Презентация по геометрии Фракталы

Фракталы Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической. ТерминСлово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:1)Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.2)Является самоподобным или приближённо самоподобным.3)Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. История исследований.Первые идеи о фракталах были сформулированы в конце XIX – в начале XX столетия. Ученые создавали удивительные объекты, сами тогда не подозревая, что работают с геометрическими фракталами. Намного позже таким термином был назван фрактал, образованный путем несложных построений, суть которых заключается в следующем. За основу принимается какая-либо фигура, или так называемый инициатор, каждая часть которого преобразовывается по определенному принципу. Так простой геометрический объект постепенно становится все более сложным. Независимо друг от друга математики из разных стран занимались исследованием геометрических фракталов. В 1883 году немецкий математик Георг Кантор создал простейший фрактал – так называемое «Канторово множество». Алгоритм его формирования очень прост – отрезок прямой делится на три части, после чего удаляется средняя треть. Оставшиеся два фрагмента отрезка делятся на части по аналогичному принципу. Неоднократное повторение этой процедуры позволяет получить одно из самых простых фрактальных множеств. При любом увеличении Канторово множество остается самоподобным. В 1904 году шведский математик Хельге фон Кох, взяв за основу обычный треугольник, построил так называемую «снежинку Коха». По аналогичному принципу создавались и другие многочисленные геометрические фракталы. Исследования Бенуа Мандельброта.Вывести науку о фракталах на новый уровень сумел французский математик Бенуа Мандельброт – ученый, который сегодня признан отцом фрактальной геометрии. Мандельброт впервые дал определение термину «фрактал»: Цитата"Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" В 70-е годы Бенуа Мандельброт работал математическим аналитиком в компании IBM. Ученый впервые задумался о фракталах в процессе изучения шумов в электронных сетях. На первый взгляд, помехи при передаче данных происходили абсолютно хаотично. Мандельброт построил график появления ошибок и с удивлением обнаружил, что в любом временном масштабе все фрагменты выглядели аналогично. В масштабе недели шумы появлялись в такой же последовательности, как и в масштабе одного дня, часа или минуты. Мандельброт понял, что частота возникновения ошибок при передаче данных распределяется во времени по принципу, изложенному Кантором в конце XIX века. Тогда Бенуа Мандельброт всерьез увлекся изучением фракталов. Фрактальность в природе.В 1977 году была издана книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность», а в 1982 году вышла еще одна монография – «Фрактальная геометрия природы», на страницах которой автор продемонстрировал наглядные примеры различных фрактальных множеств и привел доказательства существования фракталов в природе. Практическое применение фракталов.Уже сегодня фракталы находят широкое применение в самых разнообразных областях. Активно развивается направление фрактального архивирования графической информации. Теоретически, фрактальное архивирование может сжимать изображения до размеров точки без потери качества. При увеличении картинок, сжатых по фрактальному принципу, отчетливо отображаются мельчайшие детали, а эффект зернистости при этом полностью отсутствует. Принципы теории фракталов используются в медицине для анализа электрокардиограмм, поскольку ритм сердечных сокращений также является фракталом. Активно развивается направление исследований кровеносной системы и других внутренних систем человеческого организма. В биологии фракталы применяются для моделирования процессов, происходящих внутри популяций. Но эти необычные объекты не только чрезвычайно полезны, но и невероятно красивы. Именно поэтому фракталы постепенно находят свое место в искусстве. Их удивительная эстетическая привлекательность вдохновляет многих художников на создание фрактальных картин. Современные композиторы создают музыкальные произведения, используя электронные инструменты с различными фрактальными характеристиками. Писатели применяют фрактальную структуру для формирования своих литературных произведений, а дизайнеры создают фрактальные предметы мебели и интерьера. Яркие и невероятно красивые фракталы нашли широчайшее применение в компьютерной графике. Возможности современных компьютеров позволяют легко и быстро генерировать фракталы, создавая очень реалистичные изображения любых природных объектов. Сегодня каждый желающий, освоив один из многочисленных генераторов фракталов, может почувствовать себя настоящим творцом и научиться создавать образы, секрет которых еще недавно было доступен только мудрой и очень изобретательной природе. Спасибо за внимание! :)