Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Основные операции над матрицами» — урок 2-ой. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.

Тема 1.1.Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 2 УРОК ВТОРОЙ Основные операции над матрицами. ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru Определение Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и а также соответствующие элементы: Равные матрицы Задание. Пусть задана матрица                 Найти все элементы матрицы А  , если известно, что она равна матрице Решение. Так как матрицы А и В   равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е Ответ: Пример 1 Матрицы любого порядка можно умножать на число. Для этого каждый элемент матрицы следует умножить на это число. Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число, то есть Умножение матрицы на число (λμ) А = λ (μ А) - ассоциативный закон относительно числового множителя;λ (А+В) = λ А+λ В – распределительный (дистрибутивный) закон относительно суммы матриц;3. (λ +μ )А = λ А+μ А – дистрибутивный закон относительно суммы числовых множителей. Умножение матрицы на число подчиняется следующим законам: Задание. Чему равна матрица - 3А, если матрица                   Решение. Ответ: Пример 2 Складывать можно матрицы одного порядка.Пусть даны две матрицы А и В одного порядка. а11 а12 а13 ........ а1ma21 a22 а23 .......... а2m...........................an1 аn2 an3 …….. anm b11 b12 b13 ........ b1mb21 b22 b23 .......... b2m...........................bn1 bn2 bn3 …….. bnm А = В = тогда С = А+В если cij = aij + bij , где i =1,2,3,…,n; j = 1,2,3,…,m; т.е. C = (a11 + b11 ) (a12 + b12 ) ........ (a1n + b1m )(a21 + b21 ) (a22 + b22 ) ..... (a2n + b2m )....................................................( an1 + bn2 ) (an2 + bn3 )…….. (anm + bnm ) Сложение матриц Задание. Найти А + В , если Решение. Ответ: Пример 3 Из определения операции сложения матриц следует, что она обладает всеми теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел А + В = В + А, т.е. подчиняется переместительному (коммутативному) закону,2. (А+В)+П = А+(В+П), т.е. подчиняется сочетательному (ассоциативному) закону.3. А+Q = Q+A где Q - нулевая матрица соответствующего размера. Свойства сложения матриц Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число. Вычитание матриц вводится следующим образом: То есть к матрице А прибавляется матрица В, умноженная на (-1). Разностью матриц А и В одного и того же размера называется матрица С такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице А матрицы В , умноженной на (-1). Разность матриц Вычитать можно только матрицы одинакового размера Задание. Найти матрицу С = А – 3В, если Решение. Ответ: Пример 4 Умножать одну матрицу на другую не всегда возможно. Матрицу А можно умножить на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В. Произведением матрицы А mxn = ( aij ) на матрицу B nxp = ( bjk ) называется матрица C mxp = ( cik ) такая что, cik = ai1 b1k + ai2 b2k + …. + ain bnk где i = 1,2, … , m ; k = 1,2, …. ,p Т.е. элемент матрицы С равны сумме произведений элементов i - ой строки матрицы A   на соответствующие элементы к- го столбца матрицы B. Произведение двух матриц * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = Примечание1. АВ = ВА выполнимо, когда матрицы А и В квадратные и имеют один размер2. АЕ = ЕА = А выполнимо, когда А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера i k Получение элемента сik схематично изобразим так а11 а12 а13 a21 a22 а23 b11 b12 b21 b22 b31 b32 А = В = Задание. Найти произведение матрицы С = АВ, если а11 а12 а13 a21 a22 а23 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b11 b12 b21 b22 b31 b32 b11 b12 b21 b22 b31 b32 a11b11 + a12 b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 = 2x3 3x2 Пример 5 1. Ассоциативность 2. Ассоциативность по умножению                          3. Дистрибутивность 4. Умножение на единичную матрицу 5. В общем случае умножение матриц не коммутативно             Свойства произведения матриц Умножить матрицы в данном порядке невозможно Решение. Ответ: Вычислить     и     , если                                      Пример 6 Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.