Рабочая тетрадь по математике для студентов специальности 34.02.01 Сестринское дело. Раздел Развитие понятия о числе

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ – ТЕХНИКУМ
«ШЕНТАЛИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ»

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Рабочая тетрадь
для организации самостоятельной работы
студентов 1 курса специальности
34.02.02 Сестринское дело

Дисциплина: Математика (ОО.02.2)
Раздел: Развитие понятия о числе

Студент ________________________

Группа___________

ШЕНТАЛА 2014г.

РАССМОТРЕНО
«Общих гуманитарных, социально-экономических,
естественнонаучных и математических дисциплин»

Председатель
_______М.Б.Мутыгуллина

«___»___________2014г.

Протокол № _____

СОСТАВЛЕНО
в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников специальности
34.02.01 «Сестринское дело»

Заместитель директора по УР
___________ Е.В.Курганская

«___»____________ 2014г

Методист
__________ М.В.Бурлягина

«___»___________2014г

Автор: Панина Л.И.

СОДЕРЖАНИЕ
Рекомендации для студентов по работе с рабочей тетрадью
4

Пояснительная записка
5

Тема 1. Целые и рациональные числа.
6

Тема 2. Действительные числа.
13

Тема 3. Приближенные вычисления.
22

Тема 4. Комплексные числа
30

Дополнительные задания
38

Список использованных источников
39

РЕКОМЕНДАЦИИ
для студентов по работе с рабочей тетрадью

Уважаемые, студенты!

Предлагаемая рабочая тетрадь поможет Вам при выполнении домашних заданий по дисциплине Математика при изучении раздела «Развитие понятия о числе».

Для успешной работы с рабочей тетрадью Вам необходимо:
- внимательно ознакомиться с информационным материалом, который изложен по четырём темам;
- затем приступить к выполнению заданий для самоконтроля, начало которых после информационного материала по каждой теме обозначено знаками
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2,[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]3, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]4 соответственно.
Решив верно все дополнительные задания со страницы 38, Вы можете получить оценку «отлично».
При необходимости проконсультируйтесь с преподавателем математики.

Желаю удачи!

4
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данная рабочая тетрадь составлена в соответствии с учебным планом по специальности 34.02.01 Сестринское дело и рабочей программой по общеобразовательной дисциплине «Математика».
Целями создания рабочей тетради являются:
- повышение эффективности обучения и уровня творческого развития студентов;
- повышение качества самоподготовки студентов, а также оптимизация проведения занятий по дисциплине «Математика»
Внедрение рабочей тетради в практику учебного процесса решает следующие задачи:
- развитие мышления у студентов;
- более прочное усвоение теоретических положений, а также приобретение практических умений и навыков решения не только типовых, но и развивающих, творческих задач;
- овладение алгоритмами решения основополагающих задач;
- контроль за ходом учебного процесса по учебной дисциплине «Математика» и формирование у студентов умений и навыков самоконтроля.
В рабочей тетради предлагаются разнообразные формы заданий:
- выбор ответа из предложенных вариантов;
- ответ на вопрос;
- выполнение арифметических действий;
- задания, проверяющие знание теоретического материала.
Успешное выполнение заданий поможет выработать навыки, которые помогут студентам при сдаче экзаменов и зачетов.

Тема 1. Целые и рациональные числа.

Вам хорошо известны натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ... - это числа, которые используются при счёте предметов или обозначения порядка расположения предметов.Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N. Если к натуральным числам присоединить число 0 и все целые отрицательные числа:
-1,-2,-3,-4, ..., то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой Z. Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415  и т. д., то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой Q. Любое целое число m можно записать в виде дроби 13 EMBED Equation.3 1415 , поэтому справедливо утверждение о том, что множество Q рациональных чисел это множество, состоящее из чисел вида 13 EMBED Equation.3 1415.Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о следующем: 1. Вместо фразы «n натуральное число» можно писать 13 EMBED Equation.3 1415 (читается: «элемент n принадлежит множеству N»), Математический символ 13 EMBED Equation.3 1415 называют знаком принадлежности. 2. Вместо фразы «m целое число» можно писать m 13 EMBED Equation.3 1415  Z. 3. Вместо фразы «r рациональное число» можно писать r13 EMBED Equation.3 1415 Q. Понятно, что N часть множества Z, а Z часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415Математический символ 13 EMBED Equation.3 1415 называют знаком включения (одного множества в другое). Вообще, в математике запись х 13 EMBED Equation.3 1415X означает, что х один из элементов множества X. Запись 13 EMBED Equation.3 1415 означает, что множество А представляет собой часть множества В. Математики чаще говорят так: А подмножество множества В.
Обратите внимание: множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества строчными буквами. И еще на один момент обратите внимание: знаки принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно множество содержится в другом) различные, соответственно 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.А как записать, что элемент х не принадлежит множеству X или что множество А не является частью (подмножеством) множества В? Используют те же символы, но перечеркнутые косой чертой: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Вот несколько примеров использования введенных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений их называют также истинными высказываниями.

1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ation.3 1415
К рациональным числам, как мы уже не раз подчеркивали, относятся все те числа, с которыми вы успешно оперировали до тех пор, пока не встретились с квадратными корнями. Это были целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби.
Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи. Рассмотрим, например, целое число 7, обыкновенную дробь 13 EMBED Equation.3 1415 и десятичную дробь 8,377. Целое число 7 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 7,0000... Десятичную дробь 8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 8,377000... . Для числа 13 EMBED Equation.3 1415  воспользуемся методом «деления углом»:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]Как видите, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: 18, 18, 18, ... . Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,3181818... . Короче это записывают так: 0,3(18). Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь бесконечной десятичной периодической дробью. Как же представляется целое число и конечная десятичная дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби?
Для этого надо в периоде записать число 0. Например, 5 = 5,00000... = 5,(0), 8,377 = 8,377000... = 8,377(0). Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 конечная десятичная дробь, а 8,377000... бесконечная десятичная дробь. Таким образом, и число 5, и число 13 EMBED Equation.3 1415 , и число 8,377 удалось записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.
Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23).
Решение:
а) Положим х = 1,(23), т. е. х = 1,232323... . Умножим х на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, нужно, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число х надо умножить на 100.
Получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]б) Положим х = 1,5(23) = 1,5232323... . Сначала умножим х на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: 10х = 15,232323... . Теперь число 10х умножим на 100 тогда запятая сместится ровно на один период вправо: 1000х - 1523,232323... .

Имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]Вывод: множество Q рациональных чисел можно рассматривать как множество чисел вида 13 EMBED Equation.3 1415, где m целое число, n натуральное число, или как множество бесконечных десятичных периодических дробей.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1

1.1.) Представьте сумму рациональных чисел в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где а – минимальное целое число, а n- натуральное.

а)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

б)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1.2)Представьте сумму (разность) рациональных чисел в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где а – минимальное целое число, а n- натуральное.

а)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

б)
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

в)
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

г)
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1.3) Запишите числа в виде бесконечной десятичной дроби.

7

=

4, 244

=

13 EMBED Equation.3 1415

=

1.4) Запишите бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

0,2(7)

=

-------

0,(02)

=

-------

1.5) Выполните тестовые задания (обведите правильный ответ или правильные ответы).

1.Числа, которые используются при счёте предметов или обозначения порядка расположения предметов, называются:
а) рациональными,
б) натуральными,
в) целыми.

2. Какое высказывание является верным?
а) любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби,
б) любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби,
в) любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби.

3.Запись 13 EMBED Equation.3 1415 означает, что множество А:
а) представляет собой часть множества В,
б) является подмножеством множества В,
в) принадлежит множеству В.

4. Понятно, что N часть множества Z, а Z часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415,
в) 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Как коротко можно записать следующую бесконечную десятичную периодическую дробь 1,347474747 ?

а) 1, (347),
б) 1, 34(7),
в) 1,3(47).

Тема 2. Действительные числа.

Действительное число (также его часто называют вещественным) это любое положительное число, отрицательное число или число ноль. Обозначается множество действительных чисел латинской буквой R. Любое действительное число можно отложить на числовой прямой.
Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби 13 EMBED Equation.3 1415, где m и n натуральные числа.
Есть  простое правило: рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной непериодической дробью.
Примеры иррациональных чисел: 13 EMBED Equation.3 1415=1,41421 ,
13 EMBED Equation.3 1415= 3,14159 , 0,10100100010000100 .
У этих чисел нет последней цифры и нет периодического повторения групп цифр в «хвосте».Итак, примерами действительных чисел являются: -100; -1,25686; 0; 1,7272727; 7/8; 3,14; 100500; 1,41421 ; 3,14159; 0,10100100010000100 .
Что такое целая часть действительного числа? Покажем это на примере:
4,12156 целой частью является число 4,8,01245 целой частью является число 8,0,1 целой частью является число 0,101 целой частью является число 101,13 EMBED Equation.3 1415 целой частью является число 6 (13 EMBED Equation.3 1415).

Модуль действительного числа и его свойстваМодуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Модуль числа a обозначается |a|. Модуль числа всегда неотрицателен: |a|
· 0.
Модулем действительного число называется расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей данному числу (заметьте, расстояние не может быть отрицательным поэтому это самое удачное определение модуля).
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х;
модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: | х | = - х. Короче это записывают
13 EMBED Equation.3 1415
Например,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415);
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415).
На практике используют различные свойства модулей,
например: 1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415,
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4.13 EMBED Equation.3 1415,
5. 13 EMBED Equation.3 14156.13 EMBED Equation.3 1415
Геометрический смысл модуля действительного числа
Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели числовой прямой. Отметим на числовой прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415(a, b) расстояние между точками а и b (13 EMBED Equation.3 1415 буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]Все три случая охватываются одной формулой:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Решить уравнения: а) | х - 2| = 3;
б) | х + 3,2| = 2;
в) | х | = 2,7;
г) 13 EMBED Equation.3 1415= 0;
д) | 4х + 1 | = - 2 Решение:
а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
13 EMBED Equation.3 1415(х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.
б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (-3,2) | = 2 и далее  13 EMBED Equation.3 1415(х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, 13 EMBED Equation.3 1415(х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это точки - 2,7 и 2,7. Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.
г) Для уравнения 13 EMBED Equation.3 1415= 0 можно обойтись без геометрической иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0.
Поэтому х - 13 EMBED Equation.3 1415= 0, т. е. х = 13 EMBED Equation.3 1415.
д) Для уравнения | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой отрицательное число.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2

2.1.) Решите уравнения: а) |2х - 6| = 8;

б) |5x + 2| = - 11;

в) 13 EMBED Equation.3 1415

2.2.) Пользуясь определением модуля, запишите значения выражений.
13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
=

2.3.) Выполните тестовые задания (обведите правильный ответ или правильные ответы).
1. Целой частью числа 6,01243 является:
а) 0,
б) 6,
в) 1.
2. Рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную дробь.
а) периодическую,
б) непериодическую,
в) смешанную.

3. Числа, записанные в виде десятичной дроби, представленные бесконечной непериодической дробью являются:
а) рациональными,
б) иррациональными,
в) смешанными.
4. Какие числа будут иррациональными?
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 2,718281828459045...
в) 0, 3333.
5. Модулем действительного число называется:
а) абсолютная величина этого числа,
б) целая часть этого числа,
в) расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей данному числу.

6. Какое высказывание является неверным?
а) Любое действительное число можно отложить на числовой прямой.
б) Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел.
в) Модулем неотрицательного действительного числа х называют противоположное число: | х | = - х.
2.4.) Ответьте на вопросы.
1. В чём заключается геометрический смысл модуля действительного числа?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
____________________________________________________
2. Приведите примеры иррациональных чисел.
_____________________________________________________
____________________________________________________
3. Перечислите свойства модулей.

Тема 3. Приближенные вычисления.
Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте называются приближёнными вычислениями.
Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот.
Пусть х – точное значение некоторой величины и а - наилучшее из известных ее приближенных значений.
Модуль разности между точным числом x и его приближенным значением a называется абсолютной погрешностью приближённого значения числа х и обозначается через 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Число а называется приближённым значением точного числа х с точностью до 13 EMBED Equation.3 1415, если абсолютная погрешность приближённого значения а не превышает 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется границей абсолютной погрешности приближённого числа а. Существует бесконечное множество чисел 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющих данному определению. Поэтому на практике стараются подобрать возможно меньшее и простое по записи число 13 EMBED Equation.3 1415.
По известной границе абсолютной погрешности 13 EMBED Equation.3 1415 находятся границы, в которых заключено точное значение числа х:
13 EMBED Equation.3 1415. Это означает, что неизвестная величина х удовлетворяет следующим неравенствам: 13 EMBED Equation.3 1415.
При этом 13 EMBED Equation.3 1415 рекомендуется подбирать так, чтобы
а) в записи 13 EMBED Equation.3 1415 было не более 1-2 значащих цифр;
б) младшие разряды в записи чисел а и 13 EMBED Equation.3 1415 соответствовали друг другу.
Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,97(0,10.

Если в числе а=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то (а=0,005. Запись b=3,2 подразумевает, что (b=0,1. А по записи c=3,200 мы можем заключить, что (c=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.
Отношение 13 EMBED Equation.3 1415 называется относительной погрешностью. Относительную погрешность часто выражают в процентах.
Пример. Число 3,14 является приближенным значением числа 13 EMBED Equation.3 1415, погрешность его равна 0,00159..., абсолютную погрешность 13 EMBED Equation.3 1415 можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность 13 EMBED Equation.3 1415равной 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,00051 = 0,051%.
Все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться, называются значащими цифрами числа.
Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.
Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки.
Пример. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 .102 или 0,524 .105.
Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит.
Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Цифра числа называется верной (в строгом смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит половины разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Если а = 6,328 и 13EMBED Equation.31415а = 0,0007. Получаем
13EMBED Equation.31415а < 0 ,001. Следовательно, цифра 8-верная.
Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в записи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Пример. Если число a = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что 13 EMBED Equation.3 1415a = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. а = 47,5.
Правила округления чисел
Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить.
В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа, как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила.
Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу. Усиление совершается и тогда, когда первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней есть одна или несколько значащих цифр. (Случай, когда за отбрасываемой пятеркой нет цифр, рассматривает правило 3.)
Пример. Округляя число 27,874 до трех значащих цифр, пишем 27,9. Третья цифра 8 усилена до 9, так как первая отбрасываемая цифра 7 больше чем 5. Число 27,9 ближе к данному, чем неусиленное округленное число 27,8.
Пример. Округляя число 36,251 до первого десятичного знака, пишем 36,3. Цифра десятых 2 усилена до 3, так как первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней есть значащая цифра 1. Число 36,3 ближе к данному (хотя и незначительно), чем неусиленное число 36,2.
Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то усиления не делается.

Пример. Округляя число 27,48 до единиц, пишем 27. Это число ближе к данному, чем 28.
Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производитсяна ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная. (Почему применяется это правило, сказано ниже в замечании)
Пример. Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.
Пример. Округляя число 0,935 до второго десятичного знака, пишем 0,94. Последняя сохраняемая цифра 3 усиливается, так как она нечетная.
Пример. Округляя числа 6,527; 0,456; 2,195; 1,450; 0,950; 4,851; 0,850; 0,05 до первого десятичного знака, получаем:
6,5; 0,5; 2,2; 1,4; 1,0; 4,9; 0,8; 0,0.
Замечание. Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточные. Взаимная компенсация погрешностей обеспечит наибольшую точность результата.
Правило 3 можно изменить и применять всегда округление на ближайшее нечетное число. Точность будет та же, но четные цифры удобнее, чем нечетные.
При округлении числа, записанного в форме х±(х, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.
Пример. Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05, так как погрешность округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления. В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511. Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ: 4,54±0,06.

Пример. Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a1 = 16,40. Погрешность округления 13EMBED Equation.31415 Для нахождения полной погрешности 13EMBED Equation.31415, нужно сложить 13EMBED Equation.31415 c погрешностью исходного значения а1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: 13EMBED Equation.31415= 0,001. Таким образом, 13EMBED Equation.31415. Отсюда следует, что в значении a1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.
Действия над приближёнными числами
Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число.
Сложение и вычитание приближённых значений чисел
Граница абсолютной погрешности суммы и разности приближённых значений чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найти сумму S приближённых значений чисел 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Граница абсолютной погрешности заключена в пределах
13 EMBED Equation.3 1415. В приближённом значении суммы верными являются две цифры (в разрядах десятков и единиц, т.к 0,5 – половина единицы). Полученный результат округлим до единиц: 13 EMBED Equation.3 1415.
При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. Другими словами, результат сложения или вычитания приближенных чисел не должен оканчиваться значащими цифрами в тех разрядах, которые отсутствуют хотя в одном из данных чисел. Если такие цифры получились, их следует отбросить посредством округления.

Пример.
124,72 + 5,1243 = 129,844313 EMBED Equation.3 1415129,84.
518,7-71,32 = 447,3813 EMBED Equation.3 1415447,4.

При умножении и делении приближённых чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр. Другими словами, результат умножения, а также деления приближенных чисел не должен заключать больше значащих цифр, чем имеется их в более коротком данном. Лишние цифры заменяют нолями.

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]3
3.1.) Выполните тестовые задания

1.Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте называются вычислениями.

а) точными,
б) приближёнными,
в) экспериментальными.

2. Как называется разница между точным значением x и его приближенным значением a?

а) Погрешностью данного приближенного числа.
б) Приближением числа а.
в) Отклонением от точного значения.

3. Округлять погрешности всегда следует:
а) с недостатком,
б) с избытком,
в) по правилу 3.

4. Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются:
а) сомнительными,
б) верными,
в) значащими.

5. Все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться, называются цифрами числа.
а) сомнительными,
б) верными,
в) значащими.
3.2.) Установите соответствие между числами и количествами значащих цифр в них.

0,068
1
4

0,50210
2
5

9340
3
2

3.3) Ответьте на вопросы.
Сколько значащих цифр следует сохранять в результате умножения и деления приближённых чисел 0,834 и 4,51?
____________________________________________________

Является ли верной цифра 6 в записи числа, если
а = 15,216 и 13EMBED Equation.31415а = 0,0008? Почему?
__________________________________________________
___________________________________________________
Сколько верных знаков имеет число a = 47,542 , если оно получено в результате действий над приближенными числами и известно, что 13 EMBED Equation.3 1415a = 0,01%? Запишите, чему равняется a.
____________________________________________________
____________________________________________________

3.4) Округлите числа до первого и второго десятичного знака.
6,527
=

0,456
=

2,195
=

1,450
=

0,950
=

4,851
=

0,850
=

5,387
=

7,008
=

9,032
=

3.5.) Округлите до сотых число 3,3381±0,0436.

3.6.) Найдите сумму S приближённых значений чисел 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

3.7.) Найдите сумму и разность приближённых чисел
4,53 и 0,642 .

3.8.) Найдите произведение и частное приближённых чисел
14,23 и 1,7196.

3.9.) Возведите в квадрат и куб приближённое число 3,9.

3.10.)Округлите числа до предпоследнего десятичного знака, считая слева направо.

4,44685
=

0,0345
=

2,0075
=

3,999955
=

48,35
=

8,25
=

10,3315
=

0,22265
=

Тема 4. Комплексные числа
Комплексным числом z называется число вида 13 EMBED Equation.3 1415,
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Её особенностью является то, что 13 EMBED Equation.3 1415. Число a называется действительной частью (13 EMBED Equation.3 1415) комплексного числа z, число b называется мнимой частью (13 EMBED Equation.3 1415) комплексного числа z.
13 EMBED Equation.3 1415, – это единое число, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: 13 EMBED Equation.3 1415 или переставить мнимую единицу: 13 EMBED Equation.3 1415 – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: 13 EMBED Equation.3 1415.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Как упоминалось выше, буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой C. Поэтому на чертеже следует поставить букву C, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – действительная ось[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – мнимая ось
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отмечаем:
ноль;
единицу по действительной оси;
мнимую единицу i по мнимой оси.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в в школе на уроках геометрии.Рассмотрим следующие комплексные числа: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось 13 EMBED Equation.3 1415 обозначает в точности множество действительных чисел R , то есть на оси 13 EMBED Equation.3 1415 сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел C.
Числa 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси 13 EMBED Equation.3 1415.
В числах13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены cтрелками на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

Алгебраическая форма комплексного числа.Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, 13 EMBED Equation.3 1415  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел
Пример.
Сложить два комплексных числа 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо равенство:13 EMBED Equation.3 1415– от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример.
Найти разности комплексных чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная:13 EMBED Equation.3 1415 . Для наглядности ответ можно переписать так: 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассчитаем вторую разность:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Здесь действительная часть тоже составная: 13 EMBED Equation.3 1415 .
Умножение комплексных чисел
При умножении комплексных чисел пользуемся знаменитым равенством: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Найти произведение комплексных чисел 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидно, что произведение следует записать так:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Распишем подробно:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
Деление комплексных чисел
Пример. Даны комплексные числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найти частное 13 EMBED Equation.3 1415.
Составим частное:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем формулу 13 EMBED Equation.3 1415 и смотрим на наш знаменатель: 13 EMBED Equation.3 1415. В знаменателе уже есть 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому сопряженным выражением в данном случае является 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на13 EMBED Equation.3 1415, и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число 13 EMBED Equation.3 1415:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой13 EMBED Equation.3 1415  (помним, что 13 EMBED Equation.3 1415 и не путаемся в знаках!).
Распишем подробно:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ: i
Возведение комплексных чисел в степень
Пример.
Возвести в квадрат комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей 13 EMBED Equation.3 1415 и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример.
Возвести в степень комплексные числа 13 EMBED Equation.3 1415 .
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]4
4.1.) Даны два комплексных числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, Найдите их сумму, разность, произведение и частное.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
_
13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
.
13 EMBED Equation.3 1415
=

13 EMBED Equation.3 1415
:
13 EMBED Equation.3 1415
=

4.2.) Возведите в квадрат комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
=

4.3.) Выполните действия
а)
13 EMBED Equation.3 1415
=

б)
13 EMBED Equation.3 1415
=

Дополнительные задания.

Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби.
Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных периодических дробей:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415, если: а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415, если а < 0.
Вычислите13 EMBED Equation.3 1415.
Выпишите верные утверждения: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Выполните действия.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
8. Чему равно 13 EMBED Equation.3 1415?

9

8

7

6

5

4

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

Использованная литература
1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. учеб. заведений/ Н.В.Богомолов. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 495 с.
2.Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. Изд. 2-е, дополн. и перераб. Ростовн/Д : Феникс, 2013. 442, [1]с. (Медицина).

Интернет-ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

38

37

36

35

34

33

32

31

30