
+

Рис.46
Ответ для 2 неравенства: (- 6; 4).
Найдем ответ для системы неравенств:
(-∞; -4) ∪ (2; ∞) (- 6; 4).
-6
-4
2
4
х

Ответ. х ∈ (- 6; - 4) ∪ (2; 4)
Ответы.
Задание №3 «Проценты»
1 2 3 4 5 6 7 8
Вариант 1 9 27,5 6 25407,36 4 40 8 10
Вариант 2 8 34,5 4 22304,48 4 276 8 19
Вариант 3 5 60,5 5 17823,3 4 156 6 15
Вариант 4 5 48,6 10 21332,96 6 4 10 16
Вариант 5 8 39,2 10 25482,6 7 196 10 20
Задание №6 «Свойства логарифмов. Решение логарифмических уравнений и неравенств»
Уровень
сложности 1 уровень 2 уровень 3 уровень
1. Вычислите 2; 7; 5,2 9; 8; 3 4; 112; 4
2.Вычислите 1; 12; 4 - 2; 12; 521; 0; 1
Решите уравнение Х = 32
Х = 755Х = 9 Х = 8
Х = 2
Х = 3118 Нет корней
Х = 2
Х = 1+ 52Решите неравенство (25; +∞)(0; 3)
(0; 2) (-1; 26)
(1; + ∞)
(- ∞; 1,3) (11 ; +∞)
(2; 6)
(-2; 5 ]
Задание №7 «Прямые и плоскости в пространстве»
1 2 3 4 5 6
Вариант 1 3210 12 10π123543Вариант 2 3518 18 5π80 2
Вариант 3 9 15 15 16π14363Вариант 4 18 20 20 25π8263Вариант 5 2 6 25 9π46543Задание №10 «Прямые и плоскости в пространстве»
1 2 3 4 5 6 7
Вариант 1 а) (ABC), (ADC)
б) (ABC), (DBC)
в) (ADC), (ADK), (ABD) 12 + 426,3 5 2311
Вариант 2 а) (АDС), (ВКD)
б) (ВСD), (АВС)
в) (АВD), (ВDС), (ВКD) 8 + 824,2 6 8 13
Вариант 3 а) (МQF)
б) (МNP), (PNQ)
в) (MQN), (MQF), (MQP) 18 + 625,1 10 10 52Вариант 4 а) (MPF), (KFP)
б) (MKF), (PKF)
в) (MPF), (MPL), (MPK) 12 + 1227,6 13134514
Вариант 5 а) (MPF), (PKF)
б) (PKF), (MKF)
в) (MPK) 15 + 1028,9 7 6 7
Задание №14 «Координаты и векторы»
1 2 3 4 5
Вариант 1 5; 2 (4; -5; 2)
АС 5210,7
Вариант 2 5; 7 (7; -5; 4) BD1 366- 0,7
Вариант 3 6122В1C1 3460,7
Вариант 4 1417
ВD1 2190,67
Вариант 5 3318 АС1 2460,99
Задание №15 «Вычисление значений тригонометрических функций»
1 2 3 4 5
Вариант 1 π180 ; π3 ;
5π6 ; 11π6 150;
15150;
5400 1;
(3 – 2);
3341;
22;
1 sinα = 35;
tgα= 34;
ctgα= 43Вариант 2 π12 ; π4 ;
5π6 ; 4π3 5400;
-9300;
2700 12;
(5 +32 );
4 2;
322;
- 12sinα =- 265;
tgα=26;
ctgα= 126Вариант 3 π6 ; 3π4 ; 6π5 ; 11π6 3300;
22,50;
5400
1123;
(3 – 3);
2121;
- 4;
-1 cosα =-0,8;
tgα= 34;
ctgα= 43Вариант 4 π180 ; π4 ;
2π3 ; 5π4 120;
1200;
450 2+936;
(23 +1); (314 - 32)1;
(1 + 22); 3sinα = 1213;
tgα=- 125;
ctgα= - 512Вариант 5 π18 ; π3 ;
3π4 ; 4π3150;
1650;
4500 (2 + 1);
(3 – 2);
3141;
-3;
-1 cosα =- 45;
tgα= 34;
ctgα= 43Задание №16 «Применение формул приведения, сложения, удвоения, половинного аргумента»
1 2 3 4 5 6
Вариант 1 32; - 12; - 3; - 13cosα;- cosα; 22; 0; sin 4α;tg 6α;2 sin620;
cos2 280 2+ 32;2- 32;Вариант 2 12; - 32;
- 13; - 3sinα;cosα; 32;
- 1; -cos 8α;tg 6α;2 sin640;
2 tg 500; 2+ 22;2- 22Вариант 3 - 22; - 22;1; 1; cosα;
cosα; sin200;
0; -cos 4α;tg 6α;2 sin620;
cos2 280 12; 22;
Вариант 4 - 12; - 32;
13; 3tg α;cosα; sin200;
0; -cos 4α;tg 6α;2 sin620;
cos2 280 22;
22;
Вариант 5 - 22; 22;
- 1; - 1; ctg α;sinα;22; 0; -cos 4α;tg 6α;tg π5;
cos2 280 22;
22;
Задание №18 «Нахождение области определения и
множества значений функции»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
1 D=R; E=R
x=0;y=-3
x=1,5;y=0 D=R; E=R
x=0;y=5
x=2,5;y=0 D=R; E=R
x=0;y=5
x=5;y=0 D=R; E=R
x=0;y=-5
x=1,25;y=0 D=R; E=R
x=0;y=-3
x=0,75;y=0
2 График парабола
Ветви направлены вверх
Точки пересечения с Оx А(0,4;0); В(1;0)
Точка экстремума М
D=R;
E= График парабола
Ветви направлены вверх
Точки пересечения с Оx А(0,4;0); В(1;0)
Точка экстремума М
D=R;
E= График парабола
Ветви направлены вверх
Точки пересечения с Оx А(-0,5;0); В(1/3;0)
Точка экстремума М
D=R;
E= График парабола
Ветви направлены вверх
Точки пересечения с Оx А(4;0); В(1/2;0)
Точка экстремума М
D=R;
E= График парабола
Ветви направлены вверх
Точки пересечения с Оx А(-2;0); В(1/2;0)
Точка экстремума М
D=R;
E=
3
4
5
6 1) D=R
2)
D=R
2) D=R
1)
D=R 2) D=R
1)
D=R 2) D=R
1)
D=R 1) D=R
2)
D=R
7
Задание №19 «Исследование функции»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
D R R R R\{3} [2;∞)
f(x)=0 3/4 -2;1/2 1 - 2
f(x)>0
f(x)<0 R
Возрастание
Убывание
R
- -
R
-
Задание №20 «Свойства функций»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
1 г г г а Б
2 Г В В В А
3 А Б В Г А
4 Б В Б Г А
5 Б Г Б В Г
6 Г В В Г Б
7 А Г г г А
Задание №23 «Правила и формулы дифференцирования»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
1 4 83 4 -9 -24
2 106 37 3,5 -8
3 -13 103 2 -12,5
4 1696 -237 1590 85 1086
5 4,5 4,5 -6 4,5 15
6 19 9,5 59,5 6,5
7 28/25
8 485/9 -4,5 19,25
9 6
10 6 -3 6 2 6
11 -3 10 -3 -3
12 0 5 0 0 0
13
14 1,5 2
15 12 1458 900 4 -14
16 -32 1000 -10 -32 -32
17 8000 3,6 25,6 1,6
18 0,1
19
20 0 0,5
Задание №24 «Применение производной»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
1 4 0 5 2 -1
2 2 1/3 -1|4 7/74 -1/16
3 2 9 0 7 -8
4 1 -2 -1 1;2 -1;4
5 0;2 0;4 0;1;4 -1;1
6 Острый Острый Тупой острый Тупой
7 V=20-10t
a=-10 V=4-2t
a=-2 V=-10+6t; a=6 V=12-4t;
a=-4 V(1)=9; a(1)=12
Задание №25 «Нахождение первообразной»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1
2
3
4
5
6

Вариант 4 Вариант 5
1
2
3
4
5
6
Задание №27 «Площадь криволинейной трапеции»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
1 16 135
2 3 1 4
4 2 1
Задание №29 «Решение уравнений»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1 1)4,5
2)1
3)-5 1)3
2)6
3)-7,5
2 1)10
2)-7;6
3)-5;5
3
4 1)24
2)-5;4
3)4 1)-4;
2)-0,5;
3)3
5 1)7
2)-1
3)1 1)решений нет
2)1
3)1
6 1)39
2)2,5
3)-5;2 1)-60
2)0,25
3)-2;4
7

Вариант 4 Вариант 5
1 1)-3; 2) -0,5; 3) 7 1)-2; 2) 1,5; 3) 14
2
3
4 1)решений нет; 2)9; 3)-6;1 1) 5; 2) -2,4; 3) ±35
6 1)28
2)2
3)2
7
Задание №30 «Решение неравенств»
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1
2
3
4
5
Вариант 4 Вариант 5
1
2
3
4
5
Список использованной литературыАфанасьева Т.Л. Геометрия (поурочные планы).– Волгоград: 1998.
Башмаков М.И. Математика. – М.: Академия, 2010.
Ксензова Г.Ю. Перспективные школьные технологии. – М.: 2001.
Орехова А.И. Задачи на готовых чертежах.- Мозырь: «Белый ветер», 2011.
Рабинович Е.М. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. – М.: Илекса, 2010.
Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. – М.: 1996.
Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc342337728 \h 3Критерии оценки выполненных заданий PAGEREF _Toc342337729 \h 4Планирование внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по предмету (дисциплине) «МАТЕМАТИКА» PAGEREF _Toc342337730 \h 6Комплект заданий для внеаудиторной самостоятельной работы24Образцы решения заданий…………………………………………………………………………...135
Ответы……………………………………………………………………………………………….....232
Список использованной литературы246