Задача №19 экономического содержания. Подготовка к ЕГЭ 2015 по математике

МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ 2015 Задача №19 экономического содержания Омельченко Татьяна Михайловна, учитель математики МБОУ СОШ №20 г. Владивостока На данный момент в содержании самого ЕГЭ пока никаких реальных изменений нет, информация для экзамена 2014 пока актуальна и для 2015 года. ЕГЭ по математике предполагается разделить на базовый и профильный уровень. Сделана оговорка, что это на данный момент только обсуждается, а если и будет вводится такая форма сдачи, то её планируется внедрять в некоторых регионах.По новому проекту 2015 года (профильный уровень) экзамен включает в себя 21 задачу. Содержание заданий ЕГЭ 2014 года и ЕГЭ 2013 актуально, так что можно использовать литературу и готовиться по сборникам опубликованным для выпускников этих лет. Все типы задач останутся и в 2015 году. Часть 2Содержит 12 заданий по материалу курса средней школы. Это задания 10-21. Задания 10-14 также с кратким ответом, в заданиях 15-21 необходимо привести грамотное и обоснованное решение. * * *Первая часть (1-9) предназначена  для проверки базовых знаний — эти задачи соответствуют уровню обычной средней школы без углубленного изучения математики.Вторая часть (10-21) подразумевает повышенный и высокий уровень знаний и навыков.Задания 15 и 16 — никаких углублённых знаний математики не требуют. Важно грамотно оформить решение задачи. Задачи 17 и 18 — это уже серьезный уровень. Но школьной программы также достаточно, чтобы  их решить. Хорошие теоретические знания плюс навыки решения плюс умение делать выводы из начального условия —  и задачи будут решены.Задачи 19, 20 и 21 — самые сложные и нестандартные. Подвластны тем, кто не просто хорошо знает математику, а увлечён и любит её. Требуется оригинальное, нестандартное мышление, смекалка, изобретательность. Само решение занимает на тетрадном листе немного места, но поразмыслить придётся. Задачи № 19Вариант 331 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? Буквенные обозначения Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m=1+0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1=am-x.  После второй выплаты сумма долга составит: a2=a1m-x=(am-x)m-x=am2-mx-x=am2-(1+m)x Решение k = 14%, m = 1,14 x = 4548600 p. n = 2 (за 2года)_____________ a = ?Остаток am2-x(m+1)=0 am2=x(m+1)кредит a= x(m+1) m2a=4548600(1,14+1) = 9734004 = 1,142 1,2986 7490000 р. Вариант 431 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5 %), затем Сергей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? k = 12,5%, m = 1,125 а = 6944000 p.n = 3 (за 3 года)__________________х = ? (am2-x(m+1))m-x=0 am3-x(m2+m+1)=0 x= am3 m2+m+1x= 6944000(1,125)3 = (1,125)2 + 1,125 + 16944000 (1,423828125) =2916000 p. 3,390625 Вариант 5Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей? Вариант 6 1 января 2015 года Михаил Юрьевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 % на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2 %), затем Михаил Юрьевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Михаил Юрьевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 250 тысяч рублей? Вариант 731 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Олег взял деньги в банке? Годовой % k Кредит аm = 1+ 0,01kЕсли n = 4, то x1 = 328050 р.Если n = 2, то х= 587250 р.Годовой % k =?Решение:Если n = 2, то a2= am2-(1+m)x (остаток, равный 0) Отсюда а = (1+m)x m2Если n = 4, то a4= (am3-m2 x1-mx1-x1)m -x1 (остаток, равный 0) Отсюда а = (m3+m2 +m+1)x1 = (m+1) (m2+1)x1 m4 m4 Решив уравнение, найдём m(1+m)x = (m+1) (m2+1)x1 m2 m4 x m2 =x1 (m2+1)x m2 - x1 (m2+1) = 0m2= __ x1 __ x - x1m2= 328050 = 1,265625 m=1,125 k=(1,125 -1):0,01=12,5 259200 k=12,5% Вариант 831 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Сергей переводит в банк 2 662 000 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Вариант 931 декабря 2014 года Георгий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Георгий переводит очередной транш. Георгий выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 570 тыс. рублей, во второй 599,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Георгию? Вариант 1031 декабря 2014 года Леонид взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Леонид переводит очередной транш. Леонид выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 700 тыс. рублей, во второй 440 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Леониду? КОНЕЦ