Презентация по ТОНКМ с методикой обучения на тему Отношения и соответствия
Отношения и соответствияПлан:Отношения между элементами одного множества.Понятие отношения, способы задания.Свойства отношений.Отношение эквивалентности и порядка.Соответствие между элементами двух множеств.Понятие соответствия, способы задания.Взаимно однозначные соответствия.Задания для самостоятельной работы.Вопросы для самоконтроля.
В математике рассматривают связи между элементами одного множества и называют их отношениями.Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными. Отношения многообразны:между понятиями – это отношения род и вида, части и целого;между предложениями – это отношения следования и равносильности;между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…» и т. п.
Пусть на множестве 𝑿={𝟐,𝟒,𝟔} задано отношение «больше».Это значит: 𝟔>𝟒, 𝟔>𝟐, 𝟒>𝟐. Полученные неравенства можно записать в виде упорядоченных пар: 𝟔;𝟒 , 𝟔;𝟐, 𝟒;𝟐 – это элементы декартового произведения 𝑿×𝑿. Т.е. отношение «больше» является подмножеством множества 𝑿×𝑿. Обозначение: 𝑹,𝑺,𝑻,𝑷 и др. – отношенияЧитают: 𝒙𝑹𝒚 -«элементы х находится в отношении R с элементом y»(𝒙,𝒚)∈𝑹 Если R – отношение на множестве х, то 𝑹⊂𝑿×𝑿
Способы задания отношений:указание характеристического свойства (𝒙⋮𝒚) перечисление всех пар, заданных отношением.построение графа (чертеж, состоящий из точек и стрелок)Точки – вершины графаСтрелки – отношения между элементами.Пример. 𝑺−x<y на множестве 𝑿=𝟏,𝟑,𝟒,𝟕. 1743{1;3,1;4, 1;7,3;4,3;7,(4;7)}
Рассмотрим на множестве отрезков на рис.1 отношенияперпендикулярностиравенства «длиннее» Рисунок1 Построим графы данных отношений. Сравним их и выделим свойства.
Рисунок 2 «Граф отношений равенства»
Рисунок 3 «Граф отношения перпендикулярности»
Рисунок 4 «Граф отношения длиннее»
Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.На графе: «петля» в каждой вершине графа.Рефлексивны отношения:равенства (рисунок 2 «каждый отрезок равен сам себе»).кратности (каждое N число кратно самому себе).подобия.𝑹 рефлексивно на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒙, для ∀𝒙∈𝑿
Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричны, если из того что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х: 𝑹 симметрично на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒚, ⇒ 𝒚𝑹𝒙 На графе:Симметричны отношения:перпендикулярности (если а в, то в а).равенства (если а = в, то в = а).параллельности (если а в, то в а).
Не обладают симметричностью отношения:«длиннее»больше, меньшеГоворят, что они «антисимметричны».Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполняется условие: из того что х находится в отношении R с элементом х не находится.𝑹 симметрично на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒚 и 𝒙≠𝒚⇒ 𝒚𝑹𝒙
На графе: две вершины соединены только одной стрелкой.Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.Пример. Дано отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи: Катя, Маша, Толя. КМТ
Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементами у и элементы у находится отношении R с элементами p, следует, что элементы х находятся в отношении R с элементами р.𝑹 транзитивно на 𝑿⇔𝒙𝑹𝒚 ⇒ 𝒙𝑹𝒑На графе: хур
Транзитивны отношения:равенства (𝒂=𝒃,и 𝒃=с ⇒𝒂=𝒄).«длиннее»параллельности (𝒂∥𝒃,и 𝒃∥с ⇒𝒂∥𝒄).меньше, большеНе обладают транзитивностью отношения – перпендикулярности.Обратимся к отношению «равенства» на множестве отрезков (рисунок 2).Данное отношение обладает свойствами:рефлексивность (каждый отрезок равен сам себе);симметричность (𝒂=𝒃,⟺𝒃=𝒂 );транзитивность (𝒂=𝒃,и 𝒃=с ⇒𝒂=𝒄).Говорят, что отношение равенства является отношением эквивалентности.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.Отношение параллельности – отношение эквивалентности.Множество отрезков на рисунке 2 разбилось на два подмножества:{a,b,d} и {c,e}- подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х.{𝑿=𝒂,𝒃,𝒅,𝒄,𝒆}Т.е. имеет место разбиение множества Х на классы.
Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).Верно и обратное утверждение.Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.Является отношением порядка отношения:«меньше»«длиннее»
Изучая окружающий мир, математика рассматривает не только объекты, но главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями.Определение. Соответствием между элементами множества Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.Обозначения: R, S, T, Pи др.Если S – соответствие между элементами множеств 𝑿 и 𝒀, то 𝑺⊂𝑿×𝒀).Способы задания соответствия:Указание характеристического свойства а< в, а ∈Х, в ∈ У.Перечисление пар элементовС помощью графа или графика.
Пример. S – соответствие «больше» на 𝑿={𝟑,𝟓,𝟕,𝟗} и 𝒀={𝟒,𝟔} 5XУ𝑆={5;4,7;4,7;6,9;4,9,6} 37946
Построим граф соответствия обратного данному.𝑺−𝟏 – соответствие «меньше» между 𝒀 и 𝑿 357946XУ𝑆−1=−{4;5,6;7,4,9,(6,9)}
Построим граф соответствия обратного данному.𝑺−𝟏 – соответствие «меньше» между 𝒀 и 𝑿 357946XУ𝑆−1=−{4;5,6;7,4,9,(6,9)} Определение. Пусть S – соответствие между элементами множеств Х и У. Соответствие 𝑺−𝟏 между элементами множеств У и Х называется обратным данному, если у 𝑺−𝟏 х тогда, когда 𝒙 S 𝒚.Соответствия S и 𝑺−𝟏 называется взаимно обратными. Построим графики взаимно обратных соответствий.
Построим граф соответствия обратного данному.𝑆−1 – соответствие «меньше» между 𝑌 и 𝑋Определение. Пусть S – соответствие между элементами множеств Х и У. Соответствие 𝑆−1 между элементами множеств У и Х называется обратным данному, если у 𝑆−1 х тогда, когда 𝑥 S 𝑦.Соответствия S и 𝑆−1 называется взаимно обратными.Построим графики взаимно обратных соответствий. 357946XУ𝑆−1=−{4;5,6;7,4,9,(6,9)}
Графики взаимно обратных соответствий симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатного угла (у = х).Определение. Взаимно однозначным соответствием между множеством 𝑿и 𝒀 называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества У (и наоборот).
Данное соответствие взаимно однозначное, т.к. каждому соответствует единственный Определение. Множества 𝑿и 𝒀 называются равномощными, если между элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Обозначение. 𝑿~𝒀
Свойства отношения равномощности:Рефлексивно: каждое множество равномощно самому себе.Симметрично: Х~У У~ХТранзитивно: 𝑿~𝒀 и 𝒀~𝑷 𝑿~𝑷Так как отношение равномощности рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно является отношением эквивалентности.