Презентация по математике на тему Дифференцирование показательной и логарифмической функции (11 класс)

МАОУ лицей №10 города СоветскаКалининградской области учитель математикиРазыграева Татьяна НиколаевнаДифференцирование показательной и логарифмической функций. ху Число e. Функция y = 𝒆𝒙 , её свойства и график. Пункт 1.
Подготовительная работа.ху10Графики какой функции показаны на рисунке?𝒚= 𝒂𝒙, a > 1 Что общего для всех графиков показательной функции при a > 1?Все проходят через точку (0;1).2. Все имеют горизонтальную асимптоту y = 0.3. Все обращены выпуклостью вниз.4. Все имеют касательные во всех своих точках.








ху101Постройте график функции 𝒚=𝟐𝒙 и проведите касательную в точке x = 0. Измерьте угол между касательной и осью x.Постройте графики функций 𝒚=𝟑𝒙 и 𝒚=𝟏𝟎𝒙 . Проведите касательные к ним в точке x = 0 .Измерьте угол между каждой касательной и осью x.Сделайте вывод.







ху101ху101Вывод: если основание показательной функции увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке x = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°.Существует ли основание a, для которого соответствующий угол будет равен 45°?Между какими числамиэто значение будет находиться?











Основание показательной функции, для которой касательная, проведённая в точке x = 0 и образующая с осью абсцисс угол 45°, принято обозначать буквой e.е – иррациональное число.е = 2,7182818284590….е ≈ 2,7Лев Толстой в Ясной Поляне (1908). Фотографический портрет работы С. М. Прокудина-Горского.Дата рождения: 28 августа (9 сентября) 1828


ху101Свойства функции 𝒚= 𝒆𝒙: 1. D(f) = (- ∞; + ∞.)2. Не является ни чётной, ни нечётной.3. Возрастает. 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5. Не имеет ни наибольшего, на наименьшего значений.6. Непрерывна.7. E(f) = (0; + ∞.)8. Выпукла вниз.9. Дифференцируема.𝒆𝒙΄= 𝒆𝒙 𝒆𝒙𝒅𝒙= 𝒆𝒙+𝑪 









Пример 1.Провести касательную к графику функции 𝒚= 𝒆𝒙 в точке x = 1. Решение:y = f(a) + f΄(a)(x – a) 1) a = 12) f(a) = f(1) = e3) f΄(x) = 𝒆𝒙, f΄(a) = f΄(1) = e y = e + e (x – 1) y = exОтвет: y = exПример 2.Вычислить значение производной функции 𝒚= 𝒆𝟒𝒙−𝟏𝟐 в точке x = 3. Решение:y΄ = (𝒆𝟒𝒙−𝟏𝟐)΄ = 4 𝒆𝟒𝒙−𝟏𝟐 y΄(3) = 4 𝒆𝟏𝟐−𝟏𝟐 = 4 𝒆𝟎= 4 Ответ: 4







Пример 3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиy = 0, x = 0, x = 2, 𝒚= 𝒆𝒙. Решение:ху20𝒆𝟐 S = 𝟎𝟐𝒆𝒙 dx = 𝒆𝒙│𝟐𝟎= =𝒆𝟐−𝒆𝟎=𝒆𝟐−𝟏 Ответ: 𝒆𝟐−𝟏  







Пример 4.Исследовать на экстремум и схематически изобразить график функции 𝒚= 𝒙𝟐𝒆𝒙. Решение:y΄ = (𝒙𝟐𝒆𝒙)΄ = (𝒙𝟐)΄ 𝒆𝒙 + 𝒙𝟐(𝒆𝒙)΄ = 2x𝒆𝒙 + 𝒙𝟐𝒆𝒙  y΄ = x𝒆𝒙(x + 𝟐)  - 20x++-f(x)f΄(x)maxminху-20e-11𝒚𝒎𝒂𝒙=𝒚−𝟐=−𝟐𝟐∙𝒆−𝟐= = 𝟒𝒆𝟐≈𝟎,𝟓 𝒚𝒎𝒊𝒏=𝒚𝟎=𝟎𝟐∙𝒆𝟎=𝟎 












Натуральные логарифмы.Функция y = lnx, её свойства и график.Пункт 2.
Подготовительная работа.Докажите, что:Вычислите:𝒍𝒐𝒈𝟐𝟖=𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟏𝟗=−𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟏𝟎,𝟏=𝟏 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓=−𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟏𝟐𝟕; 𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟏𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏; 𝒍𝒐𝒈𝟕𝟏𝟒𝟗; 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟏𝟓(𝟐𝟐𝟓𝟑𝟏𝟓) 𝒍𝒈𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 Назовите основания данных логарифмов.





Существует ли логарифм по основанию e?Если основанием логарифма служит число e, то говорят, что задан натуральный логарифм.𝒍𝒐𝒈𝒆𝟐; 𝒍𝒐𝒈𝒆𝟔; 𝒍𝒐𝒈𝒆𝟎,𝟒… Введено специальное обозначение для натуральных логарифмов:𝒍𝒏𝟐; 𝒍𝒏𝟔; 𝒍𝒏𝟎,𝟒 ( l – логарифм, n – натуральный).𝒍𝒏𝟏=𝟎; 𝒍𝒏𝒆=𝟏; 𝒍𝒏𝒆𝒓=𝒓; 𝒆𝒍𝒏𝒙=𝒙; 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙=𝒍𝒏𝒙𝒍𝒏𝒂 







Что можно сказать о графиках функций 𝒚= 𝒂𝒙 и 𝒚= 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙? Как построить график функции y = lnx?ху101y = xСвойства функции 𝒚=𝒍𝒏𝒙: 1. D(f) = (- ∞; + ∞.)2. Не является ни чётной, ни нечётной.3. Возрастает на (0; +∞). 4. Не ограничена ни сверху, ни снизу. 5. Не имеет ни наибольшего, на наименьшего значений.6. Непрерывна.7. E(f) = (0; + ∞.)8. Выпукла вверх.9. Дифференцируема.













Для любого значения x > 0 справедлива формула:𝒍𝒏𝒙΄=𝟏𝒙 𝒅𝒙𝒙=𝒍𝒏𝒙+𝑪 Если условие x > 0 не выполняется, то используется более общая формула:𝒅𝒙𝒙=𝒍𝒏𝒙+𝑪 


Пример 5.Вычислить значение производной функции 𝒚=𝒍𝒏𝟑𝒙+𝟓 в точке x = -1. Решение:𝒚΄=𝒍𝒏𝟑𝒙+𝟓΄=𝟑 𝟏𝟑𝒙+𝟓=𝟑𝟑𝒙+𝟓 𝒚΄−𝟏=𝟑𝟑−𝟏+𝟓 𝒚΄−𝟏=1,5 Ответ:1,5Пример 6.Провести касательную к графику функции 𝒚=𝒍𝒏𝒙 в точке x = e. 




Решение:1) a = e;2) f(a) = f(e) = lne = 1;y = f(a) + f΄(a)(x – a) 3) f΄(x) = 𝟏𝒙; f΄(a) = f΄(e) = 𝟏𝒆; 4) Подставим найденные значения в уравнение касательной. Получим: y = 1+ 𝟏𝒆𝒙−𝒆, 𝒚=𝒙𝒆. Ответ: y = 𝒙𝒆. Пример 7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, x = 1, x = e и гиперболой y = 𝟏𝒙. 




ху101Решение:S = 𝟏𝒆𝒅𝒙𝒙 = 𝒍𝒏𝒙│𝒆𝟏= =𝒍𝒏𝒆−𝒍𝒏𝟏=𝟏 −𝟎=𝟏 Ответ: 𝑺= 𝟏  Пример 8.Исследовать на экстремум функцию 𝒚=𝒍𝒏𝒙𝒙. Решение:







𝒚΄=𝒍𝒏𝒙𝒙΄=𝒍𝒏𝒙΄∙𝒙−𝒍𝒏𝒙∙𝒙΄𝒙𝟐 𝒚΄=𝟏𝒙∙𝒙−𝒍𝒏𝒙∙𝟏𝒙𝟐 𝒚΄=𝟏−𝒍𝒏𝒙𝒙𝟐 Эта производная существует при всех значениях x > 0.Значит критических точек нет.𝒚΄=𝟎  при 𝟏−𝒍𝒏𝒙= 𝟎 𝒙=𝒆 e0x+-f(x)f΄(x)max𝒚𝒎𝒂𝒙=𝒚𝒆=𝒍𝒏𝒆𝒆=𝟏𝒆 Ответ: 𝒙=𝒆 − точка максимума; ymax= 𝟏𝒆. 











Докажем формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функций.𝒚=𝒂𝒙 𝒂= 𝒆𝒍𝒏𝒂 𝒂𝒙= 𝒆𝒙𝒍𝒏𝒂 (𝒂𝒙)΄= (𝒆𝒙𝒍𝒏𝒂)΄=𝒍𝒏𝒂 𝒆𝒙𝒍𝒏𝒂= 𝒍𝒏𝒂𝒂𝒙 (𝒂𝒙)΄= 𝒍𝒏𝒂𝒂𝒙 𝒚=𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 𝒚΄=(𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙)΄ 𝒚΄=(𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙)΄=𝒍𝒏𝒙𝒍𝒏𝒂΄=𝟏𝒍𝒏𝒂𝒍𝒏𝒙΄ 𝒚΄=𝟏𝒍𝒏𝒂𝟏𝒙=𝟏𝒙𝒍𝒏𝒂 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 ΄=𝟏𝒙𝒍𝒏𝒂