Методический материал к уроку математики по теме Признаки делимости

Прокопенко Надежда Ивановна,
учитель математики МОУООШ №21 город Оленегорск
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
СОДЕРЖАНИЕ1. Введение3-4
2. Из истории 5-6
3. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, изучаемые в школе7-8
4. Признаки делимости натуральных чисел
4.1.Признаки делимости на 49.
4.2. Признак делимости на 79
4.3.Признаки делимости на 810.
4.4.Признаки делимости на 1111.
4.5Признак делимости на 17 12
4.6.Признак делимости на 1313
4.7.Признаки делимости на 1913
4.8.Признак делимости на 2313
4.9.Признак делимости на 2914
4.10.Признак делимости на 3114
4.11.Признак делимости на 4914
5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач15-18
6. Применение признаков делимости в числовых фокусах19
7. Заключение 20
8.Список использованной литературы21.
Введение
«Если бы ни число и его природа, ничто
существующее нельзя было бы постичь ни
само по себе, ни в его отношениях к другим
вещам. Мощь чисел проявляется во всех
деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и в музыке».
Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э
В арифметике много разделов и один из них - делимость чисел.
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.
Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.
Старинная восточная притча:
Давным-давно жил-был старик. Однажды заболел старик , позвал к себе сыновей и сказал: «Дети мои, вы знаете, что у меня есть 19 верблюдов. Когда я умру, разделите их между собой: половину верблюдов я завещаю старшему сыну, четверть – возьмет средний, ну а младший – забирай одну пятую часть».
Сказал так и умер. Братья и возразить не успели, что девятнадцать верблюдов невозможно разделить таким образом. Не резать же верблюдов. Думали братья, думали, ничего не придумали и отправились за советом к учёному.
Посчитал ученый и сказал: «Ничего не поделаешь, если вы хотите остаться верными отцовскому завещанию, то верблюдов нужно резать. Иначе никак!»
Но братьям не хотелось убивать животных. Поэтому они решили сходить за советом к старому мудрецу.
Мудрец выслушал их проблему и сказал: «Не волнуйтесь, никого убивать не придётся. Я вам одолжу своего верблюда на время. Теперь у вас 20 верблюдов и они легко делятся на 2, на 4 и на 5. Десять верблюдов для старшего брата, пять – для среднего, а четыре или одна пятая, для младшего. Остается один верблюд лишний, но помните, вы должны мне одного верблюда. Я его забираю обратн
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне еще за 2 тысячи лет до нашей эры. Так, не случайно, на одной из египетских пирамид иероглифами написано число 2520. Оно является наименьшим общим кратным всех целых чисел от 1 до 10. Признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число. Признак описан в трактате «Особенности делимости чисел». Паскаль рассуждал так: пусть при делении 10 на число А получается остаток r1, при делении 10 r1 на А – остаток r2, при делении 10 r2 на А – остаток r3 и так далее.
Если данное число, например четырехзначное, будет иметь вид MCDU, где M, C, D, U –цифры тысяч, сотен, десятков и единиц, то признак делимости этого числа на А следующий. Если U + D r1 + C r2 + M r3 делится на А,
то и число MCDU делится на А. 8,46
Например.7536 делится на 8, так как 10 : 8=1(ост.2), 20 : 8=2(ост.4), 40 : 8=5(ост.0),
6 + 3 2 + 5 4 + 7 0 = 32, 32 делится на 8.
Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.). В его главной работе «Начало» подведен итог предшествующему развитию греческой математики. Он ввел понятие иррационального числа, показал бесконечность множества простых чисел, изложил аксиоматический способ построения геометрии, которая сейчас изучается в школе.
Одним из наиболее важных в математике алгоритмов является алгоритм Евклида- способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. 7,352
Пусть а и в – два натуральных числа, причем а в. Разделим а на в с остатком: а = вq + r1; Если r1≠ 0, то делим в на r1: в = r1q1 + r2; Продолжая эти последовательные деления с остатком на остаток от предыдущего деления, получим равенства:
а = вq + r1,
в = r1q1 + r2,
r1 = r2q2 + r3,
r2 = r3q3 + r4, и т. д.
Последний отличный от нуля остаток rп, будет НОД (а; в).
Например. Найти НОД(1035, 851)
1035 = 851 1+ 184,
851 = 184 4 + 115,
184 = 115 1 + 69,
115 = 69 1 + 46,
69 = 46 1 + 23,
46 = 23 2 + 0 Ответ: НОД(1035, 851) = 23
1. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.
Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b; b - делитель а; а делится на b
Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
В математике существует пять основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 5, 9 и на 10.
Признак делимости на 2
Число делится на 2, если число оканчивается чётной цифрой или нулём.
Например: Число 248 будет делиться на 2, так как в конце этого числа стоит чётная цифра 8.
Число не разделится на 2, если число оканчивается на нечётную цифру.
Например: Число 235 не разделится на 2, так как на конце этого числа стоит нечётная цифра.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.
Например: Число 342 (3 + 4 + 2 = 9) будет делиться на 3, так как сумма его цифр равна 9, а число 9 делится на 3.
Число не делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3.
Например: Число 526 (5 + 2 + 6 = 13) не разделится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 13, а 13 не делится на 3.
Признак делимости на 5
Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.
Например: Число 675 будет делиться на 5, так как на конце этого числа стоит цифра 5.
Число не делится на 5, если на конце не стоит ни 0, ни 5.
Например: Число 456 не разделится на 5, так как на конце этого числа не стоит ни 5, ни 0.
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.
Например: Число 963 (9 + 6 + 3 = 18) будет делиться на 9, так как сумма цифр этого числа равна 18, а число 18 делится на 9.
Число не разделится на 9, если сумма цифр числа не делится на 9.
Например: Число 739 (7 + 3 + 9 = 19) не разделится на 9, так как сумма цифр этого числа равна 19, а число 19 не делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10, если последняя цифра числа нуль.
Например: Число 840 будет делиться па 10, так как это число оканчивается на нуль.
4. Признаки делимости натуральных чисел
При выполнении действий деления и умножения натуральных чисел, обнаружились закономерности, которые позволили получить признаки делимости чисел на 4,8,7,11,13 и другие.
4 .1 Признак делимости натуральных чисел на 4
Если число, составленное из двух последних цифр кратно 4, то и число делится на 4
4.2.Признак делимости натуральных чисел на 7
Если из числа десятков вычесть удвоенное число единиц и получится число, которое кратно 7, то и всё число кратно 7.
4.3.Признаки делимости натуральных чисел на 8
1признак:
Если число образованное тремя последними цифрами кратно 8, то, число делится на 8.
2признак:
Если цифра сотен чётная, то число, составленное из двух последних цифр, кратно 8 без остатка, а если цифра сотен нечётная, то остаток составляет 4.
4.4.Признаки делимости натуральных чисел на 11
1 признак
Если от суммы цифр стоящих на нечётных местах отнять сумму цифр на чётных местах (или наоборот) и в результате получим число, которое кратно 11, то и сама число кратно 11.
2 признак
Если число разбить на части (по две цифры справа налево), и эти две части сложить, и в результате получим число, которое кратно 11, то и данное число кратно 11.
3 признак
Если от числа десятков отнять число единиц и получится число, которое кратно 11, то и данное число кратно 11.
4.5. Признак делимости натуральных чисел на 17
1 признак
Если после разбиения числа на две части по две (начиная справа), разность правой и удвоенной левой частей делится на 17, то и число делится на 17.
2признак
Если из числа десятков вычесть упятеренное число единиц и получится число, которое кратно 17, то и всё число кратно 17.
4.6.Признак делимости натуральных чисел на 13
Если число десятков сложенное с учетверенным числом единиц кратно 13, то и число кратно 13.
4.7. Признак делимости натуральных чисел на 19
Если число десятков сложенное с удвоенным числом единиц кратно 19, то и число кратно 19.
4.8. Признак делимости натуральных чисел на 23
Если число десятков сложить с усемеренным числом единиц и получится число, которое кратно 23, то и всё число кратно 23.
4.9.Признак делимости натуральных чисел на 29
Если число десятков сложить с утроенным числом единиц и получится число, которое кратно 29, то и всё число кратно 29.
4.10.Признак делимости натуральных чисел на 31
Если из числа десятков вычесть утроенное число единиц и получится число, которое кратно 31, то и всё число кратно31.
4.11.Признак делимости натуральных чисел на 49
Если число десятков сложить с упятеренным числом единиц и получится число, которое кратно 49, то и всё число кратно 49.
5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, при сокращении дробей, при приведении дробей к одному знаменателю, при решении текстовых задач на применение НОД и НОК, при решении уравнений в целых числах и т. д.
Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)
Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?
Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:
203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.
Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.
Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников
Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?
Решение:
Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 : 15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет.
Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.
Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?
Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 ,то есть 1 ученик получил неудовлетворительную отметку.
Ответ: 1 работа.
Задача 4.
В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?
Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).
Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.
Задача 5.
Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?
Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).
Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.
Задача 6.
Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?
Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.
Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.
Задача 7. Маугли попросил своих друзей-обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли Маугли. Но по дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли досталось лишь 35 орехов. По скольку орехов обезьяны собрали, если известно, что каждая из них принесла больше одного ореха?
Решение: Так как обезьяны собрали орехов поровну и поровну бросили, то принесли они поровну. Число 35 делится на 5 и на 7. Возможны 2 случая:
- Обезьян было 5, принесли по 7 орехов, бросили по 4 ореха, а значит, каждая собрала 7+4=11.
- Обезьян было7, принесли по 5 орехов, бросили по 6 ореха, а значит, каждая собрала 5+6=11.
Задача 8.
Доказать, что делится на 7. (Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).
Решение: = 10101 = 37 13 7 3
Задача 9.
Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.
Ответ: Наибольшее – 987652413, наименьшее – 102347586.
Задача 10.
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.
Задача 11.
Найти наименьшее шестизначное число, делящееся на 3, 7 и 13 без остатка.
Решение:
Искомое число должно делиться на 3 7 13=273, а наименьшее шестизначное число 100000 = 366273 + 82. Если прибавить к нему 191, то получим 100191 = 367273.
Ответ: 100191
Задача 12.
Если сумма первой и второй цифр трёхзначного число, у которого одинаковые цифры сотен и единиц, делится на 7, то и число делится на 7. Докажите.
Решение:
Имеем число 100а + 10в + а = 10(а + в) +91а. Так как (а+в) по условию делится на 7 и 91 делится на 7(91:7=13), то и число 100а + 10в +а делится на 7.
Задача 13.
Найти числа вида 34x5y, каждое из которых делится на 36.
Решение. Число 36 = 4 9;следовательно, искомые числа делятся и на 4 и на 9.
Чтобы число 34x5y разделилось на 4, необходимо, чтобы число 5y делилось на 4. Тогда y равно либо 2, либо 6.
Чтобы число 34x5y разделилось на 9, необходимо, чтобы 3+4+x +5+y = 12 + x+y разделилось на 9.
Если y = 2, то 12+2+ x = 14+ x. 14+ x разделится на 9, если x равен 4.
Если y = 6, то 12+6+ x = 18+ x. 18+ x разделится на 9, если x равен 0 или 9.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют три числа: 34452, 34056, 34956.
Ответ: 34452, 34056, 34956
6. Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах:
1) Можно так же предложить друзьям загадать четырёхзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное восьмизначное число на 137. Затем предложить результат разделить на 73. К удивлению друзей, получится в результате загаданное им число.
Объясняется это легко: 73 ∙ 137 =10001, = ∙ 10001
2) Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом фокусе. Предложить друзьям загадать трехзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложить полученное число разделить на 11, а результат – на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное им число.
Объясняется это так: 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001, 1001 ∙ =
3) Число Шехерезады 1001, которое мы видим в названии бессмертных сказок «Тысяча и одна ночь», с точки зрения математики обладает целым рядом интереснейших свойств:
Это самое малое натуральное четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел: 1001 = 103 + 13.
Число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001 = 77 х 13), из 91 одиннадцаток или из 143 семерок (число 7 считалось магическим числом); если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 ночь состоит
52 х 7 + 52 х 7 + 26 х 7 + 13 х 7, то есть из 1год + 1год + полгода + четверть года.10,306
3) на свойствах числа 1001 базируется метод определения делимости чисел на 7, на 11, на 13. Этот метод объясняется на примере.
Пример. Делится ли на 7 число 348285?
Число 348285 = 348 х 1000 + 285 = 348 х 1000 + 348 – 348 + 285 = 348 х 1001 – (348 – 285);
Чтобы число 348285 делилось на 7, достаточно, чтобы на 7 делилась разность 348 – 285.
И так как 348 – 285 = 63, а 63 делится на 7, то и 348285 также делится на 7

8.Список использованной литературы:
Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П. Забавная арифметика.- Москва, «Наука», 1991, с.71
Бабинская И.Л.Задачи математических олимпиад. - Москва, «Наука», 2000, с.58
Волина В.В. Занимательная математика.- С.-Петербург, 1996, с.103
Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- Москва, «Наука», 1988, с.148
Клименченко Д. В. Задачи по математике для любознательных.- Москва, «Просвещение», 1991, с.43
Кордемский Б. А. «Математическая смекалка». - Москва, «Альянс», 2000, с.232
Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – с. 352.
Чистяков В.Д. Старинные задачи по математике. Минск.1987, с 46
Перельман Я.И. г. Екатеринбург, Тезис,1994, с 88
Станислав Коваль. От развлечения к знаниям. WARSZAWA., С.306
Глейзер Г.И. История математики в школе. IV- VI классы. Москва, “Просвещение», 1999 ,с.82