Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла
специальность 35.02.12 «Садово-парковое и ландшафтное строительство»
группа СП-17
курс 1
Технологическая карта учебного занятия
Занятие № 34
по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
Количество часов 2
Тема занятия: «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.»Тип занятия: комбинированноеВид занятия: обзорная лекция с элементами практикума
Формы организации занятия:
- индивидуальная,
- фронтальная,
Методы:
- словесный (беседа, объяснение)
наглядный (записи на доске, в рабочих тетрадях)
частично-поисковый
практический ( упражнения по теме занятия, самостоятельная работа)
Цели занятия:
Обучающие:
- Рассмотреть формулы для косинуса, синуса и тангенса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла; познакомить с формулами половинного угла и выражением тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
Развивающие:
- способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
- развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у обучающихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки.
Воспитательные: воспитывать у обучающихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Ход занятия:
Организационный момент (3 мин)
Проверка готовности обучающихся группы к занятиям. Формулировка цели и задач занятия.
Актуализация опорных знаний (15 мин)
Блиц-опрос:
Как определяют функцию синус, косинус, тангенс, котангенс?
В каких пределах может изменяться значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
В какой четверти косинус больше 0, синус отрицателен, тангенс положителен, а котангенс меньше нуля?
Что необходимо знать, чтобы определить знак функции?
Какое направление считается положительным, а какое отрицательным?
В каких единицах может выражаться угол?
Как выполнить переход от радианной меры к градусной и наоборот?
Записать основные тригонометрические тождества
Формулы приведения
Решить упражнения (устно):
Верно ли равенство: ?Определите знак функции: ?Переведите радианную меру угла в градусную: .
Письменно:
Упростить:
а) cos (3π/2 + α) = ; б) tg (3600 – α) = ;
в) sin (π – α) = ; г) sin( π/2 + α) = ;
д) tg ( 2π + α) = ; е) cos ( π/2 – α) = ;
ж) ctg ( π/2 + α ) = ; з) tg ( π + α) = .
2. Вычислите:
а) cos 30o = б) – 2 tg2 450 =
в) а sin 1800 = г) 2sin 300 =
д) sin 1350 = е) sin 750 =
ж) sin 150 = з) cos 1050 = .
3.
Найдите: , , .
Решение.
Так угол лежит в 3 четверти, то
Изучение нового материала. (20 мин.)
Формулы синуса суммы и разности двух углов, косинуса суммы и разности двух углов
sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
sin (α – ß) = sinα · cosβ – cosα · sinβ
cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinßcos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinßФормулы тангенса суммы и разности двух углов
Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β, где
cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.
tg (α +β) = tgα+tgβ1-tgαtgβ tg (α - β) = tgα-tgβ1+ tgαtgβ
Например, сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = cos (97º– 67º) = cos 30º = ;sin 25º сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º) = sin 45º = .
4. Формулы двойного угла
Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α.
Например, cos 2α = cos (α + α ) = cos α cos α – sin α sin α = cos²α – sin²α;
sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + sin α cos α = 2sin α cos α
tg2α = tg (α + α ) = 2tgα1-(tgα)2.
Поэтому, 2 sin 65º cos 65º = sin (2∙ 65º) = sin130º = sin (180º – 50º) = sin 50
Формулы половинного угла
sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosctg2α2=1+cosα1-cosIV. Первичное закрепление материала. (20 мин.)
1.Вычислите (один ученик у доски, другие в тетрадях):
а) sin 75o = sin (45o + 30o) = sin 45o · cos30o + cos 45o · sin 30o =
б) sin 150 = sin(450 – 300) = sin450 ∙ cos300 – cos450 ∙ sin 300
в) cos1050 = cos( 600 + 450) =
б) Доказать, что:
sin ( + х) = – sinx cos ( + х) = – cosxРешение:
sin ( + х) = sin · cosx + cos · sinx = 0 · cosx + (– 1) · sinx = – sinx cos ( + х) = cos · cosx + sin · sinx = (– 1) · cosx – 0 · sinx = – cosxв) Вычислите: sin (x + y), если известно, что
sin x = 3/5, 0 < x < /2 ; cos y = – 3/5, < y < 3 /2
На доске решает один ученик, остальные в тетрадях.
Решение:
Oтвет: –1
Самостоятельная работа (20 мин)
1 вариант
Закончите вычисление с помощью вышерассмотренных формул:сos1050= cos(600 +450) =
Вычислите: sin 20ocos 40o + cos 20o sin 40o
Используя формулы сложения, вычислить cos750 .
Упростить:
а) 2sin15cos15
б) (sin α - cos α)2 + sin2α
2 вариант
Закончите вычисление с помощью вышерассмотренных формул:sin150 = sin(450 – 300) =
Вычислите: cos 47o cos 17o + sin 47o sin 17o
Используя формулы сложения, вычислить sin750.
Упростить:
а) cos2150 – sin2150
б) (sin α + cos α)2 - sin2α
Подведение итогов (7 мин)
Что нового узнали на занятии?
Какие вопросы вызвали затруднения?Комментирование и выставление оценокДомашнее задание
Выучить формулы.
Стр.102 - 104 (учебник Башмаков М.И. Математика: учебник для СПО, - М. 2014)
Решить № 1 (стр. 106)
VI. Литература, необходимая для подготовки к занятию.
Учебник Башмаков М.И. Математика: учебник для СПО, - М. 2014
Интернет-ресурсы
преподаватель Чертенкова Е.И.