ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОПЕДЕВТИКА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 8
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОПЕДЕВТИКА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Лапутина Елена Анатольевна, учитель начальных классов высшей категории
г.Калининград
2010
Оглавление TOC \o "1-5" \h \z Введение 3
Глава IТеоретические основы функции 5Основные понятия, их определения 5
Виды упражнений начальной школы формирующие понятие функции 7
Глава IIРеализация упражнений функционального смысла
учителями начальных классов (педагогические
наблюдения) 17
Глава IIIМетодические приемы ознакомление учащихся с
функциональной зависимостью при обучении
решению задач 26
Заключение 32Литература 33Приложение 34
Введение
Понятие функции относится к числу фундаментальных, ведущих понятий математики, поэтому идея функциональной зависимости проходит через весь школьный курс математики.
Велика роль функции как мощного в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы - от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами.
Достижения века: ЭВМ, электронная и спутниковая связь - все это невозможно без точнейших математических расчетов, учеба всех зависимостей величин.
В курсе математики начальных классов значительная роль отводится функциональной пропедевтике, которое предусматривает не только подготовку учащихся к изучению систематического курса математики, и в частности одного из основных понятий современной науки - понятия функции, но и воспитание у них диалектического характера мышления.
Проблеме функциональной пропедевтики в начальной школе уделяли внимание многие ученые, математики, методисты: И.Н. Стойлова, Н.Я. Виленкин, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Пышкало, М.И. Моро и другие.
Меня заинтересовала тема функциональной пропедевтики тем, как учителя начальной школы используют материал учебника математики для формулирования понятия функция у учащихся; какие средства, методы, приемы, формы обучения используют учителя в работе; как они развивают мыслительные операции анализа и синтеза у младших школьников; каким образом подводят детей к рациональному способу решения задач; как обобщают их знания о зависимости величин в упражнениях.
Поэтому считаю необходимым в этой работе раскрыть теоретические основы и методические приемы по формулированию представлений у учащихся начальной школы о функциональной зависимости величин.
Исторические сведения.
В первой половине XVII века в связи с развитием механики в математику проникают и идеи изменения и движения. В это же время начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой.
Французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596- 1650) представляли функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. Английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.
Термин «функция» (от лат. «function» - исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции).
В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) и член Петербургской академии наук, знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. Функцию как зависимость одной переменной от другой ввел чешский математик Бернард Больцано (1781-1848).
В XX веке понятие функции расширяется. Функцию считают заданной, если каждому допустимому значению «X» соответствует определенное значение «У», причем неважно каким способом: формулой, графиком или словесным описанием. Так понимал функцию знаменитый русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), такое определение функции осталось и до нашего времени.
Теоретические основы функцииГлава I.
На практике мы встречаемся с различными зависимыми величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, высоты и ширины.
Определение. Функцией называется зависимость переменной «У» от переменной «X», при которой каждому допустимому значению X соответствует определенное единственное значение У.2 Переменную X называют независимой переменной или аргументом. Переменная У - зависимая переменная или функция, т.к. ее значения определяются значением аргумента.
Записывается зависимость следующим образом: y-f(x), где хеХОбластью определения функции называется совокупность всех значений аргумента, для которых функция определена (<D(x)-X).
Совокупность всех значений функции образуют область ее значений (Е(у)). Например, площадь квадрата зависит от длины его стороны.
S см2 - площадь квадрата S= a2 S=f(a)
S-?а см
2 Стойлова Л.П. Математика. Учебник для студентов пед. Заведений / Л.П. Стойлова // - М: Академия, 2000,- с.176
Чтобы задать функцию, нужно задать числовое множество - X, которое называется областью определения функции и обозначается Ф(х), и способ (правило), с помощью которого для каждого числа хеХ можно найти соответствующее число >> - значение функции, обозначаемое y=f(x).
Способы задания функции: формула, график, таблица, описание. Примеры.
Пусть а см - сторона квадрата
Если t = 0,5 ч., то S = 50 • 0,5 = 25 (км)
Если t = 2 ч., то S = 50 • 2 = 100 (км) и т.д.
Путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты
соответствующим значениям функции.
Например, Т- температура в градусах по Цельсию, t - время нагревания воды в минутах.

Иногда функциональную зависимость величин удобнее отобразить в таблице.
Например. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция.
п (зона) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ш (руб.) 10 15 20 25 35 40 55 65 85
Функция выглядит так: ш = f(n)
Буквой «п» обозначен номер зоны, а буквой «ш» - соответствующая стоимость проезда в рублях.
Словесное описание функции используется в некоторых случаях, когда другим способом задать ее неудобно. Например, функция у = cos х определяется как проекция единичного вектора на ось ОХ, образующую с ним угол в X радианов.
Виды упражнений начальной школы.Процесс формирования понятия функции длительный. Учащимся начальных классов не дается никакого определения, но много примеров, на которых можно разъяснить зависимость значений одной величины от другой, способствующие развитию творческой деятельности младшего школьника.
1. П.3М-3(1), с.21.
Значение
переменной m 0 6 12 18 24 Значение
выражения m • 3 D(m) = {0, 6,12,18, 24} - область определения функции E(f) = {0, 18, 36, 54, 72} - множество значений функции. f(m) = m • 3 - числовая функция.
2. П. М-3(1), с.39.
По таблице рассмотреть взаимосвязь между величинами X и Y. Записать формулу, выражающую у через х.
а)
X 1 2 3 4 5 6 7 У 9 10 1 12 13 14 15 у =gб)
X 1 2 3 4 5 У 6 12 18 24 30 У =
3. П. M-3(l), с.51. Формула пути.
Время (t ч) 1 2 3 4 t
Расстояние (S км) и — 45 км/ч
S=
Значение расстояния зависит от значения времени при постоянной скорости - 45 км/ч. Следовательно,
S= f(t).
D(t) = {1,2,3 ,4,... t} - область определения функции.
E(S) = {45, 90, 135, 180, ... 45 • t} - множество значений функции.
П. М-2(2), с.93.
Деление с остатком
а)13 раздели на 3, используя числовой луч.
13
4-.-1—11 -1\-| -| | -1 ■ | |I -I
03691215
□ =
б)14 раздели на 3 □ = □
в)15 раздели на 3
Какие остатки могут получиться при делении на 3? Сделай вывод.
Остаток всегда меньше делителя.
Областью определения функции является множество значений делимого: 13,14, 15.
Делитель равен 3. Множество значений остатков является множеством значений функции, т.к. каждому значению делимого соответствует единственное значение остатка при делении на 3 (постоянное число)
5. М.М-2(2), с.27.
а)Уменьши на 2б) Увеличь на 3
7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6
Табличным способом задана функция: а) каждому значению переменной из множества чисел {4, 6, 2, 5, 3, 7} соответствует единственное значение разности из множества {5, 4, 3, 2, 1, 0} при условии, что 2 - вычитаемое, величина постоянная; б) каждому значению слагаемого из множества {2, 3,4,6} соответствует единственное значение суммы из множества {5, 6, 7, 8, 9}. Выполняя такие упражнения учащиеся постепенно усваивают смысл постоянной величины, которая принимает одинаковые значения, и переменной величины, которая принимает разные значения.
На этапе работы над математическими выражениями полезно обращать внимание учащихся на то, какие значения можно придавать букве в заданном выражении, т.е. в его области определения.
М. М-2(1), с.66.
Учитель предлагает учащимся придавать букве «к» значения и найти значение разности (запись может быть оформлена в таблицу)
К 0 1 2 ... 37
37-к Затем выясняют: можно ли придавать букве «к» другие значения?
Можно ли ей придавать значения 38, 40, 100?
Какое наименьшее значение она может принимать? Какое самое большое значение? Учащиеся приходят к выводу, что букве «к» можно придавать любые значения от 0 до 37 и значение разности зависит от значения буквы «к».
Значение переменной «к» увеличивается на одну единицу, а значение разности уменьшается на столько же единиц по сравнению с предыдущим значением.
Во втором классе, рассматривая изменение произведения и частного, полезно использовать наглядные иллюстрации.

Частное 6:3 изображено отрезком длиной 6 см, разделенным на 3 равные части. Увеличим делимое в 2 раза, а делитель оставим без изменения, (6-2):3.
Изобразим новое частное в виде отрезка длиной 12 см, разделенного на 3 равные части.
Видим, что частное увеличилось в 2 раза:
: 3 = 2, (6 • 2) : 3 = 4, 4 см > 2 см в 2 раза.
В данном упражнении прослеживается прямо пропорциональная зависимость: при увеличении делимого в несколько раз, частное увеличивается во столько же раз при постоянном делителе.
С видами функциональной зависимости величин учащиеся начальных классов знакомятся при решении простых и составных задач, связанных с пропорциональными величинами.
Задача на нахождение 4-го пропорционального.
В задачах данного вида задаются три величины, которые связаны прямой и обратной пропорциональной зависимостью. Из них две величины переменные, а одна - постоянная. Нужно найти значение одной переменной величины.
Существует шесть видов таких задач. Рассмотрим один из них.
Задача. На шесть одинаковых пар детских ботинок расходуют 24 дм кожи. Сколько квадратных дециметров кожи нужно для 18 пар таких ботинок?
С помощью учителя дети выясняют, значения каких величин даны в задаче и записывают их кратко в таблицу.
Расход кожи на 1 п. Количество изделий Расход кожи
Ip- Одинаковое (k - const) 6 П Xi 24 дмл у!
Пр. 18 П Х2 ? У2

Для лучшего уяснения содержания задачи можно использовать наглядную интерпретацию.
Из краткой записи задачи видно, что расход кожи зависит от количества пар детской обуви, если при расходе кожи на одно изделие - постоянное, которое и определяет способ решения задачи:
24 : 6 = 4 (дм2) - на одно изделие.
4 • 18 = 72 (дм2) - во 2 раз или (24 : 6) • 18 = 72 (дм2)
Ответ: 72 дм2.
Формула зависимости величин у = 4 • х, где к = 24 : 6 = 4, коэффициент пропорциональности.
Числовые данные этой задачи позволяют обучать второму способу ее решения на основе свойства прямой пропорциональности величин. Вопросы беседы по разбору задачи для решения вторым способом имеют специфический характер:
Расскажите об особенностях каждой величины в задаче?
Сравните значения каждой величины в I и II раз.
Что можете сказать о числовом значении искомой величины?
Почему? Во сколько раз?
Как узнали?
Как решите задачу?
Запись: 24 • (18 : 6) = 72 (дм2)
Ответ: 72 дм2.
В этой задаче D(x) = {6; 18}, Е(у) = {24; 72}
Задача на пропорциональное деление.
М-3(1), с.23, №7
Машинистка напечатала 78 страниц за 2 дня. В первый день она работала
часов, во второй - 7 часов. Сколько страниц печатала машинистка в каждый из дней, если производительность труда была одинаковая?
В ходе беседы учителя с учащимися по уяснению зависимости величин в задаче устанавливают, что даны три величины: общее количество страниц, время работы машинистки, производительность труда в час.
Производительность
Труда Время работы Всего страниц
1 день Одинаковая 6 час. ? >
2 день 7 час. 7 у 78 с.
Важно уяснить учащимся, что во второй день машинистка напечатала больше страниц, чем в первый день, т.к. 7 ч. > 6 ч.
Количество страниц - 78 приходится на затраченное время двух дней при одинаковой производительности труда, которую можно найти.
Учащиеся могут сами предложить решение задачи:
6 + 7 = 13 (ч.) - время работы
78 : 13 = 6 (стр.) - за 1 час
6 • 6 = 36 (стр.) - в 1 день
6 • 7 = 42 (стр.) - во 2 день или 78 - 36 = 42 (стр.)
Ответ: 36 стр. и 42 стр.
В этой задаче пропорциональная зависимость величин: количество страниц книги каждого дня зависит от затраченного времени на их печатание при постоянной производительности труда, что является коэффициентом пропорциональности (к = 6), у = f(t). у = 6 • t, D(t) = {6; 7}, E(t) = {36; 42}.
Задача на нахождение неизвестного по двум разностям. Признак: они включают две переменные величины и одну постоянную величину, при чем даны два значения одной переменной величины и разность соответствующих значений другой переменной величины, а сами значения этой переменной являются искомыми.
Задача. М-4(2), с.45, №6.
В один магазин привезли 18 одинаковых бидонов молока, а в другой - 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во второй. Сколько литров молока привезли в каждый магазин? Модель задачи - схематический чертеж.

Анализируя содержание задачи и устанавливая связь между величинами, учащиеся объясняют, что в 1-ый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во 2-ой магазин, т.к. в 1-ом магазине было больше число таких же бидонов с молоком.
Значит, в 1-ый магазин привезли столько же бидонов с молоком, как во 2- ой магазин и еще 6 бидонов, в которых было налито 228 л молока. Решение:
18-12 = 6 (б.) - больше в 1-ом магазине
228 : 6 = 38 (л) - масса 1 бидона
38 • 18 = 684 (л) - в 1-ом магазине
38 • 12 = 456 (л) - во 2-ом магазине или 684 - 228 = 456 (л)
Ответ: 684 л, 456 л
В задаче дана прямо пропорциональная зависимость величин: масса молока зависит от количества бидонов в каждом магазине при одинаковой (постоянной) массе одного бидона (к = 38).
D(x) = {18; 12}, Е(у) = {684; 456}
Учапщеся начальной школы, обучающиеся по учебнику математики под редакцией Л.Г. Петерсон, смогут решить эту задачу и алгебраическим методом.
Задача на движение.
М-4(2), с.21, №3.
От двух пристаней, расстояние между ними 120 км, одновременно отошли навстречу друг другу два теплохода. Один шел со скоростью 22 км/ч, другой - 18 км/ч. Какое расстояние прошел до встречи каждый теплоход? Схематический чертеж.
> ~
„ ? км * с „
? км ьч 120 км ►
В
Учащиеся вместе с учителем, работая над зависимостью величин в задаче, (S = (vi + V2) • t) придут к выводу, что расстояние ВС < АС, т.к. скорость V!
v2 при одновременном выходе теплоходов от пристаней и одинаковом времени движения в пути до встречи.
Решение:
22 + 18 = 40 (км) - общая скорость
120 : 40 = 3 (ч) - время в пути
22 • 3 = 66 (км) - путь 1 теплохода
18-3 = 54 (км) - путь 2 теплохода Ответ: 66 км, 54 км
Значение расстояния каждого теплохода до их встречи зависело от значения скорости при одинаковом времени движения до их встречи, т.е.
S = f(v) при t - const, где D(x) = {22; 18}, E(f) = {66; 54} и выполняется
22 66
свойство прямо пропорциональной зависимости величин: — = —Вывод: Поиск разных путей решения задач с пропорциональными величинами способствует осознанию учащимися причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости величин.
Глава II. Реализация упражнений функционального смысла учителями начальных классов.За период 2005 - 2007 учебный год проведения педагогической практики со студентами колледжа в СОШ № 7 г. Южно-Сахалинска посещала уроки математики учителей Харламовой И.А., Новиковой М.В., Колчановой К.А., Кочергиной В.Ю., Жигаревой Л.Н. и др. во 2 - 4 классах с целью реализации функциональной пропедевтики.
Приведу анализ фрагментов урока, содержащих работу учителя с упражнениями функционального смысла.
I. Учитель задал учащимся самостоятельную работу
2 3 4 5 6 7 00 9
□ •2 — Что нужно сделать в этом упражнении? (заполнить таблицу)
Решайте примеры. Заполняйте ее.
Учитель совершенно неправильно работал с учащимися по данному упражнению, без учета дидактической цели этого задания: установления зависимости между компонентами и результатом упражнения, формирования понятия переменной величины, изменения значений первого множителя и произведения.
Учитель не провел глубокого анализа, подводящего к выводу: 1-ый множитель увеличиваем на единицу, а произведение увеличиваем на 2, так как второй множитель равен 2 - постоянное число. Каждому значению 1-го множителя соответствует единственное значение произведения, которое представляет собой сумму одинаковых слагаемых, равные двум:
2 + 2 = 4 2 + 2 + 2 = 6
2 = 4 2-3 = 6и т.д.
Задача с недостающими данными (3 класс) Учитель заготовила краткую запись ее на доске:
Цена Количество Стоимость
Лопатка □ р. Одинаковая 20 р.
Мяч '■”? р. ’ ' 80 р.
Прочитайте задачу по ее краткой записи.
Можно ли приступить к ее решению?
Нет. Почему?
Пусть цена лопатки равна 10 р.
Как теперь будем решать задачу?
Фрагмент окончен.
Учитель не провела анализа содержания задачи с недостающим значением.
Не установили границы недостающего значения цены; какой она должна быть по сравнению с данными значениями стоимости.
Не было прогнозируемой прикидки ответа.
После решения задачи не прозвучал вывод: во сколько раз больше стоимость мяча, во столько же раз больше цена его при одинаковом количестве предметов.
Таким образом, учитель не подводил учащихся к уяснению свойства прямой пропорциональной зависимости величин.
Ш. Выражение с одной переменной.
П.М-2(2), №8, с.20.
Задание. Запиши выражение: разность чисел 30 и С. Найди значение разности, если С = 30, С = 21, С = 18, С = 0.
В работе над этим упражнением учитель:
Отрабатывает понятие переменной и форму записи при подстановке значений переменной в выражение.
Не устанавливает область определения данной функции f(C) = 30 - С, то есть не задает вопрос учащимся: «Какие значения может принимать переменная «С» в выражении?»
Не уделяет внимания зависимости разности от значений вычитаемого при постоянном уменьшаемом: чем больше вычитаемое, тем меньше разность.
Не обращает внимания учеников на соответствие аргумента и функции: каждому значению вычитаемого соответствует одно определенное значение разности при постоянном уменьшаемом.
Не проанализировано изменение значений разности: вычитаемое уменьшалось, а значение разности соответственно увеличивалось.
Таблица сложения в пределе 20.
Изучая значение и вычитание однозначных чисел с переходом через разряд в пределе 20, учитель с учащимися составляют таблицу сложения, которую они заучивают.
9 + 2 = 11 8 + 3 = 11 7 + 4=11 6 + 5 = 11
9 + 3 = 12 8 + 4=12 7 + 5 = 12 6 + 6= 12
9 + 4 = 13 8 + 5 = 13 7 + 6 = 13 9 + 5 = 14 8 + 6=14 7 + 7=14 9 + 6= 15 8 + 7 = 15 9 + 7 = 16 8 + 8 = 16 9 + 8 = 17 9 + 9=18 Учитель проводит обобщающую работу по таблице, систематизируя их знания:
В каждом столбике первое слагаемое одинаковое.
Второе слагаемое увеличивается на 1 в столбиках.
Сумма чисел любого примера таблицы не превышает 20; увеличивается на 1 единицу.
По строчкам таблицы примеры с одинаковым значением суммы.
Все столбики таблицы заканчиваются примерами с одинаковыми слагаемыми.
Чем больше первое слагаемое столбика, тем больше в этом столбике примеров.
Учителя начальных классов не в полной мере используют данный материал для подсознательного формирования у учащихся понятия функции, не способствуют развитию функциональной логики мышления:
Не устанавливают соответствие между значением переменной величины (второго слагаемого) и значением суммы, т.к. f(x) = 9 + х,
F(x) = 8 + х ... , х g N, и каждому значению второго слагаемого соответствует одно значение суммы.
Не определяют зависимость изменения суммы от значений второго слагаемого: если 2-ое слагаемое увеличилось на 1, 2, 3 ... единиц, то и сумма соответственно увеличивается на 1,2, 3 ... единицы.
Аналогичную работу учителя с учащимися наблюдала при изучении таблицы умножения в пределе 100.
Зависимость компонентов действия умножения.
М.-3(2), №2, с.43.
ъ0 1 2 3 4
20-Ь с 4 3 2 1 0
с-30 Из фрагмента урока учителя:
Каким компонентом действия является переменная «Ь» в выражении «20 • Ь»? Вторым множителем.
Каким компонентом действия является переменная «с» в выражении «с • 30»? Первым множителем.
Что нужно найти? Значения произведений.
Какое действие надо выполнить? Умножение.
Заполните таблицы самостоятельно. (Проверили записанные числа в таблицах).
Учитель не проанализировал изменение произведений от изменения соответствующих значений множителей.
Не показал пропорционального изменения компонентов действия умножения.
ув. В 4 раза
1 г
ь0 1 2 3 4
20-Ь 0 io40 60 8Ь
ув. В 4 раза
Второй множитель увеличился в 4 раза, произведение тоже увеличилось враза.
Не проведено сравнение двух таблиц:
а)в 1 таблице постоянным является второй множитель, а во 2-ой - первый множитель.
б)в 1 таблице значения переменной возрастают на единицу, а во второй - уменьшаются на единицу (пример формирования понятия упорядоченного множества).
в)изменение множителя соответственно влияло на изменение произведения: в первой - увеличение на 20, а во второй - уменьшение на 30.
Не формировал представление учащихся об основном свойстве функциональной зависимости - взаимно-однозначном соответствии значений аргумента и функции.
Вывод. Считаю, что недоработки учителей начальных классов над соответствующими упражнениями происходят потому, что с течением времени утратили степень научности своих знаний по данному вопросу.
Теория и суть вопросов забывается, своевременно не восполняется ими при подготовке к урокам.
Вследствие нерационального распределения времени на уроке, глубоко не продуманной структуры этапов урока, приемов обучения, учителя не успевают на уроке работать над глубиной содержания упражнений, уделяя внимание лишь на выработку вычислительных навыков учащихся. Учителю следует целенаправленно и систематически осуществлять пропедевтику понятия функции в учебном процессе.
Приведу примеры фрагментов уроков опытных учителей, успешно решающих одну из сложнейших задач обучения учащихся алгебраическому материалу, в частности, формированию представлений о функциональной зависимости величин.
Решение простых и составных задач.
На доске таблица.
Цена 5 р. 5 р. 5 р. 5Р-
Количество 2 шт. 4 шт. 8 шт. п шт.
Стоимость С какими величинами будем учиться решать задачи?
Проследите за данными значениями величин. Значение какой величины неизвестно?
Составьте простые задачи с этими величинами.
Запишите решение задач.
5-2 = 10 (р.)
5-4 = 20 (р.)
5-8 = 40 (р.)
5 • п (р.)
Как изменяются значения стоимости?
Почему?
Составьте формулу стоимости п (шт.) булочек, если ее обозначить буквой «С»: С = 5 • пКакие значения может принимать буква «п»?
Чему будет равна стоимость покупки, если п = О?
От чего зависит значение стоимости? От количества товара, если цена - одинаковая.
С целью сознательного усвоения функциональной зависимости величин учитель задал учащимся задачу логического характера.
Задача 1. Магазин продал два куска шелка по одинаковой цене, но в первом куске было в 2 раза меньше ткани, чем во втором. За какой кусок выручили денег меньше и во сколько раз?
Чтобы ответить на вопрос, нужно использовать зависимость между количеством и стоимостью при одинаковой цене.
Ответ: стоимость 1 куска шелка меньше в 2 раза, чем стоимость 2 куска шелка.
Задача 2.
Цена Количество Стоимость
Полотно 20 р. Одинаковое ?
Ситец 5 р. ?
Какая это задача?
С какими величинами?
Что заметили в ней? Как изменяется цена?
Что можно сказать о стоимости полотна и ситца?
Докажите свое высказывание.
Пусть купили 5 м полотна и 5 м ситца.
Тогда 20 • 5 = 100 (р.) - стоит кусок полотна
• 5 = 25 (р.) - стоит кусок ситца
100 : 25 = 4 (раза) - дороже полотно, чем ситец.
Какой вывод сделаете по задаче?
Учитель методически грамотно работал над задачами, стремился к уяснению зависимости величин учащимися:
С = Ц • k, C = f(k), С = ВД).
В 4 классе эти знания учащихся обобщаются, младшие школьники учатся решать задачи с буквенными данными, на которых систематизируются способы решения задач.
Решение задач с буквенными данными.
Задача.
Цена Количество Стоимость
Карандаши А 15 ?
Кисточки Ъ ? с
Линейки ? 2 d
Задание 1. Составь задачи, затем решение в виде выражений.
Решение:
а * 15 (р.) - стоимость карандашей
с : b (шт.) - количество кисточек
d : 2 (р.) - цена линейки.
Какой вывод можно сделать по этой работе?
Задание 2. Составь выражения, которые обозначают стоимость 6 карандашей и 2 кисточек; 5 карандашей и линейки; 3 кисточек и линейки; карандаша, кисточки и линейки.
Решение:
а • 5 + b • 2 (р.) - стоимость 6 карандашей и 2 кисточек
а • 5 + d : 2 (р.) - стоимость 5 карандашей и 1 линейки
b • 3 + d : 2 (р.) - стоимость 3 кисточек и 1 линейки
а + b + d : 2 (р.) - стоимость 1 карандаша, 1 кисточки и 1 линейки вместе.
По числу действий какие это задачи?
Какую стоимость находили в них?
Чтобы выполнить такие упражнения, учащимся нужно хорошо знать зависимость между величинами: цена, количество, стоимость; знать правило нахождения неизвестной величины по двум другим известным величинам.
Решение задач с буквенными данными закрепляет и совершенствует знания учащихся о математических выражениях, а также характеризует качество работы учителя.
Решение задач с буквенными данными способствует формированию у детей первоначальных представлений о функциональной зависимости величин. На них легко показать, что числовое значение выражения зависит от значения буквы: при изменении значения буквы изменяется и значение выражения, причем каждому значению буквы соответствует определенное значение выражения.
Способы решения задач разнообразны, которые определяются учебником, а также творческим опытом учителя, его методическим мастерством.
Глава III. Методические приемы ознакомления учащихся с функциональной зависимостью при обучении решению задач.В объяснительной записке к программе по математике для начальных классов сказано, что первоначальное ознакомление детей с разного рода зависимостями важно для раскрытия причинной связи между явлениями окружающей действительности. При этом важно, чтобы ознакомление с зависимостями не носило формальный характер.
В учебнике математики для 2 класса есть задачи, в которых имеет место пропорциональная зависимость таких величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, количество предметов, общая масса; расход материи на один предмет, общий расход материи, количество предметов; емкость одного сосуда, количество сосудов, общая емкость и др.
Рассмотрим различные методические приемы, которые помогают детям научиться не только решать задачи, но и осознать зависимость величин.
Задача. На каждой тарелке 5 яблок. Сколько яблок на трех тарелках? Задание. Сделай по задаче рисунок и реши ее.
OCYXY) ОСТРО QCQQD
?
+ 5 + 5 = 15 (яб.)
5-3 = 15 (яб.)
Обращение к рисунку помогает учащимся осознать смысл действия умножения и ответить на вопрос задачи, заменив сложение умножением, так как учащиеся на этом этапе обучения еще не приступили к составлению и заучиванию таблицы умножения.
На этом работа учителя обычно заканчивается. Полезно было бы выяснить, где яблок больше на одной или на трех тарелках? На двух или на четырех тарелках? И т.д. Можно нарисовать яблоки на 4-х тарелках и сопоставить рисунки, чтобы лучше осознать смысл действия умножения и зависимость между величинами в задаче.
Организуя работу с простыми задачами на пропорциональную зависимость необходимо использовать приемы, позволяющие учащимся ясно представить себе ситуацию, данную в задаче, поставить перед собой вопрос: «Большее или меньшее число получится в ответе?»
К этим приемам можно отнести:
наглядную интерпретацию задачи;
практическое решение, связанное с проигрыванием задачи;
изменение одного из данных с последующим анализом того, как от изменения этого данного изменяется ответ задачи;
подведение итога сравнения. Например, задача.
Было 10 морковок. Их связали в пучки по 5 морковок. Сколько получилось пучков?
Слабый учащийся «проигрывает» задачу на палочках. Далее на доске и в тетрадях оформляют зарисовку.
10: 5 = 2 (п.) Ответ: 2 пучка.
Задание классу - нарисовать в тетрадях 12 палочек ( это морковки). Связать их в пучки по 3 морковки; по 2 морковки.
а)
б)V V V V V V12 : 2 = 6 (п.) Ответ: 6 пучков
VVVV
12: 3 = 4 (п.) Ответ: 4 пучка
Сравните рисунки. Чем они похожи? Чем отличаются?
В каком случае пучков получилось больше?
Почему?
Какой вывод можно сделать?
Чем меньше морковок в каждом пучке, тем пучков больше, а чем больше морковок в каждом пучке, тем пучков меньше.
Это пример обратной пропорциональной зависимости, которую учащиеся осознают пока интуитивно, их внимание сосредотачивается на таком анализе задач, который оказьюает положительное влияние на осознание зависимости величин и развитию их мышления.
Наряду с названными выше приемами полезно использовать такой прием, как решение задач с недостающими данными. Например, задача.
В три банки положили огурцы. Сколько всего огурцов в этих банках? Учащиеся обращают внимание на то, что данных для ответа не хватает: неизвестно, сколько огурцов в одной банке.
Пусть в одной банке - 7 огурцов, во второй - 6 огурцов, в третьей - 8 огурцов.
Теперь можно ли ответить на вопрос задачи? Как?
А если в каждой банке по 6, по 7, по 8 огурцов? Как решить задачу? Почему?
Все записи учащиеся выполняют в тетради. Из сравнения их решений приходят к выводу, что общее количество огурцов зависит от числа их в 1 банке.
Для того, чтобы учащиеся сами могли пронаблюдать зависимость между величинами, удобно оформить их в таблицу, особенно для устной работы.
Задача.
во ? раз больше
Масса 1 кг 2 кг 3 кг 4 кг 5 кг 6 кг • «• пкгСтоимость Юр. 20 р. 30 р. 40 р. 50 р. 60 р. . • . ?р.
во ? раз больше
Анализ данных таблицы подводит учащихся к выводу: чем больше масса картофеля в 1 пакете, тем больше его стоимость; во сколько раз больше купили картофеля, во столько же раз больше его стоимость, если цена его постоянная.
Эта работа является той основой, на которой строится в дальнейшем решение составных задач.
Среди составных задач на пропорциональную зависимость величин большое место в курсе 2 класса занимают задачи на нахождение четвертого пропорционального.
Задача. В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?
В результате уяснения содержания задачи учащиеся выделяют три зависимые величины и оформляют их в таблицу.
Масса 1 ящика Количество ящиков Общая масса
Одинаковая 3 21 кг
8 ?

Таблица помогает лучше увидеть те величины, между которыми нужно установить зависимость. Большую роль играет постановка таких вопросов: «Больше или меньше, чем 21 кг, будет масса 1 ящика?», «Что больше, масса
х или 8-ми таких же ящиков?», «Как вы думаете, в ответе получится число больше, чем 21 кг или меньше? Почему?».
Решение: 8 • (21 : 3) = 56 (кг)
Ответ: 56 кг.
Чтобы ученики лучше осознали зависимость величин, рекомендую изменять одно из данных задачи, и краткую запись ее оформлять таблицей или схематическим чертежом:
1р.21 кг

1 ящ.
II р.

? кгВ этом случае возможен другой способ решения задачи, выражающий прямо пропорциональную зависимость: ящиков в 2 раза больше, значит, и масса 6 ящиков будет в 2 раза больше, чем в 1 раз.
Решение:
6:3=2 (раза) - больше стало ящиков во 2 раз.
21 • 2 = 42 (кг) - масса 6 ящиков.
Ответ: 42 кг.
Полезно рассматривать с учащимися задачи, в которых величины находятся в обратной пропорциональной зависимости.
Задача.
Масса 1 ящика Количество ящиков Общая масса
4 кг 7 32 кг
8 кг 7 32 кг
Количество ящиков зависит от массы 1 ящика при постоянном значении общей массы.
Учащиеся делают вывод: чем больше масса 1 ящика, тем меньше ящиков потребуется, чтобы разложить 32 кг фруктов.
Слабые учащиеся вывод подтверждают решением задачи:
32:4 = 8 (ящ.) - в 1 раз
32 : 8 = 4 (ящ.) - во 2 раз.
8 ящ. > 4 ящ. В 2 раза.
Обучая детей решению составных задач с пропорциональными величинами, следует обращать внимание на их особенности: в задаче участвует 3 величины; в каждой из них две величины, зависящие друг от друга, а одна - имеет постоянное значение; в зависимости от числовых данных эти задачи могут иметь два способа решения.
Таким образом, осуществляя работу по осознанию функциональной зависимости величин, учитель может использовать в своей работе такие приемы: обращение к наглядным и предметным действиям; беседа; опора на жизненный опят детей; составление обратных задач; изменение одного из данных; решение задач с недостающими данными; сравнение видов задач.Заключение.С идеей функциональной зависимости учащиеся знакомятся на самых ранних этапах школьного обучения математике.
Решение текстовых задач, построение графиков, вычисление значений алгебраических выражений и т.п. подготавливает школьников к восприятию понятия функции, которое в явном виде вводится в 8 классе в теме «Функции и графики».
Содержание учебников математики начальных классов формирует у учащихся первичное представление о числовых функциях и функциональных зависимостях величин, особенно при обучении их решению арифметических задач, что будет в дальнейшем способствовать более эффективному усвоению ими теории функции в средней школе.
Учителя начальных классов знают программу по предмету: какие понятия, умение и навыки должны быть сформированы у учащихся за годы обучения их в начальной школе; через какие виды упражнений раскрываются понятия: переменная величина, выражение с переменной, их значения, зависимость величин и другие.
Важность и сложность понятия функции требует от учителя грамотного и методически верного подхода к осуществлению пропедевтики этого понятия в начальных классах.
Учитель, который владеет знаниями теоретических основ функций, правильной технологией анализа, синтеза, обобщения, выводов в работе над упражнениями с функциональным содержанием, смоет сформировать у учащихся функциональный стиль мышления, реализовать принцип преемственности в обучении начальной школы и старших классов.
Литература.Амосова Н.В. Понятие функциональной зависимости в начальной школе /
Н.В. Амосова // Начальная школа. - 2000. № 5. - с. 42.
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. - М.: Просвещение, 1984.-с. 242.
Кузнецов В.И. О некоторых ошибках учащихся, связанных с вопросами алгебраической пропедевтики. / В.И. Кузнецов // Начальная школа. - 1974. №
- с. 36.
Казько Е.С. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами. / Е.С. Казько // Начальная школа. - 1998. № 5. - с. 70.
Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. / Н.Б. Истомина. - М.: Просвещение, 1995. - с. 35.
Назарова И.Н. Ознакомление с функциональной зависимостью при обучении решению задач / И.Н. Назарова // Начальная школа. - 1998. № 1. - с. 42.
Стойлова Л.П. Математика. Учебник для студентов пед. заведений. / Л.П. Стойлова // - М.: Академия, 2000. - с. 176.
Петрова В.И. Развитие мышления при решении задач / В.И. Петрова // Начальная школа. - 1992. № 1. - с. 23.
Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.М. Математика 1-4 классы, ч. 1,
/М.И. Моро и другие. - М.: Просвещение, 2002.
Петерсон Л.Г. Математика 1-4 кл., ч. 1, 2. / Л.Г. Петерсон. - М.: Издательство «Ювента», 2002.
Вахмянина Л.А. и др. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4). 2000.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учебное пособие для студентов пед. учебных заведений. - М.: «Академия», 2000. - с. 226.
Приложение.Конспект урока.
Тема: «Математические выражения с переменной».
Задачи: 1. Через упражнения раскрыть установление соответствия между элементами двух числовых множеств;
Проследить и установить зависимость между компонентами и результатом действия.
Развивать логическое мышление, математическую речь учащихся.
Ход урока.
Зависимость между компонентами и результатом действия.
Ребята, зависимость существует между различными величинами, а также между компонентами и результатом действия в простых числовых выражениях и выражениях с переменной.
На доске таблица.
Слагаемое 76 69 61 53 45 24
Слагаемое 8 8 8 8 8 8
Сумма — Рассмотрите таблицу.
Какие компоненты записаны в таблице?
Пронаблюдайте и скажите, что происходит с их значениями? Сравните. 1-ое слагаемое уменьшается, 2-ое слагаемое не изменяется.
От чего зависит значение суммы? От значения 1-ого слагаемого.
Как вы думаете, как будут изменяться значения суммы? Уменьшаться.
Докажите устно, что 76 > 69 на 7 единиц.
76 + 8 = 84, 69 + 8 = 77 84 > 77 на 7 единиц.
Сделайте вывод о зависимости суммы от значения 1-ого слагаемого при постоянном 2-ом слагаемом. Если 1-ое слагаемое уменьшить на несколько единиц, а 2-ое - оставить без изменения, то сумма уменьшится на столько же единиц.
Выражение с переменной.а)- Запишите выражение «С : 5». Прочитайте его. Какое это выражение?
Выражение с переменной.
Назовите переменную. Каким компонентом действия она является?
Какие значения может принимать переменная «С»? Любые числа,
делящиеся на 5.
Задание. Составьте 3 примера так, чтобы в каждом последующем значение
«С» увеличивалось в 2 раза, чем в предыдущем примере. (Самостоятельно втетради).
Проверим записи.
С: 5

С = 200, 200:5 = 40
Как изменяется делимое? Покажем стрелкой.
Сравните значения частного. Как они изменяются? От чего зависят значения частного?
При каком условии?
Сформируйте общий вывод. При увеличении делимого в несколько раз при постоянном делителе, значение частного увеличивается во столько же раз.
б)Самостоятельная работа.
Задание. Заполните таблицу. Покажите стрелками изменение величин.
Ответ:
С 10 20 30 40 50 60 80 100
4800:
С 480 240 160 120 96 80 60 48
Проверка:
ыйученик. Сравним пары значений: (20; 240) и (60; 80). 60 > 20 в 3 раза, 80
240 в 3 раза.
ойученик. Сравним пары значений: (40; 120) и (80; 60). 80 > 40 в 2 раза, 60
120 в 2 раза. (Оценка).
Сформулируйте вывод. Если делитель увеличить в несколько раз, а делимое не изменять, то частное уменьшится во столько же раз.
Сравнение выражений.Самостоятельная работа по вариантам.
Задание 1. Не вычисляя значение выражений, сравните их; запишите нужный знак «>» или «<»:
I в.II в.
65 + 18 * 65 + 2742-29 * 42-35
Задание 2. Подберите подходящее число:
68 + 7 > 68 + ?81 - 19 < ? - 19
Проверка (фронтально)
Ученик: 65 + 18 < 65 + 27, т.к. 18 < 27 Ученик: 81-19 < 82-19, т.к. 81 < 82 (Оценка).
Задание.
Заполнить таблицу.
Поставить стрелки зависимости компонентов и результата действия умножения.
Ученики выполняют задание на карточках на оценку, сдают на проверку.
Множитель 0 2 4 6 8 16 32
Множитель 5 5 5 5 5 5 5
Произведение Итог урока.Приведите пример зависимости компонентов и результата какого- либо действия в обобщенном виде.
Ответ: при увеличении вычитаемого на несколько единиц, разность уменьшается на столько же единиц при постоянном уменьшаемом.
Урок окончен.
Данный урок был проведен студенткой колледжа в 3 классе СОШ № 7, учитель Колганова К. А.
Результаты выполненного по карточкам задания, целью которого была проверка уяснения функционального смысла зависимости компонентов и результата действия умножения показали:
Из 26-ти человек правильно выполнили задание 23 человека, т.е. 88%
учащихся усвоили материал.
Правильный ответ.
ув. в 8 раз
Множитель 0 2 4 6 8 16 32
Множитель 5 5 5 5 5 5 5
Произведение 0 10 20 30 40 80 160
ув. в 8 раз
Ошибок в вычислениях и заполнении таблицы не допустил ни один ученик;
3 человека неверно указали направление «стрелок зависимости».
На уроке учащиеся активно принимали участие в обсуждении вопросов, с интересом рассуждали, приводили доказательства, высказывали свое мнение, что способствовало развитию их функционально-логическому мышлению и речи.
3Петерсон Л.Г. Математика, 3 кл. часть 1: Учебник для 4-х летней начальной школы - М.: АОЗТ «ИНПРО - РЕС», 1997.
4• (2 • 3) = 24
Сравним: 24 > 8 в 3 раза Из многократных наблюдений учащиеся приходят к выводу: если один из множителей увеличить в несколько раз, а другой не изменять, то произведение увеличится во столько же раз.
Таким образом формируется представление о прямо пропорциональной зависимости величин.
Изменение частного можно иллюстрировать отрезками (например, 6:3)
8Вахмянина Л.А. и др. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4), 2000.