Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Теорема Кро некера — Капе лли» — урок 11-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.2.Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 9 УРОК ОДИННАДЦАТЫЙ Теорема Кро́некера — Капе́лли ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru Родился 7 декабря 1823, Лигниц, Германия, ныне Легница, Польша в еврейской семье, за год до смерти принял христианство.Иностранный корреспондент Петербургской Академии наук (1872), член Берлинской АН (1861), профессор университета в Берлине. Основные труды по алгебре и теории чисел. Большое значение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин. 07.12.1823 — 29.12.1891 Леопольд Кронекернемецкий математик Родился 5 августа 1855 года в Милане. В 1877 году окончил Римский университет. В 1881 году стал профессором алгебраического анализа в университете Палермо. В 1886 году переехал в Неаполь и остался жить в этом городе до самой смерти. В Неапольском университете возглавил кафедру алгебры. С 1894 по 1910 годы, продолжая профессорскую деятельность, был редактором математического издания членом Национальной академии. 05.08.1855 — 28.01.1910 Альфред Капеллиитальянский математик Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2………………………………..am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 1 Это — критерий совместности СЛАУ, которая отвечает на первые два вопроса о совместности системы и количестве решений. Теорема Кро́некера — Капе́лли А = а11 а12 ... ..a1na21 a22 … ..a2n........................am1 am2 … amn А – основная матрица системы B = b1 b2…. bm В – матрица-столбец свободных членов. A/B = а11 а12 ... a1n b1a21 a22 … a2n b2..................... ....am1 am2 … amn bm А|В - расширенная матрица системы Вспомним такие понятия как: СЛАУ ( 1 ) Для того, чтобы система линейных уравнений (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы rang A/B = rang A Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то система не имеет решения. ≠ rang (A) rang (A/B) система несовместна. система имеет единственное решение. система совместна. rang (A/B)= rang (A)= n система имеет бесконечно много решений. rang (A/B) = rang (A)< n Где n число неизвестных переменных в заданной СЛАУ Теорема Кро́некера — Капе́лли Задание. Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Х1 + Х2 = 3Х1 – Х2 = 1 Решение. А = 1 1 -1 - основная матрица. A | B = 1 3 1 -1 1 - расширенная матрица. Рассмотрим пример 1 1) Найдём ранг основной матрицы А Μ2 = 1 1 1 -1 = (-1-1)= -2 Старший минор не равен нулю rang (A) = 2 2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ Μ2 = 1 1 3 -1 1 = (1+3)= 4 Старший минор не равен нулю rang (AΙΒ) = 2 Получаем: rang(A) = rang(A|B)=2, количество переменных в системе n=2, то по теореме Кронекера - Капелли система имеет решение, и только одно. Ответ: Система является - совместной определённой Задание. Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Х1 + Х2 = 32Х1 + 2Х2 = 6 Решение. А = 1 2 2 - основная матрица. A | B = 1 3 2 2 6 - расширенная матрица. Рассмотрим пример 2 1) Найдём ранг основной матрицы А Μ1 = Ι2Ι =2 1 rang (A) = 1 2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ Μ1 = Ι2Ι = 2 1 rang (AΙΒ) = 1 Получилось, что rang(A) = rang(A|B)= 1, но n=2. (1<2) Следовательно, система совместна, имеет бесконечное множество решений. Ответ: Система является - совместной неопределённой Задание. Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Х1 + Х2 = 3Х1 + Х2 = 7 Решение. А = 1 1 1 - основная матрица. A | B = 1 3 1 1 7 - расширенная матрица. Рассмотрим пример 3 1) Найдём ранг основной матрицы А Μ1 = Ι1Ι =1 1 rang (A) = 1 2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ Μ2 = 1 1 3 1 7 = (7-3)= 4 Старший минор не равен нулю rang (AΙΒ) = 2 Итак, rang(A) = 1, rang(A|B) = 2, они не равны, следовательно, система не имеет решений. Ответ: Система является - несовместной Задание. Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Х1 + Х2 = 25Х1 - Х2 = 0 2 2 Решение. Эту систему не исследуем, так как теоремаКронекера - Капелли применима только к системам линейных алгебраическихуравнений. Рассмотрим пример 4 Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Задание. Х1 + 2Х2 = 03Х1 + 5Х2 = 0 Решение. А = 2 3 5 - основная матрица. A | B = 2 0 3 5 0 - расширенная матрица. Рассмотрим пример 5 1) Найдём ранг основной матрицы А Μ2 = 1 2 3 5 = (5-6)= -1 rang (A) = 2 2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ Μ2 = 1 1 2 3 5 = (5-6)= -1 rang (AΙΒ) = 2 Количество переменных n=2. rang(A) = rang(A|B) = 2Ответ: система является совместимой и имеет единственное решение. А так как система однородная, то это единственное решение и есть (0;0). В однородных системах ранги основной матрицы ирасширенной всегда равны между собой. Столбец свободных членов в расширенной матрице – нулевой. ПРИМЕЧАНИЕ Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Задание. 2Х1 + 3Х2 = 06Х1 + 9Х2 = 0 Решение. А = 2 3 6 9 - основная матрица. A | B = 2 3 0 6 9 0 - расширенная матрица. Рассмотрим пример 6 1) Найдём ранг основной матрицы А А = 2 3 6 9 2 3 0 0 ⇔ rang (A) = 1 2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ A | B = 2 3 0 6 9 0 2 3 0 0 0 0 ⇔ rang (АΙΒ) = 1 rang(A) = rang(A|B) = 1 Итак: Количество переменных n=2. Значит, система имеет бесконечное множество решений Ответ: Система является - совместной неопределённой Рассмотрим пример 7 Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость. Задание. 3x + 4y + 7z = 0x - 5y + 6z = 18x + y – z = 10 Решение. А = 3 4 7 1 -5 6 8 1 -1 - основная матрица. A | B = 3 4 7 0 1 -5 6 1 8 1 -1 10 - расширенная матрица. 1) Найдём ранг основной матрицы А Μ3 = 1 = 15+7+192 +280-18+4 = 480 rang (A) = 3 3 4 7 1 -5 6 8 1 -1 2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ Μ3 = 1 3 4 7 1 -5 6 8 1 -1 = 480 rang (АΙΒ) = 3 Ответ: Это неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Система является - совместной определённой - (решение только одно). Старший минор не равен нулю Старший минор не равен нулю Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.http://mathsun.ru/ - История математики. Биографии великих математиков