Презентация исследовательской работы Лист(лента) Мёбиуса

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА «Лист (лента) Мёбиуса»Выполнена учащейся 8 класса СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ ТОПОЛОГИИ АВГУСТ ФЕРДИНАНД МЁБИУС ЛИСТ МЁБИУСА СВОЙСТВА ЛИСТА МЁБИУСА ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ЛИСТОМ МЁБИУСА ЛИСТ МЁБИУСА В ФАНТАЗИЯХ ХУДОЖНИКА ЭШЕРА ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА Категория прекрасного имеет исторический характер. При этом пониманиеэстетической ценности математики отличается исключительнымпостоянством критериев, являющихся общепринятыми для математиковразных эпох и народов.Те, кто углублялся в сущность математических отношений, открывали для себя удивительный мир романтики и гармонии. Только познавшийкрасоту математики мог написать, как Аристотель: «Мы с наслаждением познаём математику… она привлекает нас, как цветок лотоса». Тот же, кто постиг удивительный мир математики, не остаётся тольковосторженным созерцателем её сокровищ. Он сам стремится создавать новыематематические объекты, ищет пути решения новых задач, или новые, болеесовершенные, решения, решения уже решённых задач.В некоторых задачах среди многих дорог к ответу есть одна, самаянеожиданная, часто тщательно «замаскированная» и, как правило, самаякрасивая и желанная. Большое счастье найти её и по ней пройти. Поиск таких решений, умение выйти за пределы возможностей ужеизвестных алгоритмов и является подлинной эстетикой математическоготворчества. ТОПОЛОГИЯ – самостоятельная математическая дисциплина. Она являетсяодной из самых абстрактных ветвей не только геометрии, но и всейсовременной математики. Около середины XIX века в связи с развитием теории поверхностей началосьсистематическое изучение свойств фигур, сохраняющихся при более резких преобразованиях: деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.Эти свойства получили название топологические. Чтобы наглядно представить себе топологическое преобразование возьмём замкнутую прочную резиновую нить и придадим ей поочерёдно форму…В топологии кроме тел с двухсторонней поверхностью, существуют и односторонние поверхности. На них впервые указали Листинг и независимоот него Мёбиус. Август Фердинанд Мёбиус родился 17.10.1790 г.в городе Шульцфорте (Германия). Учился в Лей-пцигском и Геттингенском университетах. Рабо-тал в качестве профессора в Лейпцигскомуниверситете с 1816 г., а затем директором астро-номической обсерватории в Лейпциге. Все своиосновные труды он посвятил геометрии. Мёбиусстал одним из крупнейшим геометров XIX века.В возрасте 68 лет, т.е. в 1859 году ему удалосьсделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей.Он представил Парижской Академии наукмемуар «К теории полиэдров и элементарныхпреобразований», в котором впервыерассматривался так называемый лист (лента) Мёбиуса. Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названиемтопология, представляет собой простейшую одностороннююповерхность. Лист Мёбиуса – поверхность, получающаяся при склеивании двухпротивоположных сторон АВ и А‘В‘ прямоугольника АВВ‘А‘, так чтоточки А и В совмещаются соответственно с точками В‘ и А‘ . Край поверхности листа Мёбиуса представляет собой одну непрерывнуюлинию, не пересекая которой можно попасть из любой внутренней точкилиста в другую его точку.У листа Мёбиуса есть только одна сторона.Если начать красить «одну сторону» листа Мёбиуса, допустим, в голубойцвет, то он весь окажется окрашенным в этот цвет.«Если кто-нибудь вздумает раскрасить «только одну» сторону поверхностимёбиусовой ленты , пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской», Пишет Рихард Курант и Герберд Роббинс в превосходной книге «Что такое математика». Модели № 2, 3.Разрежем л. Мёбиуса по середине.Получилось одно кольцо вдвое уже и вдвое длиннее. Оно перекручено не один раз, а два. Разрежем это кольцо ещё раз по середине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено. Модель № 5.Возьмём л. М., который перед склейкой разделим на четыре равные полосы. Раз-режем по пунктирным линиям. Полу-чим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекру-чено дважды. Второе длиннее исходного и перекручено три раза. Модель № 4.Возьмём л. М., разделим на три одинако-вые полоски и склеим перекрутив один раз. Будем резать по пунктирной линии, не отрывая ножниц от бумаги. Получим два сцепленных кольца. Одно из них л. М., ширина которого втрое меньше, чем у исходного, а второе длиннее исходно-го и перекручено два раза. Модель № 6.Возьмём л. М., который перед склейкой разделим на пять равных полос. Разре-жем по пунктирным линиям. Получим три кольца. Одно из них л. М., ширина которого втрое меньше, чем у исходно-го. А два других вдвое длиннее исходно-го и перекручены два раза. Модель № 7.Возьмём ленту и перед склейкой перек-рутим её дважды. Разрежем по середине.Получим два сцепленных кольца, каждое из которых той же длины, что и первоначальное, но вдвое меньшей ширины. Модель № 8.Возьмём л. М. полученный из ленты, ко-торую перекрутили трижды. И точно также разрежем л. М. по середине, не отрывая ножниц. Получим два сцеплен-ных кольца, каждое из которых имеет длину равную исходной. Перекручены трижды Есть художественные произведения, предстающие перед нами в виде загадки. Это относится к гравюрам голландского художника Маурица Эшера (1898 – 1972 гг).По признанию Эшера, он стремился передать своё восхищение и удивление законам природы, действующим в окружающем мире. Он писал: « Стоя лицом к лицу с загадками бытия, осмысливая и анализируя свои наблюдения, я соприкоснулся со сферой математики. Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, иногда мне кажется, что я ближе к математикам, чем к своим коллегам – художникам» Гравюра«Дракон» ЛистМёбиуса I ЛистМёбиуса II Бесконечное единение Мауриц Эшер не без ирониипрокомментировал странныйобраз, рождённый его фантазией.«Как бы ни старался этот дракон перейти в третье измерение, он остаётся абсолютно плоским. Прорежьте в двух местах лист бумаги, где он оттиснут. Затем согните лист так, чтобы получилось два квадратных отверстия . Но дракон – чудовище упрямое, не смотря на свою двухмерность, он всеми силами старается доказать, что существует в трёх измерениях; поэтому в одно четырёхугольное отверстие он просовывает голову, а в другое – хвост». Автор изображает листМёбиуса с некоторымидополнениями:«замкнутая полоска проре-зана насквозь, горизонтально, по всей длине. Верхняя и ниж-няя секции слегка отходятодна от другой; на всём своёмпротяжении они разделеныпустотой. Таким образом, лен-та должна бы распасться на два отдельных кольца, и тем не менее это – единая полоса,образованная тремя стилизо-ванными рыбами, каждая из которых кусает за хвост перед-нюю. Они совершают двойнойоборот, прежде чем вернуться к отправной точке. Эта фигура значительно проще:«замкнутая кольцеобразнаяполоса на первый взгляд имеетдве поверхности – внешнюю иВнутреннюю и 9 красных му-равьёв, один за другим ползути по той, и по другой. Тем неменее эта полоса с односторон-ней поверхностью».Ситуация очевидна, хотя и неве-роятна. У каждого муравья естьсвой антипод. Когда один из них ползёт по лицевой поверхности, то другой в то же время ползётпо внутренней, обратной.Муравьи, двигаясь каждый по своей плоскости, неизбежноперейдут с лицевой стороны наобратную, затем вновь на лице-вую, и так постоянно. «Две соединённые спиралисоздают женскую головуслева и мужскую справа.Лбы их перевиваются,подобно бесконечной ленте,создавая двойное единство».Изображённое единение –лишь иллюзия, потому чтотакой фигуры в реальностибыть не может. Перед нами обычная лента, у неё есть в отличии от л. М. целевая иоборотная сторона. Она плас-тична, что даёт возможностьсоздавать фрагменты лица.Невозможность в том, как они взаимно переплетаются. Рассматривая журнал «Чудеса и приключения» мне попалась на глаза статьяРудольфа Баландина «Фантазии на темы художника Эшера» . Я выяснила,что лист Мёбиуса, которому посвящена статья, это поверхность, рассматри-ваемая в геометрии XX века - топологии. Я поставила перед собой цель рассмотреть свойства данной фигуры и провести некоторые опыты слистом Мёбиуса. Я считаю, что мне удалось узнать много интересного изобласти геометрии в данном направлении. Кроме этого я узнала и осуществовании других топологических фигур. Оказывается с помощьюТопологического преобразования деформации тора можно получить кружку.Бутылка Клейна – второй пример односторонней поверхности. Онапоказывает, что всякая замкнутая поверхность в пространстве пересекаетсаму себя. Работая над исследованием, я поняла на сколько интересна и познавательнаматематика . Сколько требовалось фантазии творческим людям, чтобы вбесконечном, несчётном множестве пространственных форм увидетьшедевры геометрической гармонии . Об этом свидетельствуют гравюрыхудожника Эшера , а также скульптуры, посвящённые листу Мёбиуса.Примером тому служит скульптура Макса Билла «Узел без конца». ЛИТЕРАТУРА Журнал «Чудеса и приключения», № 10, 2002 г.Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. – М.: «Просвещение», 1977.Глейзер Г. И., История математики в школе IX – X классы. – М.: «Просвещение», 1983.Конфорович А. Г., Андриевская А. М. История развития математики. Альбом. – Киев, «Веща школа», 1988.Математика «Приложение к газете 1 сентября» № 45, 1996 г.Математика «Приложение к газете 1 сентября» № 39, 2000 г. Модель № 2, 3 А В В‘ А‘ Модель № 4 А В А‘ В‘ Модель № 5. А В А‘ В‘ Модель № 6. А В А‘ В‘ Модель № 7. Модель № 8.