Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

Опорный конспект
по теме «Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла»
1. Задача о вычислении пути
Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой ( = 2t+3t13 EMBED Equation.3 1415 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
S=13 EMBED Equation.3 1415((t)dt, (1)
Формула(1)
Решение.
t13 EMBED Equation.3 1415=0с; t 13 EMBED Equation.3 1415 = 5с.
По формуле (1) найдем путь, пройденный телом за 5 сек.
S=13 EMBED Equation.3 14152t+3t13 EMBED Equation.3 1415)dt = (t13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415=150(м).

Ответ. S=150 м.
Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v13 EMBED Equation.3 1415=(6t13 EMBED Equation.3 1415+2t)м/с, второе – со скоростью v13 EMBED Equation.3 1415=(4t+5)м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.
S13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 14156 t13 EMBED Equation.3 1415+2t)dt = (2t13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415=275(м)
S13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 14154 t+2)dt = (2t13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415=75(м)
Таким образом, S= S13 EMBED Equation.3 1415- S13 EMBED Equation.3 1415 =275-75=200(м).

2.Задача о вычислении работы переменной силы.
Работа A этой силы F вычисляется по формуле:
А=F*s, (2)
Где S – перемещение, м.
Если F – сила упругости, то по закону Гука
F=kx, (2*)
где x- величина растяжения или сжатия,
k – коэффициент пропорциональности.

Работа переменной силы вычисляется по формуле (4)
A=13 EMBED Equation.3 1415 (3)

Пример. Сила упругости F пружины, растянутой на 113 EMBED Equation.3 1415 =0,05м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 113 EMBED Equation.3 1415 = 0,1м?
Решение
Определим коэффициент пропорциональности k.
Подставим формулу (2*) F=3 H, x = 0,05 м:
3=k*0,0,5, т.е. k=60, следовательно, F=60x=f(x).
Подставив F=60x в формулу (3), найдем значение работы переменной силы, полагая, что а=0; b=0,1:
A=13 EMBED Equation.3 1415=0,3Дж

Ответ. А = 0,3Дж.

Задача о силе давления жидкости.
Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле
P=gphS,
· (4)
Где g – ускорение свободного падения в м/с13 EMBED Equation.3 1415;
p – плотность жидкости в кг/м13 EMBED Equation.3 1415;
h– глубина погружения площадки в м;
S – площадь площадки в м13 EMBED Equation.3 1415;
Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется по формуле (5)
P=g13 EMBED Equation.3 1415. (5)

Пример.
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м13 EMBED Equation.3 1415), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4мx0,7м.


Решение
Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, где x([0;0,4], поэтому пределы интегрирования а=0 и b=0,4.
Для нахождения силы давления воды на стену воспользуемся формулой (5).
P=g13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=56g(549H
g=9,8 м/с13 EMBED Equation.3 1415 ускорение свободного падения.

Самостоятельно решите задачи:
1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (=9t2-2t-8 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения.
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v13 EMBED Equation.3 1415=(2t13 EMBED Equation.3 1415+4t)м/с м/с, второе – со скоростью v13 EMBED Equation.3 1415=(3t+2)м/м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?
3. Сила упругости F пружины, растянутой на 113 EMBED Equation.3 1415 =0,02м, равна 2H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 113 EMBED Equation.3 1415 = 0,05м?
4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 нужна сила 10 Н.
Таблица 1
№ п/п
Физическая величина
Формула
Единицы измерения

1
Путь, пройденный точкой с переменной скоростью ((t) за отрезок времени [t13 EMBED Equation.3 1415,t 13 EMBED Equation.3 1415]
S=13 EMBED Equation.3 1415((t)dt
t13 EMBED Equation.3 1415,t 13 EMBED Equation.3 1415 - с;
((t) – м/с;
S – м.

2
Работа переменной силы f(x) на пути от точки a до точки b
A=13 EMBED Equation.3 1415

f(x) – H;
a; b – м;
A – Дж.

3
Сила давления жидкости на вертикальную пластину
P=g13 EMBED Equation.3 1415

g=9,8 м/с13 EMBED Equation.3 1415;
p – кг/м13 EMBED Equation.3 1415;
a; b – м;
р – Н.











13PAGE 15


13PAGE 14315




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native