Методы решения систем линейных уравнений (методы: Гаусса, Крамера, обратной матрицы) для студентов нематических специальностей ВУЗов)

Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ1. МЕТОД ГАУССА

Дана система из трех уравнений:Матрица системы будет иметь вид:Если включить в нее столбец свободных членов, то она будет называться расширенной:


Исключим переменную x1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во 2-й и 3-ей строке первого столбца.Для этого умножим первое уравнение на (-2) и (-3) и сложим соответственно, со 2-м и 3-м уравнением:


Теперь исключим переменную x2 из третьего уравнения (получим ноль в 3-ей строке 2-го столбца).Для этого умножим 2-е уравнение на (-5) и сложим его с третьим:





Запишем полученную систему уравнений:Последовательно находим:Ответ:



2. МЕТОД КРАМЕРАПусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений.Найдем определитель матрицы системы:

Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го столбца столбцом свободных членов:Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам:


формулы Крамера

Решим систему из предыдущего примера.Матрица системы имеет вид:Находим ее определитель:


Найдем определители Δ1 , Δ2 , Δ3 :

Используем формулы Крамера:Ответ:


Замечание:Если Δ=0 при том, что хотя бы одиниз определителей ΔJ не равен нулю,то система (1) несовместна.Если Δ=0 и все ΔJ тоже равны нулю, то система неопределенная, так как она имеет бесконечное множестворешений.
3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫПусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений.В матричной форме система имеет вид:Пусть существует обратная матрица А-1 к матрице системы А.

Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х:Проверяем:


Решим системуМатрица системы и столбец свободных членов имеют вид:Найдем обратную матрицу А-1 :Ранее был найден определитель матрицы А:


Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А :





Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений:Транспонируем ее и делим на определитель. Получаем обратную матрицу:


Находим решение системы уравнений:Ответ: