Конспект по математике для 8 класса «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

Урок геометрии в 8 классе
Титова Л.П.
МБОУ «Верхнеуратьминская ООШ», с. Верхняя Уратьма, Нижнекамский район, РТ


Тема: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

Цели урока:
Исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника и научиться их применять при решении задач.
Задачи:
образовательные:
1.Ввести понятия синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. 2.Выработать умение применять эти понятия при решении задач.
3.Доказать справедливость основного тригонометрического тождества и рассмотреть его применение
развивающие:
1.Развитие памяти, внимания, логического мышления.
2.Развитие учебно-познавательной компетенции.
воспитательные:
1.Формирование коммуникативной культуры.
2.Воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда учащегося.
Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися.
Формы работы учащихся: фронтальная и индивидуальная.

Ход урока
Организационный момент: Сдать тетради с домашней работой.

1.Ещё в древности у людей появилась потребность научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами и углами в треугольнике. Слово «тригонометрия» в переводе с греческого языка означает «измерение треугольников».
Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?
Цель нашего урока: исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете решать новые задачи.
Записываем тему урока: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника». 
2. Актуализация опорных знаний.
Какие могут быть углы?
Что такое треугольник?
Основные элементы определяющие треугольник?
Какие бывают треугольники в зависимости от сторон?
Какие бывают треугольники в зависимости от углов?
Чему равна сумма углов треугольника?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Что такое гипотенуза и катеты?
Какие соотношения между сторонами и углами треугольника вы знаете?
1.Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника:
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
2.Сформулируйте следствие о величине гипотенузы и катета в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
3.Сформулировать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30°: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4.Сформулируйте соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Кстати:

Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».

3. Изучение нового материала.

1.Введем понятия противолежащего и прилежащего катетов в прямоугольном треугольнике.

Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным 13 EMBED Equation.3 1415.

В






С А

Выделите красным цветом угол А и катет ВС.
Выделите зеленым цветом катет АС и угол В, а синим гипотенузу АВ.
АВ – гипотенуза
ВС – катет, противолежащий углу А ВС – катет, прилежащий углу В
АС – катет, прилежащий углу А АС – катет, противолежащий углу В

Катет, лежащий против острого угла, называется противолежащим
Катет, выходящий из острого угла, называется прилежащим.

Устно:
Назовите катет, прилежащий к углу О и катет, противолежащий углу О.
Назовите катет, прилежащий к углу Т и катет, противолежащий углу Т.
Назовите катет, прилежащий к углу А1 и катет, противолежащий углу А1.
Назовите катет, прилежащий к углу В1 и катет, противолежащий углу В1.

2.Теперь введем понятие синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, и их обозначения.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
13 EMBED Equation.3 1415
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
13 EMBED Equation.3 1415
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
13 EMBED Equation.3 1415


Найдем отношение синуса угла А к его косинусу:


Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Первичная проверка понимания.

Найти:

sin A = 0,8 sin В = 0,6
sin О = 5/13
sin A1 = 0,8

cos A = 0,6 cos В = 0,8
cos О = 12/13
cos A1 = 0,6

tg A = 4/3 tg В = 3/4
tg О = 5/12
tg A1 = 8/6 = 4/3


Сравните значения синуса, косинуса и тангенса углов и сделайте вывод.

sin A = cos В cos A = sin В tg A = 1 / tg В

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны:

a = c sin
· b = c cos
· a = b tg
·

Физкультминутка для глаз.

Докажем, что если острый угол одного треугольника
равен острому углу другого треугольника, то
синусы этих углов равны
косинусы этих углов равны
тангенсы этих углов равны

Пусть АВС и А1В1С1 – два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С1 и равными острыми углами А и А1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Меняя местами в данных пропорциях крайние члены, получим 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. sin A = sin A1. Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. cos A = cos A1, и
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. tg A = tg A1.
Докажем теперь справедливость равенства sin2A + cos2A = 1

Используя формулы синуса и косинуса получаем:
sin2A + cos2A = 13 EMBED Equation.3 1415

по теореме Пифагора BC2 + AC2 = AB2, отсюда следует sin2A + cos2A = 1. Данное равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

4. Закрепление нового материала.
№591(а, в), 592(а, г, е), 593(а, г)
IV. Итог урока: Подведем итоги нашего урока с помощью кроссворда:





1


















2
Т
А
Н
Г
Е
Н
С













Р







вопросы










Е







по вертикали: 1)геометрическая фигура, имеющая


3
С
И
Н
У
С






три стороны и три угла.







Г







по горизонтали: 2) отношение противолежащего катета к прилежащему;


4
Г
И
П
О
Т
Е
Н
У
З
А

3) отношение противолежащего катета






Л







к гипотенузе; 4) сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла;






Ь







5) отношение прилежащего катета к гипотенузе;

5
К
О
С
Н
Н
У
С





6) сторона треугольника, прилежащая к прямому






И







углу.










6
К
А
Т
Е
Т











Домашнее задание: п. 66, №591(б, г), 592(б, в, д), 593(б, в)

V. Выставление оценок за урок. 









13PAGE 15





13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Рисунок 9Рисунок 1Описание: Рисунок 9Root Entry