Разработка урока по теме Вписанная и описанная окружности. Свойства описанного четырехугольника

Тема: «Вписанная и описанная окружности. Свойство описанного четырехугольника ».
Цель:
Ввести понятие вписанной окружности и описанного около окружности многоугольника;
Рассмотреть теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность;
Повторение: Решение прямоугольных треугольников;
Подготовка к ГИА;
Развивать память, внимание и логическое мышление у обучающихся;
Вырабатывать трудолюбие, целеустремленность, умение работать в парах.
План урока.
Организационные моменты.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания. (Разбор нерешенных заданий)
Проверка знания теоретического материала. Из учебника вопросы 1– 20, с. 187–188.
Выполнить устно:
1) а) Докажите, что АВМ == МСА.
б) АМ = 4, МD = 3, ВD = 4.
Найдите расстояние от точки М до стороны АС.
2) Найдите МKN и расстояние MN, если ОМ = , KМ = 3.

3) Найдите углы АВС, еслиОАС = 20° и АОС = 120°.
4) стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром О.
а) Найдите ОА, если r = 5 см,А = 60°.
б) Найдите r, если ОА = 14 дм,А = 90°.
Повторение: Решение прямоугольных треугольников
Средняя линия треугольника.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов.
Решение задач на повторение.
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 120°. Найдите площадь трапеции.
Решение
1) B = С = 120°.
АBЕ = 120° – 90° = 30°.
соsАBЕ = .
; BE = 3 (см).
2) sinАBЕ = ; AE = 3 (см).
3) АD = ВС + 2АЕ = 4 + 2 · 3 = 10 (cм).
4) SАВСD = (см2).
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.
Решение
1) ЕCD = BCD – BCЕ = = 150° – 90° = 60°.
sinЕСD =
ED = 2 (см).
2) сosЕCD = ;
; CE = 2 (см).
3) АD = ВС + ЕD = 3 + 2.
4) SАВСD = ∙ 2 = 6 + 2 (см2).
Изучение нового материала.
Изложить в виде лекции п. 74 до замечания 2.
Закрепление изученного материала.
Выполнить №№ 701 (для остроугольного треугольника), 689, 691.
№ 689.
Решение
1) Центр О вписанной окружности искомого радиуса r лежит на биссектрисе СМ треугольника АВС, а так как СМ АВ, то вписанная окружность касается отрезка АВ в точке М. Поэтому ОМ = r.
I способ.
1. АМ = AB = 5 см.
2. M и N – точки касания, следовательно, AN = АМ = 5 см, откуда CN = АС – АN = 8 cм.
3. В АСМ : СМ = = 12 (см).
4. В СON : СО2 = СN2 + ON2, то есть
(12 – r)2 = 82 + r2
144 – 24r + r2 = 64 + r2.
r = 3.
ОМ = ON = 3 см.
II способ.
1. В АСМ : АМ = AB = 5 см.
СМ = = 12 (см).
2. Отрезок АО – биссектриса треугольника АМС (так как о – центр вписанной окружности), поэтому или ; 13r = 60 – 5r, r = 3.
ОМ = ОN = 3 см.
№ 690.
Решение
1) О – центр вписанной окружности в треугольник АВС, который лежит на высоте (биссектрисе) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
2) ОМ = ОD – радиусы этой окружности.
3) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда ОВ = 12k см, ОD = ОМ = 5k см.
4) Прямоугольные треугольники ВDС и ВМО имеют общий угол В, и, значит, ВDС ВМО по первому признаку.
5) .
6) Из прямоугольного треугольника ВDС по теореме Пифагора имеем:DС = .
7) ; 5 = ;
625 = 3600 – 289k2
k2 = .
8) DC = = 25 (cм).
№ 693 (а).
Решение
1) АС || ОN, так как АС СВ и ON CВ.
СВ || ОK, так как СВ АС и OK АС, значит, четырехугольник KONC – прямоугольник, а так как KО = CN = r = ON = KC, то KONC – квадрат.
2) АKО = АМО (по катету и гипотенузе), поэтому АK = АМ.
3) ВNO = ВМО (по катету и гипотенузе).
4) РАВС = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + NB + CN + KC + АK.
РАВС = 2АМ + 2MВ + 2CN = 2(АМ + МВ + СN).
а) РАВС = 2(АВ + СN) = 2(26 + 4) = 60 (см).
б) Из АВС, С = 90° имеем по теореме Пифагора:
АС2 = АВ2 – СВ2 = АВ2 – (CN + NB) = 172 – (5 + r)2
ВС2 = АВ2 – АС2 = АВ2 – (АK + KС) = 172 – (12 + r)2
АВ2 = АС2 + ВС2
172 = 172 – (5 + r)2 + 172 – (12 + r)2
2r2 + 34r – 120 = 0
r2 + 17r – 60 = 0
r = 3 (второй корень не удовлетворяет условию задачи).
РАВС = 2(АВ + CN) = 2(17 + 3) = 40 (см).
Итоги урока.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание: вопросы 21, 22, с. 188; №№ 701 (для прямоугольного и тупоугольного треугольников), 637.