Презентация урока по математике на тему Магический квадрат (5 класс)

Магические квадраты Работа выполнена учителем ГБОУ СОШ №655 Бережной Натальей Анатольевной. Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу с числами, построенную так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали равна одному и тому же числу (магическая сумма). Магические квадраты бывают разных порядков — порядок квадрата определяет число столбцов/строк. Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Существует предание, согласно которому китайский император Ию, живший четыре тысячи лет назад, увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Найдём сумму чисел в каждой строке. = 15 4+ 9+ 2 3+ 5+ 7 = 15 = 15 8+ 1+ 6 Найдём сумму чисел в каждом столбце. = 15 4+ 9+ 2+ 3+ 5+ 7+ = 15 = 15 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Найдём сумму чисел в каждой диагонали. = 15 4+ 2+ 5+ = 15 8 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 5+ Как же составить магический квадрат ? Магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Правило «ло-шу» Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 15·4=Зх+15·3. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5. 45:3=15 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 5 5 5 5 15 5 2 4 6 8 1 4 + = = = = + = 9 1 8 + 6 + 1 1 = 7 + + 6 + 2 = 6 + + 4 9 + 4 + 2 = + 8 + + 2 = + 7 + + 3 = 8 + + 3 = 3 7 9 Все 8 различных магических квадратов из чисел от 1 до 9 ! 8 3 4 1 5 9 6 7 2 2 9 4 7 5 3 6 1 8 6 1 8 7 5 8 2 9 4 4 9 2 3 5 7 8 1 6 6 7 2 1 5 9 8 3 4 4 3 8 9 5 1 2 7 6 2 7 6 9 5 1 4 3 8 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Символ китайцы назвали «ло – шу» и считали магическим – он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством, с тех пор называют магическими квадратами. Магические квадраты Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Известно, что магических квадратов 2х2 не существует (может быть, кто-нибудь это докажет?). Магический квадрат 3х3 только один, так как остальные магические квадраты 3 на 3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.Магических квадратов 4х4, как на картине Дюрера, составлено уже 800, а количество магических квадратов 5х5 близко к четверти миллиона! 16 2 8 14 14 42 23 24 ключ Решение ключ 16 2 8 14 12 24 6 4 0 10 Получилось! 43 44 ключ 46 48 45 12 16 20 28 Решение ключ 48 12 16 20 28 8 4 0 32 24 Молодцы! Магические квадраты почитались не только у Древнем Китае. Во времена Средневековья в Европе свойства магических квадратов тоже считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед. Альбрехт ДюрерМеланхолия(гравюра на меди) 1514 год 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 5 10 11 9 6 7 Квадрат Дюрера - магический! 16+ 3+ 2+ 5+ 10+ 11+ 8= 12= 9+ 6+ 7+ 4 15 14 13 8 12 1 13= 4+ 15+ 14+ 1= 34 Найдем сумму цифр в каждой строке. 34 34 34 16 3 2 5 10 11 9 6 7 16+ 5+ 9+ 3+ 10+ 6+ 15= 14= 2+ 11+ 7+ 4 15 14 13 8 12 1 4= 13+ 8+ 12+ 1= Квадрат Дюрера - магический! Найдем сумму цифр в каждом столбце. 34 34 34 34 16 3 2 5 10 11 9 6 7 Квадрат Дюрера - магический! 16+ 10+ 7+ 13+ 11+ 6+ 4= 4 15 14 13 8 12 1 1= Найдем сумму цифр в каждой диагонали. 34 34 16 3 2 5 10 11 9 6 7 Квадрат Дюрера 16+ 3+ 5+ 2+ 13+ 11+ 8= 7= 10+ 11+ 6+ 4 15 14 13 8 12 1 10= 9+ 6+ 4+ 15= Найдем сумму цифр в каждом квадрате 2Ч2. 7+ 12+ 14+ 1= 34 34 34 34 34 Рассмотрим способ получения магического квадрата 4Ч4. Впишем в квадрат числа от 1 до 16по порядку. 1 2 3 6 4 8 7 5 14 15 13 16 11 10 12 9 1 2 3 6 4 8 7 5 14 15 13 16 11 10 12 9 Поменяем местами числа, стоящие в противоположных углахквадрата. 1 16 4 13 16 2 3 6 13 8 7 5 14 15 4 1 11 10 12 9 Поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах центрального квадрата. 6 7 10 11 Квадрат магический! 1 вариант 2 вариантОт 5 до 20 от 10 до 25 Способ получения магического квадрата 5Ч5. СУДОКУ – японская головоломка