Презентация к уроку Различные способы решения квадратных уравнений

Прозвенел звонок для нас. Все зашли спокойно в класс. Встали все у парт красиво, Поздоровались учтиво. Тихо сели, спинки прямо. Вижу, класс наш хоть куда. Мы начнём урок, друзья. 1. Уравнение второй степени.2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?3. Равенство с переменной?4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?5. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1?6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?7. Что значит решить уравнение? «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» У. Сойер Различные способы решения квадратных уравнений Когда уравненье решаешь, дружок,Ты должен найти у него корешок.Значение буквы проверить несложно,Поставь в уравненье его осторожно.Коль верное равенство выйдет у вас,То корнем значенье зовите тотчас. О.Севостьянова Первый способ:Решение квадратных уравнений по формуле. Задание 1: Решите квадратные уравнения :1. 2х2-5х+2=0, 2. 6х2+5х+1=0, 3. 2х2-3х+2=0,4. 4х2-12х+9=0. ответы: х1= ½, х2=2.х1= -½, х2= -⅓. решений нет.х1=1,5, х2=1,5.1. 2х2-5х+2=0 2. 6х2+5х+1=0 3. 2х2-3х+2=04. 4х2-12х+9=0 Уравнение, вида х2+pх+q=0, называется приведённым. Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета: х1+х2=-p, х1∙х2=q.Например, уравнение х2-3х+2=0 имеет корни х1=2, х2=1 так как х1+х2=3, х1∙х2=2. Второй способ: Задание 2. Решите приведённые квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета. х2+10х+9=0, х2+7х+12=0, х2-10х-24=0, х2-16х+60=0. ответы: х1=-9,х2=-1.х1=-4,х2=-3.х1=12,х2=-2.х1=10,х2=6х2+10х+9=0 х2+7х+12=0 х2-10х-24=0 х2-16х+60=0 Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.Например: Решим уравнение 2х2-11х+15=0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у2-11у+30=0. По теореме, обратной теореме Виета у1= 5,у2= 6. тогда х1=у1/2, х2=у2/2; т.е. х1=2,5 , х2=3. Третий способ: Задание 3: Решите уравнения, используя метод «переброски»:1. 2х2-9х+9=0,2. 10х2-11х+3=0,3. 3х2+11х+6=0,4. 4х2+12х+5=0. . ответы1. 2х2-9х+9=02. 10х2-11х+3=03. 3х2+11х+6=04. 4х2+12х+5=0х1=1,5 , х2=3.х1=0,5 ,х2=0,6.х1=-3,х2=- .х1=-2,5,х2=-0,5. Пусть дано квадратное уравнение ах2+вх+с=0, где а≠0. 1.Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1=1,х2=с/а. Например: 345х2-137х-208=0 (345-137-208=0), значит, х1= 1,х2= - 208/345. 2.Если а-в+с=0 (или в=а+с), то х1=-1,х2= - с/а. Например, 313х2+326х+13=0 (326=313+13), значит х1=-1,х2=-13/313. Четвёртый способ:Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 1. 5х2-7х+2=0;2. 3х2+5х-8=0;3. 11х2+25х-36=0;4. 11х2+27х+16=0. Задание 4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»: 1. 5х2-7х+2=02. 3х2+5х-8=03. 11х2+25х-36=04. 11х2+27х+16=0 ответы:х1=1,х2= .х1=1,х2=- .х1=1,х2=- .х1=-1,х2=- . Пятый способ: Метод выделения полного квадрата.Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Для этого чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9 и отнять 9 ( х2 + 2• х • 3 + 9 ) – 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.Таким образом, данное уравнение можно записать так:(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.Следовательно, х + 3 = 4 или х + 3 = -4 х1 = 1 х2 = -7. 1. х2-10х+24=0;2. х2-8х+15=0;3. х2+6х+8=0;4. х2-16х+ 60=0. Задание 5: Решите квадратные уравнения методом «выделения полного квадрата»: ответы:х1=6,х2= 4 Х1=3,х2= 5 х1= -4,х2=-2 х1=10,х2=6 1. х2-10х+24=02. х2-8х+15=03. х2+6х+8=04. х2-16х+ 60=0 Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = =х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). получим уравнение:(х + 12)(х - 2) = 0х = - 12 х = 2 Шестой способ: 1. х2-8х+15=0;2. х2- 12х+20=0;3. х2- 4х+3=0;4. х2+6х+8=0. Задание 6: решите квадратное уравнение разложением левой части на множители: ответы:х1=3,х2= 5.х1=10,х2= 2.х1=1,х2= 3.х1=-4,х2= -2. 1. х2-8х+15=0;2. х2- 12х+20=0;3. х2- 4х+3=0;4. х2+6х+8=0. Седьмой способ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х2 + px + q = 0перенести второй и третий члены в правую часть, то получимх2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q. Задание 7: Решите графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 Решение задания 7: Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = - 1; х2 = 4
style.rotation Восьмой способ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки .Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a. Девятый способ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.z2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = аИз подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию Десятый способ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.• Примеры.1) Решим уравнение х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим Выберите утверждение, которое соответствовало вашему настроению на уроке:Перепрыгивающему пропасть не следует делать два шага.О, монах, ты идешь трудной дорогой.Учиться, обучая.Ах, как я устал от этой суеты. Без труда не вытащишь рыбку из пруда. Домашнее задание:Из учебника подобрать по два уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.