Исследовательская работа Выпуклые функции

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Тема Выпуклые функции и уравненияВыполнила: Гуцунаева Рита Маировна Школа СОШ № 50Владикавказ, 2010 Рассмотрим уравнения + =2, + = 4,(x−6)10 + (x−1,5)10 = 4,510. Уравнения такого вида часто встречаются среди конкурсных и олимпиадных заданий, при этом в школьной программе недостаточно внимания уделяется рассмотрению приема решения такого типа уравнений, основанного на понятии и свойствах выпуклой функции. Да, они решаются в школьной программе, однако способы решения не всегда самые рациональные. Например, метод решения второго уравнения состоит в двухкратном возведении обеих частей уравнения в квадрат, замене переменной, решении трех квадратных уравнений и проверке.(Приложение 1) Однако определенная особенность этих уравнений позволяет решать их без особых усилий. А именно, особенностью данных уравнений является возможность записать их в виде f(u)+f(v)= f(u₁) +f(v₁), (1)где f(x)- строго выпуклая функция на промежутке X, u , u1 ,v1 , v содержатся в ОДЗ уравнения (1) и верно равенство u + v = u1 + v1 При выполнении этих условий уравнение (1) равносильно совокупности уравнений u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). Используем при решении того же уравнения данную особенность.( Приложение 2) Покажем , что уравнение (1) при сказанных условиях равносильно совокупности u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). Пусть функция f(х) определена на промежутке X. Она называется строго выпуклой вниз (вверх) на X, если для любых u и v из X, u≠v и 0<λ<1 справедливо неравенство f(λu + (1 - λ)v) < λf(u) + (1-λ)f(v),(f(λu + (1 - λ)v) > λf(u) + (1-λ)f(v)). Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (т.е. отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v; f(v)), отличная от точек В к С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(х), соответствующей тому же значению аргумента.Функции, строго выпуклые вверх и вниз, будем называть строго выпуклыми.Справедливо для выпуклых функций следующее утверждение. Теорема 1. Пусть функция f(х) является строго выпуклой вниз на промежутке X, u, v, u1 , v1 є X , u < u1 f(u₁(х0)) +f(vl(x0)),что противоречит предположению. Следовательно, решения уравненияf(u)+f(v)= f(u₁) +f(v₁) являются решениями совокупности u(х) = u₁(x), u(x) = v₁(x). Вместо этой совокупности в условиях теоремы 2 можно брать равносильные совокупности, например,u(х) = u₁(х), v(x) = u₁(x) или v(x) = u₁(х), v(x) = v₁(x). Перед тем как обратиться к примерам, напомним, что если функция f(х) дважды дифференцируема на промежутке X и f"(x) > 0 (f"(x)< 0) при всех х из X, то f(x) строго выпукла вниз (вверх) на X.Пример1. Решите уравнение + =2.Решение.Это уравнение можно записать в видеf(u)+f(v)=f(u1)+f(v1), (1)где f(x) = , u = , v = , u1=1, v1=1. Функция f(x) является строго выпуклой вверх на , u, v, u1, v1 принадлежат промежутку при любом x и u+v = u1 + v1. В этом случае уравнение + =2 равносильно уравнению =1.Отсюда следует, что x= ±1. Ответ: ±1.Пример 2. Решите уравнение + = 3.Решение. ОДЗ уравнения является промежуток − x . Положим u = х2 + х + 10, v = 7 − х2 − х.Тогда u + v = 17. Так как 3 = + то, приняв u₁=16, v₁= 1, получаем, что уравнение имеет вид (1) и выполнено условие (2). Поэтому оно равносильно на ОДЗ совокупности двух уравненийx2 + х + 10 = 16, х2 + х + 10 = 1.Второе уравнение решений не имеет. Решениями первого уравнения являются х = 2, х = -3, которые входят в ОДЗ исходного уравнения и, значит, являются его решениями.Ответ: −3; 2. Пример 3. Решите уравнение + = + 2.Решение.ОДЗ уравнения есть отрезок[ −1;2]. Уравнение имеет вид (1), где u = 2− х, v = 2х + 15, u₁ = х + 1, v₁ = 16, и выполнено условие (2). Поэтому на ОДЗ оно равносильно совокупности уравнений2 − х= 16, 2х+ 15 = 16.С учетом ОДЗ получаем, что x = 0,5.Ответ: 0,5Пример 5. При каждом натуральном n 2 и любых а и b, a ≠ b решите уравнение (х - а)2n + (х – b)2n = (а - b)2n.Решение. Положивf(x) = х2n, u₁ = а - b, v₁ = 0, u = а− х, v = х − b, замечаем, что уравнение относится к виду (1). Поскольку функция f(х) является строго выпуклой вниз на R и при всех х выполнено условие (2), то уравнение равносильно совокупности уравнений а - х = 0, х - b = 0.Следовательно, оно имеет два решения х = а и х= b.Ответ: х = а, х= b. Пример 4. Решите уравнение (х2 + х +2)(xІ - 3х + 6) = 5(2xІ - 2х + 3). Решение.Прологарифмировав обе части уравнения, получим равносильное уравнение lg(x2 + х + 2) + lg(x2 - 3х + 6) = lg5 + lg(2x2 - 2x + 3), (3)которое относится к виду (1), причемf(x) = lgx, u = х2 + х + 2, v= х2 − 3х + 6,u₁ = 5, v₁ = 2xІ - 2х + 3.Так как функция f(x) является строго выпуклой вверх на (0; ), функции u(х), v(x), u₁,(х), v₁(x) положительны при любом х и выполнено условие (2), то уравнение (3) равносильно совокупности уравненийх2 + х + 2=5, х2 − 3х + 6=5Корнями этих уравнений являются x = и x = .Ответ: ; .(Приложение 3) Сложность применения данного метода состоит в « угадывании» u, u₁, v, v₁. Преимущество способа состоит в несложности самого решения данных уравнений и определении количества корней уравненияСписок литературы1.Чучаев и.И., Денисова Т.В. Выпуклые функции и уравнения. Математика в школе.№5.2005 год.2.  Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. -  М.: Изд-во Факториал, 1997. - 219с. 3. "Википедия" - универсальная энциклопедия. ru.wikipedia.org1(дата обращения:14.12.2009) .