Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Основные свойства определителей» — урок 4-ый. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.

Тема 1.1.Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 4 УРОК ЧЕТВЁРТЫЙ Основные свойства определителей. ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы т.е. при транспонировании величина определителя сохраняется. а1 b1 a2 b2 a1 а2 b1 b2 Пусть detA = , detB = Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = a1 b2 – b1 a2 = a1 b2 – a2 b1 что detA = detB , Ч. Т. Д. Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы т.е. при транспонировании величина определителя сохраняется. Свойство № 1 Даны две матрицы А и В. Вычислить определитель. 3 5 4 1 3 4 5 1 А = В = Решение. Найдём определитель матриц А и В detA = 3 5 4 1 = 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17 detB = 3 4 5 1 = 3 1 - 5 4 = 3 – 20 = -17 detA = detB СВОЙСТВО № 1 Рассмотрим пример 1 При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак. а1 b1 a2 b2 b1 а1 b2 a2 Пусть detA = , detB = Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = b1 a2 – b2 a1 = - (a1 b2 – a2 b1) что detA = - detB , Ч. Т. Д. Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = b1 a2 – b2 a1 = - (a1 b2 – a2 b1) что detA = - detB , Ч. Т. Д. Свойство № 2 Даны две матрицы А и В. Вычислить определитель. 3 5 4 1 5 3 1 4 А = В = Решение. Найдём определитель матриц А и В detA = 3 5 4 1 = 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17 detB = 5 3 1 4 = 5 4 - 1 3 = 20 – 3 = 17 detA = - detB СВОЙСТВО № 2 Даны две матрицы А и В. Вычислить определитель. 3 5 4 1 5 3 1 4 А = В = Решение. Найдём определитель матриц А и В Рассмотрим пример 2 Определитель, в котором два одинаковых столбца или строки, равен нулю. а1 a1 a2 a2 Пусть detA = = a1 a2 - a1 a2 = 0 Рассмотрим пример 3 detA = 3 3 7 7 = 3 7 – 7 3 = 21 – 21 = 0 Дана матрица А. Вычислить определить. 3 3 7 7 А = Свойство № 3 Если все элементы какого-либо столбца или строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число. а1 b1 a2 b2 λa1 а2 λb1 b2 Пусть detA = , detB = Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = λa1 b2 – λb1 a2 = λ(a1 b2 – a2 b1) что detB = λ detA , Ч. Т. Д. Свойство № 4 Даны две матрицы А и В. Вычислить определитель. 3 5 4 1 А = В = Решение. Найдём определитель матриц А и В 6 5 8 1 detA = 3 5 4 1 = 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17 detB = 6 5 8 1 = 6 1 - 8 5 = 6 – 40 = - 34 detB = λ detA СВОЙСТВО № 4 Рассмотрим пример 4 Определитель, у которого элементы двух столбцов или строк соответственно пропорциональны, равен нулю. a1 λа1 а2 λа2 Пусть detА = Тогда detA = λ a1 а2 – λ а2 a1 = 0 Рассмотрим пример 5 detA = 3 9 4 12 = 3 12 – 4 9 = 36 – 36 = 0 Дана матрица А. Вычислить определить. 3 9 4 12 А = Свойство № 5 Если каждый элемент какого-либо столбца или строки определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них элементами соответствующего столбца или строки первые слагаемые, у другого – вторые. а1 b1 a2 b2 d1 b1 d2 b2 detA = detB = a1 + d1 b1 a2 + d2 b2 detD = Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 и detB = d1 b2 – d2 b1 Det D = ( a1 + d1 ) b2 – ( a2 + d2 ) b1 = a1b2 + d1b2 – a2 b1 – d2 d1 = ( a1 b2 – a2 b1 ) + ( d1 b2 – d2 b1 ) = detA + detB detA detB Свойство № 6 СВОЙСТВО № 6 Даны три матрицы А , В и D. Вычислить определитель. 3 5 4 1 А = В = 4 5 4 1 7 5 8 1 D = Решение. Найдём определитель матриц А , В , D detA = 3 5 4 1 = 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17 detB = 4 5 4 1 = 4 1 - 4 5 = 4 – 20 = - 16 detD = 7 5 8 1 = 7 1 - 8 5 = 7 – 40 = - 32 detD = detA + detB 3+4 4+4 Рассмотрим пример 6 Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца или строки прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на одно и то же число. a1 b1 a2 b2 detA = a1 + λb1 b1 a2 + λb2 b2 detB = Тогда detA = a1 b2 - a2 b1 detB = ( a1 + λb1 ) b2 – ( a2 + λb2 ) b1 = a1 b2 + λb1 b2 – a2 b1 – λb1 b2 == a1 b2 – a2 b1 = detA detA = detB detA Свойство № 7 Даны две матрицы А и В. Вычислить определитель. 3 5 4 1 А = В = 3 + 6 5 5 4 + 6 1 1 Решение. Найдём определитель матриц А и В detA = 3 5 4 1 = 3 1 – 4 5 = 3 – 20 = -17 detB = 33 5 10 1 = 33 1 - 10 5 = 33 – 50 = - 17 33 5 10 1 = СВОЙСТВО № 7 Рассмотрим пример 7 Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.