Презентация занятия по теории вероятностей Основы теории вероятностей для студентов 2 курса технических специальностей СПО

Основы теории вероятностейРазработала: Бармотина Л.А. Основные понятия комбинаторики В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п. Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43). Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:Например : По договорённости: 0!=1 . Также это равенство выполняется естественным образом:Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.Понятие факториал Пример:Вычислить: а) 3!; б) 7!-5!; в) .Решение. а) 3!=1*2*3=6.б) Так как 7!=1*2*3*4*5*6*7 и 5!=1*2*3*4*5, то можно вынести за скобки 5!Тогда получим 5!(6*7-1)=5!*41=1*2*3*4*5*41=120*41=4920.в) = = = .{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}7!+5!6!{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}7!+5!6!{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}5!(6*7+1)5!*6{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}6*7+16{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}436 В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки; размещения; сочетания. Перестановки Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Перестановки обозначаются символом Рn, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка). Число перестановок можно вычислить по формуле:Рn = n*(n-1)(n-2)...3*2*1или с помощью факториала:Pn = n! Пример: Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг? Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.P6=6!=1*2*3*4*5*6=720. Размещения Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения. Размещения обозначаются символом , где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации. (А-первая буква французского слова arrangement, что означает "размещение, приведение в порядок"). При этом полагают, что n < m. Число размещений можно вычислить по формуле: т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m. формула в факториальной форме. Пример: Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов? Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}А3= 5 * 4 * 3 = 65 Сочетания Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа, причем n < m). Число сочетаний из m элементов по n обозначаются (С-первая буква французского слова combination - сочетание). В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов: формула в факториальной форме. Пример: В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами. Находим по первой формуле: Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}C425{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}C4=25*24*23*22= 12650251*2*3*4{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}Cn= Cn+1(0 < n < m)mm Историческая справка Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год). Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.