Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

Восемь способов решенияодноготригонометрического уравнения Выполнен ученицей 11 «А» класса МОУ гимназии №40 Скопинцевой М.Г. Краснодара Научный руководитель- учитель математики МОУ гимназии№40Шмитько И.А. Научный консультант-преподаватель ИНСПО Куб ГУ, канд. пед. наук Печкуренко Е.Н.2008г. Краевая научно-практическая конференция «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/ Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному.2.Разложение левой части уравнения на множители.3.Введение вспомогательного угла.4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.5.Приведение к квадратному уравнению.6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.7.Универсальная подстановка.8.Графическое решение. sin x – cos x = 1. ? Задача. Решите уравнениеразличными способами: sin x – cos x = 1 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим: sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2. , . Способ первый. Приведение уравнения к однородному. Далее так, как в первом способе. Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1 В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. = sin  /4 = cos  /4 sin cos - cos  sin  = sin (-) Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1 Покажем однозначность ответов. 1 –й способx =  /2 + 2  n, n  Z x:  /2; 5  /2 ; 9 /2; -3  /2; -7  /2;… x =  + 2 n, b Zx =  ; 3  ; 5 ; -  ; -3 ;… 2-й способ x = /4 + ( -1)  /4 +  k, k  Z x:  /2; ; 5  /2 ; 3  ; 9/2; -; - 3/2; -3; -7/2… Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравненияsin x – cos x = 1? Запишем уравнение в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе. 1 cos x = sin ( / 2 – x ) Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1 Возведем в квадрат: или Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x - cos x = 1 Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому неявляются посторонними. Проверять не будем.Проверим:Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним. Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку. Ответ: x =  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z. или cos x =0x=  /2 + n, n  Z sin x = 0 x =  n, n  Z Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 11 – 2sin x cos x = 1,2sin x cos x = 0, Sin x –cosx = 1 Умножим обе части уравнения на Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1 Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам: Внимание! Могли потерять корни.Необходимапроверка! Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Zявляется решением данного уравнения. Ответ: : x=  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z. sin x = cos x + 1 Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1 На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх. Проверь себя ! Решу, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5.  3sin x + cos x = 1. sin2x + cosx = 0 sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0,cosx( 2sinx + 1 ) = 0,cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0,х =  /2 +  n; n  Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1  /6 + k, k  Z.Ответ: x =  /2 +  n, ; x = (-1)k+1  /6 +  k , где n Z , k  Z .Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ). sin2x + cosx = 0 cosx = sin ( /2 – x ), тогда : sin2x + sin ( /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 +  /4)cos (3x/2 -  /4 ) = 0. sin (x/2 +  /4) = 0 или cos (3x/2 -  /4 ) = 0, x/2 +  /4 =  n 3x/2 -  /4 =  /2 +  nx =-  /2 + 2  n x =  / 2+ 2  n/3 , n ZОтвет : x = -  /2 + 2  n , x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) . x =  /2 +  n; n Z, n =0, x =  /2 ( т. A ), n = 1, x = 3  /2 (т. В ), n =-1, x = -  /2 ( т. В ), n = 2, x =  /2 +2 (т.А)2) x=(-1)k+1 /6 + k;k Z, k=0, x = -  /6 ( т.C ), k =1, x =  /6 +  (т.D ), k =-1, x =  /6 -  (т .D), k =2,x = -  /6+2  (т.C) 4-способ: 1) x = - /2 +  n, n Z ,n =0, x= -  /2, (т .В ),n =1, x =-  /2 + 2 , (т .В ),n=-1, x= -  /2 –2  , (т. В ),n=2, x = -  / 2+ 4 ,(т .В ).2) x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . n =0, x=  /2 ( т.А ),n=1, x = 7  /6 ( т. D ),n= -1, x = -  /6 (т. А),n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),… Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0 2 –й способ: 0 х у у А В С D Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же. 3 sin x – coos x = 0 cos x  0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. 3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 , x =  /6 + n , n  Z.Ответ: x =  /6 +  n, n  Z.Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ). 3 sin x – cos x = 0 3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2.3/2sin x – Ѕcos x = 0,sin x cos  /6 – cos x sin  /6 = 0, sin (x -  /6) = 0, x -  /6 =  n , n  Z, x =  /6 +  n , n  Z.Ответ : x =  /6 +  n, n  Z.Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ). уравнения в 3 sin x – cos x = 0 3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат.3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x  0. 3 tg2x – 23 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x =  3/ 3; x =  /6 +  n, n  Z.Ответ :x =  /6 +  n, n  Z.Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ). sin x = cos x= - = = 0, =0, sin x= sin x = = = = = = = 3 sin x – cos x = 0  3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 3 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 3 2 tg x/2 - 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2  0, tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 - 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = - 3 - 2, m2 = - 3 + 2, 1) tg x = - 3 - 2, 2(- 3 - 2 ) - 2(3 + 2 ) - 2(3 + 2 ) - 1 1 +( - 3 - 2)2 8-4 3 4( 2+ 3 ) 2 , sin x = - 1/2, x = ( -1 ) k +1 /6 +  k, k  Z; 2) tg x = - 3 + 2, 2(- 3 + 2 ) - 2(3 - 2 ) - 2(3 - 2 ) 1 1 +( - 3 + 2)2 8-4 3 4( 2- 3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Ответ: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z.Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ). sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0,sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x =  n, n  Z, cos 3x = -Ѕ, x =  n/3, n  Z , x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z.Ответ: x =  n/3, n  Z; x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z.Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ). sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 =  n, n  Z, 3x /2 =  /2 +  n, n  Z, x = 2  n/9, n  Z; x =  /3 + 2  n/3, n  Z .Ответ: x = 2  n/9, n Z; x =  /3 + 2  n/3, n Z.Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ). Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами. sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 12 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, x =  /4 + n, n  Z. Ответ:  n, n  Z, x =  /4 + n, n  Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ). sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ). sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1, 2sin  /4 cos ( 2x -  /4 ) = 1, sin  /4 = 1/ 2 ,  2 cos ( 2x -  /4 )= 1 arksin (1 /  2 ) =  /4 . cos ( 2x -  /4 )= 1 /  2 , 2x -  /4 = arkcos (1 /  2 ) + 2  n, n  Z, 2x=  /4 arkcos( 1 /  2 ) + 2  n, n  Z, x=  /8  /8 +  n, n  Z. Ответ: x=  /8  /8 +  n, n  Z.Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ). sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2,1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 ,cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2, sin (2x + /4 ) = 1/ 2, 2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, kZ, 2x = - /4 + (- 1) k /4 +  k, kZ, x = -  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ.Ответ: x = -  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ.Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ). sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x =   ( 1 - sin 2 2x ) sin 2x   ( 1 - sin 2 2x ) = 1,   ( 1 - sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 - sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x - 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x - 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x - 1 = 0, 2x =  n, sin 2x = 1, x =  n/2, n  Z ; 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n  Z.Ответ: x =  n/2, n  Z ; x =  /4 +  n, n  Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ). sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x =  / 2 + 2  n , n  Z, x =  n/2, n  Z ; x =  / 4 +  n , n  Z. Ответ:  / 2 + 2  n , n  Z; x =  / 4 +  n , n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ). sin 2x = cos2 x = + = 0 sin 2x + cos 2x = 1 sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0, 1 + tg 2 x/2  0, 2tg 2 x - 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x =  n/2, n Z , 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n Z. Ответ: x =  n/2, n Z ; x =  /4 +  n, n Z.Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).  3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,  3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2,cos /6 sin x + sin  /6 cos x = 1/2 ,Sin ( x +  /6 ) = 1 / 2 ,x+  /6 = (- 1 ) k  /6 +  k, k Z,x = -  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z,Ответ :x = -  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z.Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).  3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2 3 sin x/2 cos x/2 - 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 ( 3 cos x/2 - sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0,  3 cos x/2 - sin x/2 = 0, sin x/2 =  3 cos x/2 , x/2=  n, n  Z, tg x/2 =  3 , x = 2 n, n  Z , x/2 =  /3 +  n, n  Z, x = 2  /3 + 2  n, n  Z. Ответ: x = 2 n, n  Z , x = 2 n, n  Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).  3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/22 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2,2 3 sin x/2cos x/2 - 2 cos 2 x/2 = 0,2 cos x/2 ( 3 sin x/2 - cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе.Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).  3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,3 sin2 x +2  3 sin x cos x +cos 2 x = 1,2sin2 x +2  3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1,2sin2 x +2  3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x +  3 cos x) = 0,sinx = 0, sin x +  3 cos x = 0, x =  n , n Z, tg x = - 3 , x = -  /3 +  n, n  Z .Ответ : x =  n , n Z, x = -  /3 +  n, n  Z .Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ). sin x = cos x = + =1,  3 sin x + cos x = 1  3 sin x +cos x = 0, 2  3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 23 tg x/2 + 1 - tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2  0,2 tg 2 x/2 + 23 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = - 3 , x/2 =  n , n Z, x/2 = -  /3 +  n , n Z, x = 2 n , n Z, x = - 2 /3 + 2 n , n Z. Ответ: x = 2 n , n Z, x = - 2 /3 + 2 n , n Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ). 5 3sin x + cos x = 1 4 sin2x +cos2x = 1 3 sin6x + sin3x = 0 2 sin6x + sin3x = 0 1 sin2x + cosx = 0 8 7 6 5 4 3 2 1 1.Приведение уравнения к однородному.2.Разложение левой части уравнения на множители.3.Введение вспомогательного угла.4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.5.Приведение к квадратному уравнению.6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.7.Универсальная подстановка.8.Графическое решение. Подведем итоги