Методика подготовки учащихся к решению логарифмических уравнений и логарифмических неравенств в процессе подготовки к ЕГЭ (уровень С3)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная русско -– татарская школа №161» Советского района города Казани.
Проект
Тема: «Методика подготовки учащихся к решению логарифмических уравнений и логарифмических неравенств в процессе подготовки к ЕГЭ (уровень С3)»
Выполнила учитель высшей квалификационной категории
Евстафьева Л.В.
Казань 2014
Цель проекта: Развитие мотивации к познанию и творчеству; формирование умений решения заданий С3; создания условий для социального, культурного и профессионального самоопределения, творческой самореализации личности ребенка.
Задачи проекта:
Изучить оригинальные приемы решения логарифмических уравнений и неравенств
Формировать твердое убеждение в успешности сдачи ЕГЭ;
Приобрести исследовательские компетенции в решении заданий С3;
Разработать методику решения логарифмических уравнений и неравенств (С3).
Актуальность данной темы в настоящее время объясняется тем, что в связи с экономическими и политическими преобразованиями в России модернизируется и среднее (общее) образование. Единый государственный экзамен должен не только определить уровень подготовки выпускников школ, но и задать вектор развития школьной математики на ближайшие несколько лет.
Методы исследования: анализ методической и учебной литературы, базы данных математических задач "Задания для подготовки к единому государственному экзамену" для учащихся 10, 11-х классов,
Учащиеся должны знать:
Методы решения уравнений и неравенств;
Основные приемы их решения;
Должны уметь:
Решать уравнения и неравенства различного типа;
Решать логарифмические неравенства методом рационализации
Решать задания с применением оригинальных приемов;
Введение………………………………………………………………… 4
Требования к общеучебным умениям и навыкам выпускников.….5
Организация подготовки учащихся к выполнению части «С» …..5
Образцы решения экзаменационных задач С3…………………… 7
Заключение……………………………………………………………21
Использованная литература………………………………………….22 Введение
Согласно концепции модернизации российского образования среднее (общее) образование нацелено на формирование социально грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющей потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути. Обучение стало вариативным: появилось новое поколение учебной литературы и согласно закону об образовании учителя отказались от единых учебников, появились современные государственные образовательные стандарты общего образования, началось более широкое внедрение современных, информационных технологий в преподавании всех школьных предметов, изменились цели обучения. Всё это в равной мере касается и образовательной области "математика". Одной из главных идей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критического мышления, овладение математическими знаниями и умениями на всех ступенях обучения, использование приобретённых знаний и умений в практической деятельности. Определены три основные цели модернизации образования: - расширение доступности образования; - повышение качества образования; - повышение эффективности образования. На современном этапе модернизации российского образования главная задача школы – обеспечение ученику качественного образования на основе его фундаментальности, которое бы было востребовано не только на рабочем месте, но и в личном плане, так как образование является своеобразным фундаментом, на котором строится вся дальнейшая судьба человека. Для этого необходимо создать условия для равного доступа в получении качественного образования каждым школьником в соответствии с его индивидуальными образовательными запросами и возможностями.
Требования к общеучебным умениям и навыкам выпускников.
Успешное выполнение большинства заданий по математике связано с развитием такого важнейшего общеучебного умения, как умение внимательно прочитать некоторый связный текст, выделить в приведенной в нем информации только те факты и данные, которые необходимы для получения ответа на поставленный вопрос. (Так неумение осмыслить, что значит точки графика одной функции ниже соответствующих точек графика другой функции, неумение записать условие задачи с помощью математического языка в виде неравенства привело бы к тому, что большая часть выпускников не справилась бы с данным заданием по математике на ЕГЭ.)
Для проведения ЕГЭ разработаны контрольно-измерительные материалы (КИМ) по трем уровням: базовый, повышенный, высокий. Задачи части С рассчитаны на знание стандартных методов и владение стандартными алгоритмами решения стандартных задач. Кроме того , для их успешного выполнения от выпускника требуется:
Внимательность и собранность,
Аккуратность и точность
Умение творчески и нестандартно мыслить
Умение рассуждать и проводить доказательства.
Организация подготовки учащихся к выполнению части «С»
Для успешного выполнения заданий С1 – С4 необходим дифференцированный подход в работе с наиболее подготовленными учащимися. Это относится и к работе на уроке, и к дифференциации домашних заданий и предлагающихся учащимся контрольных, проверочных, диагностических заданий.
Решая задания, следует обратить внимание учащихся на классические методы рассуждений (метод интервалов, метод введения новой переменной и т.д), но не забывать функционально-графический метод, специальные теоремы для решения неравенств. Не следует забывать область допустимых значений (ОДЗ). Проверка является неотъемлемой частью решения задач.
Подготовка к экзамену означает изучение программного материала с включением заданий в формах, используемых при итоговой аттестации. Кроме того, необходимо выявить и ликвидировать отдельные пробелы в знаниях учащихся.
Для решения задач повышенной трудности (части С) нужно не столько просто хорошее математическое образование, сколько наличие определённого уровня математической культуры, привычки самостоятельно принимать решение в новых ситуациях Формирование такой культуры требует длительного времени, поэтому работу по решению задач повышенного уровня сложности нужно начать уже с 7-8 класса.
Для успешной сдачи экзамена ученика следует обучить:
1. жесткому контролю времени;2.  оценке объективной и субъективной трудности заданий и, соответственно, разумному выбору этих заданий;3.      обучение прикидке границ результатов и минимальной подстановке как приему проверки, проводимой сразу после решения задания; При подготовке к ЕГЭ легко убедиться, что логарифмы и показательные уравнения и неравенства решать легче, чем тригонометрические задания уже только потому, что количество формул, которые необходимо знать, чтобы ориентироваться в каждом из этих разделов, разное. В тригонометрии их намного больше. Кроме того, для решения логарифмических и показательных уравнений или неравенств необходимо освоить небольшое количество типовых приемов, которые универсально работают на заданиях любой сложности, а в тригонометрии каждый раз необходимо находить новый оригинальный подход, особенно, если не знаешь наизусть всех формул и следствий из них. Это не значит, что не следует решать тригонометрические задания. Следует отметить, что один из вполне решаемых примеров раздела «С» почти всегда бывает либо на логарифмы, либо на показательные уравнения или неравенств. Поэтому очень важно научить учащихся решать подобные задачи. Задача С3 - одна из сложных на экзамене по математике. Для её решения от выпускника требуются навыки преобразования выражений с применением формул действий с логарифмами и с учётом изменения областей их определений. Кроме того, ему нужно уметь аккуратно перебирать случаи, применять метод интервалов, рационализации, введение новой переменной и производить другие, относительно привычные для учащегося, операции.
По спецификации ЕГЭ в заданиях типа С3 надо уметь решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства и их системы. Опыт показывает, что наиболее вероятным заданием является решение логарифмического неравенства.
Работа с логарифмами требует особой деликатности. Помимо формальных формул надо помнить о том, что большинство логарифмических преобразований изменяют область определения функций. В последних заданиях ЕГЭ непросто заметить правильный план действий. Ведь в задачах повышенной сложности не всегда виден конечный результат. Надо производить те преобразования, которые реально упрощают задачу.
Задачи составляются, как правило, так, чтобы при неаккуратном применении метода или неуверенности , ученик получил бы ошибочный ответ, потеряв в итоге один или два балла Покажем это на нескольких примерах.
Образцы решения экзаменационных задач С3
Задача №1.


При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.
Задача №2(через область определения)
Решить неравенство
.
Решение.
Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.

Выяснить, что область определения неравенства состоит только из двух точек.
Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.
Принеравенство принимает вид - истинно.
При неравенство принимает вид
- ложно.
Ответ:
Задача состоит в решении неравенства, содержащего логарифмические и рациональные выражения (возможно, и другие, например, иррациональные, но от них в задаче можно легко избавиться).
Если обратить внимание на материал 10-11 класса,то хочется остановиться на функционально-графическом методе решения уравнений и неравенств.Он предполагает применение следующих теорем: (приложение свойств функций к решению уравнений)
Если на области определенияуравнения f(x) = d(x)
F(x)-возрастает.D(x), то уравнение имеет не более одного корня, который находится подбором. 2. Если q(x) и f(x) непрерывны на [a; b] и значение f(x) в левом конце отрезка меньше, а на правом конце больше, чем соответствующие значения q(x), то уравнение f(x) = q(x) имеет хотя бы один корень на интервале (a; b)
т. е. , если f(a) q(a)
f(b) q(b)
то f(x)=q(x) имеет хотя бы один корень на (a; b).
3.Если max f(x) = min q(x) = A, тоуравнение f(x) = q(x) f(x) = Aq(x) = A
Примеры на применение данных теорем:
1.
не более одного корня, так как функция слева убывает, а справа возрастает для всех неотрицательных х. Подбором находим корень: x=1.
2.
f(x)=, f(x) [1; 1]

q(x) [1; +).
max f(x) = min q(x)=1
X=2
-нет x=2
3. ЕГЭ (С-3)
Решите уравнение:

ОДЗ: x3
Пусть
1) , гр. Пар. y (x) возрастает при x 2
- возрастает при х 2
2) возрастает при х 3
f(x) возрастает при х 3
1.f(x) = 0
= 0
Подбором х = 5
2. f(x) 0, т. к. f(x) возрастает, то f(x) 0 на (3; 5]Ответ. (3; 5]Задача №3


Комментарий к задаче 3.
Предложенное решение, опять же, использует метод замены множителя. Однако возможен перебор случаев в зависимости от знаков числителя и знаменателя дроби, получаемой в результате переноса единицы в левую часть неравенства
Задача№4


Комментарий к задаче 4. Предложенное решение использует метод замены переменной с последующим решением рационального неравенства и учетом области определения.
Задача №5
Решите неравенство . 
Решение.Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства: 

.
Обозначим , тогда . Решим неравенство методом интервалов: 
 Тогда
.
Ответ: .
Учащимся следует показать следующие методы решения некоторых типов неравенств:
Методы решения неравенств:
№ Знак разности совпадает Со знаком разности Дополнительные условия
1 f(x)-g(x)f(x) – (g(x))2g(x)≥0 и ОДЗ
2 f(x)-g(x)f(x) – g(x) ОДЗ
3 f(x)-g(x)(f(x)-g(x))* (f(x)+g(x)) ОДЗ
4 f(x)-g(x)(f(x)-g(x))* (f(x)+g(x)) g(x)≥0,
g(x)<0 Рассмотреть отдельно
5 a(x)f(x)-a(x)g(x)(a(x)-1)* (f(x)-g(x)) ОДЗ
6 loga(x)f(x)-loga(x)g(x)(a(x)-1)* (f(x)-g(x)) ОДЗ
Рассмотрим задачи, которые решаются с применением данных методов:
Задача №6
 Решите систему неравенств  
Решение.Область допустимых значений неравенства задается соотношением 
.На области допустимых значений справедливы равносильности: 
, .Поэтому на ОДЗ имеем: 
Заметим, что 
.Поэтому 
.
Окончательно имеем: 
Ответ: . 
Задача №7

Задача №8

(6-х)(4+х)<0. Ответ: (-5;-4)U(6;7)

Ответ: (-5;-4)U(6;7)
Задача №9


Задача №10


х∈(0;1)
х∈(0;1)
Ответ: (;0,6)
Задача11


Комментарий к задаче 11. Можно не находить область допустимых значений х, а прийти к соотношению |х-3| = 3 –х другим способом. Тогда решение будет более коротким.
Другое решение задачи.
Преобразуем неравенство:
Заметим , что х+3 и (3-х)(3+х) положительны. Значит, 3-х QUOTE Тогда QUOTE
QUOTE . Пусть тогда
у-0,25у2 ≥ 1; у2-4у+4 ≤ 0; (у-2)2 ≤ 0; у = 2. Таким образом,

Задача12
Решить неравенство:

Многие сочтут возможным обратить дробь в обеих частях неравенства, поменяв его знак и получив неравенство

При этом возникает сомнение в правомерности такого заключения в случае, когда левая часть неравенства отрицательна. Благодаря такому преобразованию были потеряны два интервала решений, при которых

€
Ответ: .
Задача №13.Уравнения, содержащие выражения вида
Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы
x + 2 > 0,
x + 2 ≠ 1.
Получим множество x€ (-2;-1)U(-1;+͚∞). В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим равносильное уравнение

или, используя свойства,
log2(x + 2)·log2(x + 2) = log24 + log2(x + 2).
Обозначив log2(x + 2) = t, получим квадратное уравнение
t2 - t - 2 = 0,
решениями которого являются t1 = -1 и t2 = 2. Следовательно,
log2(x + 2) = -1,
log2(x + 2) = 2,
откуда
x + 2 = 1/2,
x + 2 = 4
или `
x1 = -3/2,
x2 = 2.
Оба корня входят в ОДЗ.
b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)U(1;+∞).

уравнение примет вид
  или  
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим

или log2x = 1, откуда x = 2.
Заключение
Накопленный нами опыт, частично отраженный в настоящей работе, показывает, что научить учащихся выполнить задания части С можно, используя разнообразные методы и приёмы. Важно то, что все они начинаются с традиционных для школьной математики действий.
Здесь содержатся основные теоретические вопросы, примеры задач, аналогичных экзаменационным, с комментариями к ним, а также задания для самостоятельного решения. Большей частью это подготавливающие и обучающие задания, поэтому материал поможет старшеклассникам систематизировать свои знания по данной теме и подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике. Таким образом, результативность сдачи ЕГЭ во многом определяется тем, насколько эффективно организован процесс подготовки на всех ступенях обучения, со всеми категориями обучающихся.
Литература и интернет-ресурсы:
1 КоряновА.Г.,Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011(типовые задания С3)
2.ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2011
Ковалева Г.И. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов. Издание 2-е, исправленное. Волгоград. Изд-во «Учитель», 2011г.
Мальцев Д.А., Мальцева Л.И. «Математика. Все для ЕГЭ 2011» 2010г. г.Москва
Э.Н. Балаян. Математика: тесты, задания, лучшие методики. Ростов н/Д: Феникс,2007 (ЕГЭ-это очень просто!)
Сергеев И.С.,Панферов В.С. 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С. Москва, 2012, издательство «Экзамен»
http://www.fipi.ruhttp://reshuege.ru/http://alexlarin.net/Приложение:
Задания для самостоятельного решения.
 Решите неравенство .
Ответ: 
Решите неравенство 

Ответ: .
 Решите неравенство .
Ответ: 
 Решите систему неравенств 
Ответ: .
 Решите систему неравенств 
Ответ: .